x
Učitavanje

8.1 Osnovno o kružnici i krugu

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su predmeti kružnog oblika iz naše svakodnevice

Kojih oblika ima najviše na slici?

Kad se osvrnete oko sebe, vidite li koji predmet kružnog oblika?

Nabrojite sve predmete kružnog oblika koje vidite oko sebe.

Prisjetite se nekog kružnog oblika iz prirode.

Kružnica i krug

Na slici je prikazano nekoliko vrtuljaka

Zadatak 1.

Raširite ruke i zavrtite se oko svoje osi. Što su opisale vaše ruke?

Pomoć:

Ako niste sigurni u odgovor, zavrtite se još jedanput.

null

Zadatak 2.

Na slici je cvijet kao krug i njegove latice kao polumjeri kružnice

Da biste nacrtali kružnicu, trebate jednu točku u sredini i duljinu dužine od te točke do rubnih točaka.

Pomoć:

Latice cvijeta podsjećaju na jednake udaljenosti od točke u sredini do ruba.

null

Projekt

Na slici je prikazano kako možemo nacrtati kružnicu pomoću pribadače i špagice

Pripremite pribadaču, konopac i olovku.

Jedan kraj konopca pribadačom stisnite uz papir, a u drugi kraj stavite olovku i kružite olovkom oko pribadače. Što ste dobili?

Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od neke čvrste točke te ravnine.

Kako se zove točka ravnine oko koje opisujemo kružnicu?

Središte kružnice je točka u ravnini od koje su jednako udaljene sve točke kružnice.

Zanimljivost

Na slici je prikazano crtanje kružnice s pomoću šestara

Kružnice crtamo ručno šestarom ili uz pomoć digitalnih alata u programima dinamičke geometrije kao što su GeoGebra i The Geometer's Sketchpad.

Na slici je kružnica njeno središte i polumjer

Da bismo nacrtali kružnicu, trebamo označiti središte kružnice S i trebamo znati udaljenost točaka kružnice od točke S .

Dužinu koja spaja središte i neku točku na kružnici nazivamo radijus ili polumjer kružnice.

Duljinu te dužine također nazivamo radijus ili polumjer i označavamo S A = r .

Kružnica oko središta S polumjera rMatematička oznaka za kružnicu sa središtem u točki S polumjera r je k S , r . Oznaku čitamo "kružnica sa središtem S polumjera r ".

Zadatak 3.

Spojite parove.

k ( S , 3 cm )
k ( A , 2 cm )
k ( T , 54 mm )
k ( P , 0.5 dm )

Pomoć:

Veliko slovo u zagradi označava središte kružnice, broj s mjernom jedinicom označava duljinu polumjera kružnice.

null

Primjer 1.

Konstruirajmo kružnicu k ( S , 3 cm ).

Na slici je kružnica k, njeno središte S i polumjer 3 cm

U ravnini odaberemo bilo gdje točku S i nacrtamo dužinu A B ¯ duljine 3 cm . Uzmemo u šestar duljinu dužine A B ¯ , šestar zabodemo u točku S i oko točke S opišemo kružnicu k .


Zadatak 4.

U bilježnicu nacrtajte kružnicu u ravnini. Zatim nacrtajte dužinu koja spaja dvije točke na kružnici i prolazi središtem kružnice.

Na slici je kružnica i njen promjer

Dužinu koja spaja dvije točke na kružnici i prolazi središtem kružnice nazivamo dijametar ili promjer kružnice.

Označimo krajnje točke promjera s A i B . Duljinu te dužine također nazivamo dijametar ili promjer i označavamo A B = d .

Zanimljivost

Uobičajena oznaka u svakodnevnom životu za promjer je slovo Φ , koje se čita "fi" i dolazi iz grčkog alfabeta. Slovo Φ izgledom podsjeća na kružnicu i njezin promjer pa se zato baš to slovo upotrebljava za oznaku u svakodnevnom životu. U matematici se češće koristi latinično slovo d , što dolazi od riječi dijametar.

Krajnje točke promjera nazivamo dijametralno suprotne točke.

Zadatak 5.

Na slici su kružnica, njen promjer i dijametralno suprotne točke

Spojite parove.

C D
dijametralno suprotne točke

Točke C i D  
središte kružnice
Točka T
polumjer kružnice


T D
promjer kružnice

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.


null
Slika prikazuje kružnicu na kojoj je označena dužina AB kojoj je polovište središte kružnice. AS i BS su polumjeri pa su označeni sa r, a AB je promjer pa je označena sa d.

Promjer d je dva puta dulji od polumjera r . Pišemo d = 2 r .

Primjer 2.

Izračunajmo duljinu polumjera kružnice promjera 5 cm .

Ako je promjer dva puta dulji od polumjera, onda je polumjer dva puta kraći od promjera, pa duljinu promjera treba podijeliti s 2 .

r = 2.5 cm .


Zadatak 6.

Ako je polumjer kružnice duljine 4 cm , promjer te kružnice je cm .
null
null

Primjer 3.

Konstruirajmo kružnicu promjera 7 cm .

Nacrtajmo u bilježnicu |A B| ¯ = 7 cm . Konstruirajmo njezino polovište.

Ako ste zaboravili kako se konstruira polovište dužine, pogledajte GeoGebrinu interakciju.

Prvo nacrtajte zadanu dužinu, zatim uzmite u šestar malo više od pola duljine te dužine i nacrtajte dijelove kružnice iz krajnjih točaka dužine. Kroz sjecišta lukova povucite pravac. Točka u kojoj pravac siječe dužinu je polovište te dužine.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici je konstruirana kružnica zadanog promjera

U polovište P dužine A B = 7 cm zabodimo šestar, odmjerimo do jedne i druge dijametralno suprotne točke A i B i nacrtajmo kružnicu oko točke P .


Zadatak 7.

Konstruirajte u bilježnicu kružnicu promjera 57 mm .

Na slici je konstrukcija kružnice zadanog promjera

A B = 57 mm


Krug je dio ravnine omeđen kružnicom.

Na slici je krug K, njegovo središte S i polumjer r

Krug sa središtem u točki S polumjera r matematički označavamo K S , r  i čitamo "krug sa središtem u točki S polumjera r ".

Dijelovi kružnice i kruga

Zadatak 8.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k  ( S , 47 mm ).
  2. Odaberite na kružnici dvije točke A i B koje nisu dijametralno suprotne točke.
  3. Spojite točke u dužinu A B ¯ .
Na slici je nacrtana dužina čije su krajnje točke na kružnici

Dužinu koja spaja dvije točke na kružnici nazivamo tetiva.

Zadatak 9.

Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k ( S , 32 mm ). Nacrtajte njezinu najdulju tetivu. Što primjećujete?

tetiva
null

Zadatak 10.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu bilo kojeg polumjera.
  2. Označite na kružnici dvije točke A i B koje nisu dijametralno suprotne.
  3. Podebljajte manji dio kružnice između točaka A i B ljubičastom bojom, a veći dio kružnice između točaka A i B narančastom bojom.
Na slici je nacrtan dio kružnice omeđen s dvije točke

Dio kružnice omeđen dvjema točkama na toj kružnici nazivamo kružni luk. Matematička oznaka za kružni luk omeđen točkama A i B kružnice je A B .

Zanimljivost

Na slici su prikazani kružni lukovi omeđeni točkama kružnice  A i B, kružni luk AB sa slike je manji kružni luk, a kružni luk BA je veći kružni luk.

Pravilno čitanje kružnog luka sa slike je obrnuto od kazaljke na satu. Tako je kružni luk sa slike A B manji kružni luk, a kružni luk B A veći kružni luk. Kad crtate kružne lukove u nekoj od dinamičkih geometrija, morate na to pripaziti, ali kad crtate kružne lukove u bilježnicu, uobičajeno se misli na manji kružni luk, osim ako ne piše drugačije u zadatku, pa se ne mora toliko paziti na to koju ćete točku napisati prvu.

Isječeni komad sira na slici predstavlja kružni isječak

​Na slici je isječen komad sira iz koluta kružnog oblika.

Zadatak 11.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k S , r .
  2. Označite na kružnici dvije točke A  i B koje nisu dijametralno suprotne.
  3. Nacrtajte dva polumjera S A ¯ i S B ¯ .
  4. Obojite manji dio kruga omeđen polumjerima S A ¯ i S B ¯ i kružnim lukom A B ljubičastom bojom, a veći dio narančastom bojom.
Na slici je prikazan manji i veći kružni isječak

Dio kruga omeđen dvama polumjerima toga kruga i pripadnim kružnim lukom nazivamo kružni isječak.

Na slici je odsječen komad kruha koji predstavlja kružni odsječak

 Na slici je odsječen komad kruha od kruha kružnog oblika.

Zadatak 12.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k S , r .
  2. Označite na kružnici dvije točke A i B koje nisu dijametralno suprotne.
  3. Nacrtajte tetivu A B ¯ .
  4. Obojite manji dio kruga omeđen tetivom A B ¯ i kružnim lukom A B ljubičastom bojom, a veći dio narančastom bojom.
Na slici je manji i veći kružni odsječak

Dio kruga omeđen jednom tetivom toga kruga i pripadnim kružnim lukom nazivamo kružni odsječak.

Na slici su prikazane koncentrične kružnice na vodi

 ​Što je zajedničko kružnicama na slici?

Zadatak 13.

Nacrtajte u bilježnicu tri kružnice oko iste točke S : k 1 ( S , 2 cm ), k 2 ( S , 35 mm ) i k 3 ( S , 5 cm ).

Na slici su tri koncentrične kružnice

Kružnice u istoj ravnini koje imaju zajedničko središte nazivamo koncentrične kružnice.

Na slici je prikazan božićni vjenčić kao kružni vijenac

 ​Što se nalazi na vratima ograde?

Zadatak 14.

  1. Nacrtajte u bilježnicu dvije koncentrične kružnice k 1 i k 2 .
  2. Obojite dio ravnine omeđen tim dvjema kružnicama.
Na slici je prikazan kružni vijenac

Dio ravnine omeđen dvjema koncentričnim kružnicama nazivamo kružni vijenac.

Kružnica i krug na slici igrališta podijeljeni su na dva jednaka dijela

Kružnica i krug na slici podijeljeni su na dva jednaka dijela.

Zadatak 15.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu u ravnini sa središtem u točki S .
  2. Označite dvije dijametralno suprotne točke A i B na kružnici.
  3. Podebljajte bojom jedan tako dobiveni kružni luk.
Na slici je označena polukružnica

Dio kružnice između dviju dijametralno suprotnih točaka nazivamo polukružnica.

Zadatak 16.

  1. Nacrtajte u bilježnicu kružnicu k ( S , 35 mm ).
  2. Označite promjer A B ¯ .
  3. Obojite dio kruga omeđen promjerom A B ¯ i pripadnom polukružnicom.
Na slici je prikazan polukrug

Dio kruga omeđen jednim promjerom i pripadnom polukružnicom nazivamo polukrug.

Uvježbajmo!

Zadatak 17.

Ponovite dijelove kruga i kružnice u sljedećoj igrici. Bodove skupljate tako da kliknete na sliku elementa čiji se naziv pojavi u dnu ekrana. Pokušajte dobiti najveći broj bodova. Ako krivo kliknete pomicanje se ubrzava. Imate tri pokušaja za svaki element.

Zadatak 18.

Na slici su prikazane točke na kružnici, u krugu i izvan njega

Koje su izjave točne?

Pomoć:

Razmislite što znači da točka pripada nekom skupu točaka.


null

Zadatak 19.

Na slici su prikazani dijelovi kružnice u prozoru

Koje dijelove kružnice vidite na slici?

Pomoć:

Traže se dijelovi kružnice, ne dijelovi kruga.


null

Zadatak 20.

Polukrug je ujedno i kružni isječak i kružni odsječak.

Na slici je prozor s dva polukruga

Pomoć:

Omeđen je dvama polumjerima, koji čine promjer, i pripadnim kružnim lukom - polukružnicom.

Omeđen je najduljom tetivom i pripadnim kružnim lukom.

null

Zanimljivost

Arhimed karikatura

"Ne dirajte moje krugove" - bile su, prema legendi, posljednje riječi velikoga grčkog matematičara i fizičara starog vijeka Arhimeda iz Sirakuze. U vrijeme opsade Sirakuze, dok je Arhimed crtao u pijesku krugove i proučavao ih, prišao mu je rimski vojnik. Arhimed ga je upozorio da ne dira njegove krugove. Vojnik ga je ubio jer je smatrao da Arhimed tom rečenicom vrijeđa moć pobjednika.​ Na nadgrobnoj ploči Arhimedova groba nalaze se kugla i valjak u čast njegova znanstvenog rada.

...i na kraju

Na slici su starinska kola s četiri kotača

U ovoj jedinici naučili ste ili ponovili kružnicu i krug i njihove elemente i dijelove. Vidjeli ste slike s kružnim oblicima. Krug nalazimo na mnogo mjesta u prirodi. Kružni oblici koriste se svugdje. Najvažniji čovjekov izum kružnog oblika je kotač. Možete li zamisliti život bez kotača?

Kotač nije važan samo u prometu, nego i za radne strojeve, jer omogućava neki rad uz manju silu. Prijenos energije omogućen je zupčanicima, remenicom ili koloturom. Kotač upotrebljavamo i za iskorištavanje vodene energije (mlinsko kolo) te za obavljanje raznih poslova, primjerice u lončarstvu.

Razmislite, gdje i kada vi upotrebljavate kotač?

Zadatak 21.

Za kraj riješite sljedeći matematički diktat.

  1. Konstruirajte u bilježnicu kružnicu promjera 81 mm .
  2. Nacrtajte točku A koja pripada kružnici.
  3. Nacrtajte tetivu A B ¯  te kružnice duljine 6 cm .
  4. Podebljajte bojom manji kružni luk A B .
  5. Obojite manji kružni odsječak koji određuju tetiva A B ¯ i pripadni kružni luk A B .
Na slici je rješenje matematičkog diktata

Idemo na sljedeću jedinicu

8.2 Određenost kružnice