9.5 Primjena sustava linearnih jednadžbi u algebarskim i geometrijskim zadacima

Koraci rješavanja:

1. Čitanje zadatka
   

   Čitanjem zadatka otkrivamo kako se traže dva broja čiji je zbroj $44,$ a ako jednog zbrojimo sa $6,$ dobit ćemo drugi broj.​

2. Određivanje nepoznanica

   Označimo s $x$ prvi broj koji se traži, a s $y$ drugi broj koji se traži.

3. Određivanje poznatih podataka

   Poznato je da zbroj $x$ i $y$ iznosi $44,$ a zbroj $x$ i $6$ iznosi $y.$

4. Pisanje jednadžbi

   $\begin{array}{l}x+y=44\\ y=x+6\end{array}$

5. Rješavanje sustava

   $\begin{array}{l}\begin{array}{l}\underset{\_}{\begin{array}{l}x+y=44\\ y=x+6\end{array}}\\ x+x+6=44\end{array}\\ 2x+6=44\\ 2x=44-6\\ 2x=38/:2\\ x=19\\ y=19+6\\ y=25\end{array}$

   Rješenje je uređeni par $\left(19,25\right).$
   

6. Provjera smislenosti rješenja u kontekstu
   

   Zbroj brojeva $19$ i $25$ je $44,$ gdje je $25$ za $6$ veći od drugog.
   

7. Pisanje odgovora riječima:

   To su brojevi $19$ i $25.$

Nepoznata su dva broja. Označimo s  $x$ veći traženi broj i s  $y$ manji traženi broj.

Poznato je da je zbroj tih dvaju brojeva $50,$ a razlika $22,$ što zapisano jednadžbama glasi:

$\begin{array}{l}x+y=50\\ x-y=22\end{array}$

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par $\left(36,14\right).$

Zbroj brojeva $36$ i $14$ je zaista $50,$ a razlika brojeva $36$ i $14$ je $22.$ Rješenje je smisleno i točno.

Traženi brojevi su $36$ i $14.$

Dvoznamenkasti broj kojem je ​ znamenka desetica, a ​ $y$ znamenka jedinica, može se zapisati kao ​ $10x+y.$

Kad znamenke $x$ i $y$ zamijene mjesta, dobije se broj $10y+x.$

Kad problem prevedemo u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x=y+5\\ 10x+y+10y+x=99\end{array}$

Drugu jednadžbu svedemo na standardni oblik, a potom riješimo sustav metodom supstitucije (s obzirom na to da je u prvoj jednadžbi $x$ već izražen s pomoću $y$).

$x=y+5$
$\underset{\_}{11x+11y=99/:11}$

$x=y+5$
$\underset{\_}{x+y=9}$

$y+5+y=9$
$2y+5=9$
$2y=9-5$
$2y=4/:2$
$y=2$

$x=y+5$
$x=2+5$
$x=7$

Neka je $x$ veći traženi broj, a ​ $y$ manji traženi broj. Postotak zapišimo u decimalnom obliku: $30\%=0.3$​

Zbroj ​ $x$ i ​ $y$ je​ $143,$ a ​ $y=0.3x.$

Kad problem prevedemo u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x+y=143\\ y=0.3x\end{array}$

Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije:

$\begin{array}{l}x+y=143\\ \underset{\_}{y=0.3x}\\ x+0.3x=143\\ 1.3x=143/:1.3\\ x=110\\ \begin{array}{l}\\ y=0.3·110\\ y=33\end{array}\end{array}$

Traženi brojevi su $110$ i $33.$

Neka je ​ $x$ veći traženi broj, a ​ $y$ manji traženi broj. Postotak zapišimo u decimalnom obliku: $25\%=0.25$

Razlika $x$ i ​ $y$ je $12,$ a ​ $y=0.25x$.

Prevedemo li problem u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x-y=12\\ y=0.25x\end{array}$

Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije, kao u prethodnom primjeru, gdje se kao rješenja dobiju ​ $x=16$ i ​ $y=4$.

Traženi brojevi su $16$ i $4.$

Neka je $x$ prvi traženi broj, a ​ $y$ drugi traženi broj.

Njihov omjer je $7:4.$ Zbroj jedne polovine $x$ i broja ​ $y$ je $30.$

Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x:y=7:4\\ \frac{1}{2}x+y=30\end{array}$

Sustav se rješava jednom od metoda (primjerice metodom supstitucije):

​ $x:y=7:4$
$\underset{\_}{\frac{1}{2}x+y=30}$

​ $7y=4x/:7$
$\underset{\_}{\frac{1}{2}x+y=30}$

​ $y=\frac{4}{7}x$
$\underset{\_}{\frac{1}{2}x+y=30}$

$\frac{1}{2}x+\frac{4}{7}x=30/·14$
$7x+8x=420$
$15x=420/:15$
$x=28$

$y=\frac{4}{7}·28$
$y=16$

Traženi brojevi su $28$ i $16.$

Neka je $x$ prvi traženi broj, a $y$drugi traženi broj.

Njihov omjer je $3:4.$ Omjer $x$ uvećanog za $4$ i $y$ uvećanog za $4$ je $7:9.$

Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x:y=3:4\\ \underset{\_}{(x+4):(y+4)=7:9}\\ x=\frac{3}{4}y\\ \begin{array}{l}\underset{\_}{9(x+4)=7(y+4)}\\ x=\frac{3}{4}y\\ \underset{\_}{9x+36=7y+28}\\ x=\frac{3}{4}y\\ \underset{\_}{9x-7y=-8}\\ \end{array}\end{array}$

Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije, kao u prethodnom primjeru, gdje se kao rješenja dobiju $x=24$ i $y=32.$

Traženi brojevi su ​ $24$ i $32.$

Neka je $x$ dulja, a $y$ kraća stranica pravokutnika. Prema formuli opsega, $o=2x+2y,$ zbroj $2x$ i $2y$ je $28.$ Razlika $x$ i $y$ je $4.$

Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: ​

$\begin{array}{l}2x+2y=28\\ x-y=4\end{array}$ ​

Sustav najprije svedemo na standardni oblik, a potom ga riješimo jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata):

$\underset{\_}{\begin{array}{l}2x+2y=28/:2\\ x+y=14\end{array}}$

$\underset{\_}{\left.\begin{array}{l}x+\cancel{y}=14\\ x-\cancel{y}=4\end{array}\right\}}+$

$\begin{array}{l}2x+18/:2\\ x=9\mathrm{cm}\end{array}$

$9+y=14$
$y=14-9$
$y=5\mathrm{cm}$

Stranice pravokutnika su duljine $9\mathrm{cm}$ i $5\mathrm{cm}.$

Razlika duljina stranica $9\mathrm{cm}$ i $5\mathrm{cm}$ je $4\mathrm{cm},$ a opseg pravokutnika s duljinama stranica $9\mathrm{cm}$ i $5\mathrm{cm}$ je $28\mathrm{cm}.$

Neka je ​ $x$ dulja, a $y$ kraća stranica pravokutnika.

Prema formuli opsega, zbroj $2x$ i $2y$ je $32.$

Stranica $x$ jednaka je trostrukoj vrijednosti stranice $y.$

Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}2x+2y=32\\ x=3y\mathrm{}\end{array}$

Sustav riješimo metodom supstitucije:

$\begin{array}{l}2x+2y=32/:2\\ \begin{array}{l}\underset{\_}{x=3y}\\ x+y=16\\ \underset{\_}{x=3y}\\ 3y+y=16\\ 4y=16/:4\end{array}\\ y=4\mathrm{cm}\\ \\ x=3·4\\ x=12\mathrm{cm}\end{array}$ 

Stranice pravokutnika su $12\mathrm{cm}$ i $4\mathrm{cm}.$

Površina pravokutnika, a time i površina cvjetnjaka, je $P=12·4=48{\mathrm{cm}}^2.$

Neka je ​ $x$ duljina osnovice, a $y$ duljina kraka jednakokračnog trokuta.

Prema formuli opsega, zbroj $x$ i $2y$ je $16.$

Duljina stranice ​ $y$ jednaka je duljini stranice ​ $x$ umanjenoj za $1.$

Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l}x+2y=16\\ y=x-1\end{array}$

Sustav riješimo metodom supstitucije:

$\begin{array}{l}x+2y=16\\ \underset{\_}{y=x-1}\end{array}$

$x+2(x-1)=16$
$x+2x-2=16$
$3x=16+2$
$3x=18/:3$
$x=6 \mathrm{cm}$

$y=6-1$
$y=5 \mathrm{cm}$

Duljina osnovice jednakokračnog trokuta je $6\mathrm{cm},$ a duljine krakova $5\mathrm{cm}.$

Ako duljinu osnovice od $6\mathrm{cm}$ zbrojimo s dvostrukom duljinom kraka od $5\mathrm{cm},$ dobijemo opseg $16\mathrm{cm},$ gdje je kraj manji od osnovice za $1\mathrm{cm}.$ Rješenje ima smisla.

Neka je ​ $x$ duljina osnovice, a $y$ duljina kraka jednakokračnog trokuta.

Prema formuli opsega, zbroj $x$ i​  $2y$ je $23.$​

Trokut bi bio jednakostraničan kad bi duljina osnovice ​ $x$ umanjene za $2$ bila jednaka duljini kraka ​ $y.$​

Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: ​

$\begin{array}{l}x+2y=23\\ y=x-2\end{array}$

Sustav riješimo metodom supstitucije.

Duljina osnovice je $9\mathrm{cm},$ a duljina kraka $7\mathrm{cm}.$