x
Učitavanje

7.3 Kutovi mnogokuta

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje
Slika prikazuje niz mnogokuta

Nastavljamo s proučavanjem mnogokuta, a u ovoj ćemo se jedinici zadržati na kutovima mnogokuta.

Što moramo znati o kutovima mnogokuta?

Postoji li i tu neka zanimljiva ovisnost o broju vrhova, poput one koju smo otkrili kod broja dijagonala mnogokuta?

Prisjetimo se što smo ranije naučili o kutovima trokuta i četverokuta.

Zanimljivost

Želite li se prisjetiti demonstracija i dokaza tvrdnji o zbroju veličina unutarnjih kutova trokuta i četverokuta, možete ih proučiti u edukativnoj interakciji autorice Željke Dijanić.

Ponovimo.

  1. Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog trokuta je

    null
    null
  2. Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog četverokuta je ° .
    null
    null
  3. Na kojoj su slici istaknuti susjedni kutovi (sukuti)?

    Slika prikazuje:A) vršne kutove i B) sukute/susjedne kutove.

    Pomoć:

    Dva kuta koji imaju jedan zajednički krak, a drugi su im krakovi suprotni polupravci istoga pravca nazivamo susjednim kutovima ili sukutima.

    null

Zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta

Vidimo da zbroj veličina unutarnjih kutova nije jednak za trokute i četverokute pa možemo očekivati i da zbroj unutarnjih kutova peterokuta neće biti ni 180 °  ni 360 ° .

Ali hoće li taj zbroj biti isti za svaki zadani peterokut?

Što možemo očekivati za šesterokut?

A za n -terokut?

Istražimo.

Primjer 1.

Istražite uz pomoć GeoGebrine interakcije vezu broja vrhova mnogokuta i zbroja veličina unutarnjih kutova tog mnogokuta.

Odabirom točke  K  možete mnogokut dijagonalama iz jednog vrha podijeliti na trokute. Možete i mijenjati broj vrhova mnogokuta s pomoću klizača.

Povećaj ili smanji interakciju

Zbroj veličina unutarnjih kutova n -terokuta označit ćemo s K n , gdje je n  broj stranica (ili vrhova ili unutarnjih kutova), a računamo ga kao K n = n - 2 · 180 ° .

Primjer 2.

Izračunaj zbroj veličina unutarnjih kutova petnaesterokuta.

Kako je n = 15 , broj trokuta koje dobijemo crtanjem dijagonala iz jednog vrha je 13 .

Zbroj veličina unutarnjih kutova tada iznosi 13 · 180 ° , tj. 2340 ° .

Ili matematičkim zapisom:

n = 15 _  

K 15 = ?  

K n = n - 2 · 180 °     Umjesto n  uvrstimo broj 15 i dalje računamo.

K 15 = 15 - 2 · 180 °  

K 15 = 13 · 180 °  

K 15 = 2340 °  


Zadatak 1.

  1. Zadan je mnogokut ​ A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 .  Izračunajte zbroj unutarnjih kutova zadanog mnogokuta.

    Pomoć:

    Da bismo počeli rješavanje zadatka, moramo znati koliko vrhova ima zadani mnogokut (prebrojimo ih ili kraće - očitajmo indeks posljednjeg vrha u nizu). Zatim koristimo izraz prema kojem možemo izračunati zbroj veličina unutarnjih kutova:

    K n = n - 2 · 180 °   ​

    Postupak:

    Proučite pomoć, a po potrebi i rješenje prethodnog primjera.

  2. Koliki je zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta kojemu je broj unutarnjih kutova 17 ?

    Pomoć:

    Iz tvrdnje da je broj unutarnjih kutova 17 , zaključujemo da je n = 17.

    Postupak:

    Računamo prema formuli za K n ili napamet odredimo broj trokuta na koje je dijagonalama iz jednog vrha podijeljen zadani sedamnaesterokut ( 15 ), nakon čega taj broj pomnožimo sa 180 ° .

Zadatak 2.

Izračunajte zbrojeve veličina unutarnjih kutova za pojedine mnogokute ( K n ) i tražene razlike​ te pridružite točna rješenja.

K 8 - K 5 =   ​
540 °  
K 11 - K 5 =
720 °  
K 8 - K 4 =  
1080 °  

Pomoć:

Iz zapisa K n očitajte broj n , a zatim izračunajte zbroj veličina unutarnjih kutova prema poznatoj formuli (za sve n -ove koji se u zadatku spominju).

Postupak:

Nakon izračunatih K n -ova, izračunajte tražene razlike.

Zanimljivost

Poznato nam je da veličine kutova najčešće označavamo malim slovima grčkog alfabeta. No dosad nije bilo potrebe primijeniti sve oznake, osim dobro nam poznatih: α , β , γ  i δ .

S obzirom na to da više ne proučavamo isključivo trokute i četverokute, bilo bi dobro naučiti bar još nekoliko grčkih slova.

Grčki alfabet
A α
alfa
B β
beta
Γ γ
gama
Δ δ
delta
E ε
epsilon
Z ζ
zeta
H η
eta
Θ θ
teta
I ι
jota
K κ
kapa
Λ λ
lambda
M μ
mi
N ν
ni
Ξ ξ
ksi
O ο
omikron
Π π
pi
P ρ
ro
Σ ς , σ
sigma
T τ
tau
ϒ υ
ipsilon
Φ φ
fi
X χ
hi
Ψ ψ
psi
Ω ω
omega

Primjer 3.

Slika prikazuje šesterokut kojemu je jedan kut nepoznate veličine

Izračunajmo veličinu nepoznatog kuta u šesterokutu na slici.

Najprije moramo uočiti da je zadan šesterokut. Da bismo mogli izračunati veličinu nepoznatog kuta ​ ε (čitamo: epsilon), potrebno je izračunati zbroj veličina svih kutova u šesterokutu, K 6 .

K n = n - 2 · 180 °    Uvrstimo n = 6  i dobijemo

K 6 = 6 - 2 · 180 ° = 4 · 180 ° = 720 ° .

Traženu veličinu kuta dobit ćemo tako da od 720 °  oduzmemo zbroj veličina preostalih pet kutova šesterokuta:

ε = 720 ° - 154 ° + 90 ° + 175 ° + 73 ° + 126 ° = 720 ° - 618 ° = 102 ° .


A možemo li, ako nam je poznat zbroj unutarnjih kutova, otkriti o kojem se mnogokutu radi?

Proučimo sljedeći primjer.

Primjer 4.

Kojem mnogokutu je zbroj veličina unutarnjih kutova 1440 ° ?

K n = 1440 ° _ poznati podatak

n = ? Saznamo li koliki je n , moći ćemo odgovoriti na postavljeno pitanje jer prema broju stranica (vrhova, kutova) određujemo naziv mnogokuta.

Uvrstimo li poznati podatak u formulu K n = n - 2 · 180 ° , dobit ćemo sljedeću jednadžbu:

1440 ° = n - 2 · 180 ° .

Ako nam se više sviđa da je nepoznanica n na lijevoj strani jednadžbe, možemo zamijeniti mjesta stranama (kao da čitamo najprije desnu stranu jednakosti, a zatim lijevu) i tada izračunati vrijednost broja n . Učinimo tako.

n - 2 · 180 ° = 1440 ° / : 180 °

n - 2 = 1440 ° 180 °

Ili možemo dijeljenje zapisati u obliku razlomka te postupno skraćivati:

n - 2 = 1440 ° : 10 180 ° : 10 = 144 : 2 18 : 2 = 72 9 = 8

Oba načina vode nas do jednadžbe

n - 2 = 8 ,

čije je rješenje

n = 10 .

Zaključujemo da je traženi mnogokut deseterokut.


Zadatak 3.

Koliko stranica ima mnogokut kojemu je zbroj veličina unutarnjih kutova 3060 ° ?

Pomoć:

Poznati podatak je ​ K n  pa je potrebno u odgovarajući izraz (formulu) uvrstiti broj te izračunati n  iz dobivene jednadžbe.

Postupak:

Ne zaboravite uočiti da, nakon dijeljenja obiju strana jednadžbe sa ​ 180 ° , nismo još izračunali n , nego tek n - 2  (broj trokuta koje dobijemo crtanjem dijagonala iz jednog vrha mnogokuta). Broj stranica za dva je veći od broja nastalih trokuta.

Vanjski kutovi mnogokuta

Osim unutarnjih kutova, mnogokuti imaju i vanjske kutove. O vanjskim smo kutovima trokuta i četverokuta učili prije, a sada ćemo znanje proširiti i na ostale mnogokute. 

Da bismo nekom mnogokutu istaknuli vanjske kutove, potrebno je redom produžiti njegove stranice, kao na slici.

Slika prikazuje istaknute vanjske kutove mogokuta.

Susjedni kut nekog unutarnjeg kuta mnogokuta nazivamo vanjskim kutom tog mnogokuta.

Zadatak 4.

Unutarnji i pripadni vanjski kut nekog mnogokuta zajedno čine kut pa zbroj njihovih veličina iznosi ° .
Slika prikazuje vanjski i unutarnji kut mnogokuta


null

Zadatak 5.

Izračunaj veličinu nepoznatog kuta mnogokuta sa slike.

Slika prikazuje peterokut kojemu je nepoznat jedan unutarnji kut

Pomoć:

Najprije izračunajte veličine nepoznatih sukutova. Zatim izračunajte zbroj veličina unutarnjih kutova peterokuta. Naposljetku, od toga broja oduzmite zbroj veličina poznatih četiriju kutova zadanog peterokuta.

null

Zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta

Vidjeli smo da zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta ovisi o broju vrhova tog mnogokuta.

Hoće li i zbroj vanjskih kutova mnogokuta ovisiti o broju vrhova mnogokuta?

Istražimo uz pomoć GeoGebrine interakcije.

Primjer 5.

Mijenjajući položaj vrhova i broj vrhova mnogokuta, istražite koliki je zbroj veličina svih vanjskih kutova. Što možete zaključiti?

Povećaj ili smanji interakciju

Zbroj veličina svih vanjskih kutova bilo kojeg mnogokuta iznosi 360 ° .

Uvježbajmo!

Zadatak 6.

  1. Odredite veličine onih kutova kojima su poznate veličine sukuta.

    Slika prikazuje peterokut kojemu su istaknuti unutarnji i vanjski kutovi. Veličine nekih od njih su nepoznate.

    68 °

    115 °

    82 °

    80 °

    Pomoć:

    Unutarnji i vanjski kut pri istom vrhu su susjedni kutovi ili sukuti, tj. zbroj njihovih veličina iznosi 180 °  pa neće biti teško izračunati nepoznate veličine kutova uz vrhove B , C , D  i E   (oduzimanjem veličine poznatog kuta od 180 ° ).

    null
  2. Na koji se način može izračunati veličina kuta α ?

    Pomoć:

    Vanjski kut možemo izračunati tako da od 360 ° oduzmemo zbroj veličina preostalih vanjskih kutova.

    null

Zadatak 7.

Zbroj veličina unutarnjih kutova nekog mnogokuta je 1 620 ° . Koji je to mnogokut?

Pomoć:

Da bismo dobili broj trokuta na koje je dijagonalama iz jednog vrha podijeljen zadani mnogokut, potrebno je 1 620 ° podijeliti sa 180 ° . Broj vrhova za 2  je veći od broja trokuta.​

Postupak:

Broj n  možemo izračunati iz jednadžbe n - 2 · 180 ° = 1 620 ° .

Zadatak 8.

Koliki je zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta kojemu se iz jednog vrha može nacrtati 18  ​dijagonala?

Pomoć:

Najprije treba izračunati broj vrhova mnogokuta ( n ), a znamo da je n  za 3  veći od broja dijagonala iz jednog vrha mnogokuta.

Postupak:

d = 18 _   Iz poznatog broja dijagonala možemo izračunati broj vrhova mnogokuta.

n = d + 3  

n = 21    Sada možemo izračunati K n  prema poznatoj formuli.

 ​

Zadatak 9.

Slika prikazuje trokut kojemu su nepoznate veličine jednog unutarnjeg i jednog vanjskog kuta.
Izračunajte veličine nepoznatih kutova trokuta sa slike.
Veličine nepoznatih kutova su:  γ =   ° , a  ​ β ' =   ° .

Pomoć:

γ  možemo izračunati s pomoću zbroja veličina unutarnjih kutova trokuta, a β '  kao susjedni kut kuta čija je veličina 56 ° .

 

Zadatak 10.

Postoji li sedmerokut čije su veličine unutarnjih kutova 120 ° , 104 ° , 98 ° , 145 ° , 163 ° , 158 °  i 110 ° ?

Pomoć:

Potrebno je najprije izračunati koliki je zbroj veličina unutarnjih kutova sedmerokuta ( K 7 ), a zatim dobiveni rezultat usporediti sa zbrojem danih veličina kutova. Ako je dobiveni zbroj jednak izračunatom K 7 , takav sedmerokut postoji.

null

Zadatak 11.

Koliko vrhova ima mnogokut kojemu je zbroj veličina svih unutarnjih kutova i zbroj veličina svih vanjskih kutova jednak 1620 ° ?

Prevedimo rečenicu na matematički jezik:

zbroj veličina unutarnjih kutova + zbroj veličina vanjskih kutova = 1 620 ° .

Da bismo dobili zapis u obliku jednadžbe, uvrstit ćemo oznake i poznate veličine:

K n + 360 ° = 1 620 ° ,

iz čega je lako izračunati da je K n = 1 260 ° .

Iz dobivenog podatka možemo izračunati broj vrhova mnogokuta (kao u rješenju Primjera 3).

Dakle, zadani mnogokut ima devet vrhova.


Zadatak 12.

Koji mnogokut ima svojstvo da mu se zbroj veličina unutarnjih kutova poveća tri puta ako mu se broj vrhova poveća za četiri?

S obzirom na to da se u zadatku radi o zbroju veličina unutarnjih kutova, zapisat ćemo poznatu formulu, a potom u nju uvrstiti uvjete zadatka: K n = n - 2 · 180 ° .

Lijevu stranu uvećamo tri puta, a na desnoj strani broj vrhova uvećat ćemo za četiri:

3 · n - 2 · 180 ° = n + 4 - 2 · 180 ° .

Nakon dijeljenja obiju strana jednadžbe sa 180 ° , dobijemo 3 · n - 2 = n + 4 - 2 , iz čega lako izračunamo da je n = 4 .

Točnost rješenja možemo provjeriti u nekoliko koraka:

  1. Znamo da zbroj veličina unutarnjih kutova četverokuta iznosi 360 ° .
  2. Ako povećamo broj vrhova za četiri, dobit ćemo osmerokut.
  3. Izračunajmo sada K 8  i provjerimo je li zaista dobiveni broj tri puta veći od K 4 .


Kutak za znatiželjne

Evo i jednog složenijeg zadatka:

Zbroj broja dijagonala i broja stranica konveksnog mnogokuta je  903 . Odredite omjer zbroja svih vanjskih kutova i zbroja svih unutarnjih kutova tog mnogokuta.

Traženi omjer je  2 : 41 .  

Ako ste točno riješili zadatak, čestitamo! Ako niste uspjeli, predlažemo da ga riješite na satu dodatne nastave ili samostalno proučite postupak koji slijedi.

Uz standardne oznake za ukupni broj dijagonala mnogokuta, broj stranica mnogokuta i činjenicu da je zbroj veličina svih vanjskih kutova mnogokuta uvijek  360 ° , pišemo:

D n + n = 903  

360 ° : K n = ? _  

n n - 3 2 + n = 903   / · 2  

n n - 3 + 2 n = 1 806  

n · n - 3 n + 2 n = 1 806  

n · n - n = 1 806  

Nakon izlučivanja imamo:  n n - 1 = 1 806  .

Tražimo dva uzastopna prirodna broja čiji je umnožak  1 806 .

Zapišemo li taj broj kao umnožak prostih faktora, možemo lako uočiti traženu kombinaciju faktora:

1 806 = 2 · 3 · 7 · 43 = 42 · 43 .

Uočimo da je je broj stranica  n = 43 .

Sada se jednostavno izračuna traženi omjer (količnik):

360 ° K 43 = 360 ° 43 - 2 · 180 ° = 2 41 = 2 : 41 .


...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili da zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta ovisi o broju vrhova mnogokuta, ali i da zbroj veličina svih vanjskih kutova uopće ne ovisi o tom istom broju, nego je jednak za sve mnogokute.

Ponovimo:

  1. Zbroj veličina svih unutarnjih kutova n -terokuta, K n , računamo kao

    null
    null
  2. Zbroj veličina svih vanjskih kutova n ​-terokuta iznosi

    null
    null

Idemo na sljedeću jedinicu

7.4 Pravilni mnogokuti