Matematika 1 - 2.1 Pojam potencije

Na početku...

Na petoj bi slici bilo $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256,$ a na desetoj $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 262 144$ kvadrata.

Riješite sljedeća dva zadatka o kvadratima iz videozapisa.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Duljina je stranice početnog kvadrata $1 dm .$ Kolike su duljine stranica obojenih kvadrata na idućim slikama?

Kolika bi bila duljina stranice na petoj slici? Kolika bi bila na dvanaestoj?

Duljine su stranica: na drugoj slici $\frac{1}{3} dm,$ na trećoj $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} dm,$

a na četvrtoj $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} dm .$

Na petoj bi slici duljine stranica bile $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{81} dm,$

a na dvanaestoj $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{177 147} dm .$

Zadatak 2.

Kolika je ukupna površina obojenih kvadrata na svakoj od slika?

Kolika bi bila površina obojenih kvadrata na petoj slici? Kolika bi bila na jedanaestoj?

Površine su: na prvoj slici $1 {dm}^{2},$ na drugoj slici $\frac{4}{9}$ ${dm}^{2},$ na trećoj $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$ ${dm}^{2},$

na četvrtoj $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{64}{729}$ ${dm}^{2} .$

Na petoj bi slici površina bila $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{256}{6 561}$ ${dm}^{2},$

a na jedanaestoj $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 048 576}{3 486 784 401} {dm}^{2} .$

Zatvori

Broj kvadrata, duljinu stranice i površinu na pojedinoj slici računali smo kao umnožak jednakih faktora. Zapis s pomoću jednakih faktora može biti dug i nepregledan pa koristimo ovaj skraćeni zapis:

$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{9},$

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{11}, \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = {(\frac{4}{9})}^{10} . \end{array}$

Kažemo da smo uzastopno množenje zapisali u obliku potencije.

Potencija s prirodnim eksponentom

Neka je $a$ realan broj i $n$ prirodni broj veći od jedan. Potencija $a^{n}$ je zapis umnoška u kojem se broj $a$ pojavljuje $n$ puta kao faktor. Broj $a$ zovemo baza potencije, a broj $n$ eksponent.

$\underset{n puta}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} = a^{n}$

Primjer 1.

Ako se broj $5.1$ sedam puta pojavljuje kao faktor, umnožak je $5.1 \cdot 5.1 \cdot 5.1 \cdot 5.1 \cdot 5.1 \cdot 5.1 \cdot 5.1$ što zapisujemo ${5.1}^{7} .$ Baza je $5.1,$ a eksponent $7 .$

Ako se broj $- 7$ četiri puta pojavljuje kao faktor, umnožak je $(\begin{array}{l} - 7 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 7 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 7 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 7 \end{array}),$ što zapisujemo ${(\begin{array}{l} - 7 \end{array})}^{4} .$ Baza je $- 7,$ a eksponent $4 .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zapišite umnoške u obliku potencije. Pomicanjem klizača, pojavit će se novi zadatak.

Zadatak 4.

Povežite umnožak s odgovarajućom potencijom.

$x^{4}$	$x \cdot x \cdot x \cdot x$
${1.2}^{3}$	$1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2$
${1.2}^{5}$	$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$
${(- 1.2)}^{3}$	$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$
$8^{5}$	$1.2 \cdot 1.2 \cdot 1.2$
${(- x)}^{4}$	$x \cdot x \cdot x \cdot x$
$5^{8}$	$(- 1.2) \cdot (- 1.2) \cdot (- 1.2)$

null

Zatvori

Potencije suprotnih baza

Primjer 2.

Usporedimo brojeve ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{4},$ $3^{4}$ i $- 3^{4} .$

Potencija ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{4}$ jednaka je umnošku u kojem se broj $- 3$ pojavljuje kao faktor $4$ puta:
$\begin{array}{l} {(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{4} = (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) = 81 . \end{array}$
Potencija $3^{4}$ jednaka je umnošku u kojem se broj $3$ pojavljuje kao faktor $4$ puta:

$3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 .$

Potencija $- 3^{4}$ je suprotni broj potencije $3^{4} :$

$- 3^{4} = - (\begin{array}{l} 3^{4} \end{array}) = - 81 .$

Zaključimo: ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{4} = 81,$ $3^{4} = 81,$ $- 3^{4} = - 81,$ pa je ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{4} = 3^{4}$ i ${(- 3)}^{4} \neq - 3^{4} .$

Usporedimo brojeve ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{5},$ $- 3^{5}$ i $3^{5} .$

Potencija ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{5}$ jednaka je umnošku u kojem se broj $- 3$ pojavljuje kao faktor $5$ puta:
$\begin{array}{l} {(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{5} = (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) = - 243 . \end{array}$
Potencija $3^{5}$ jednaka je umnošku u kojem se broj $3$ pojavljuje kao faktor $5$ puta:

$3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 .$

Potencija $- 3^{5}$ je suprotni broj potencije $3^{5} :$

$- 3^{5} = - (\begin{array}{l} 3^{5} \end{array}) = - 243 .$

Zaključimo: ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{5} = - 243,$ $3^{5} = 243,$ $- 3^{5} = - 243,$ pa je ${(\begin{array}{l} - 3 \end{array})}^{5} = - 3^{5}$ i ${(- 3)}^{5} \neq 3^{5} .$

Promotrite vrijednosti potencija u sljedećoj animaciji. Mijenjajte vrijednosti baze i eksponenta. Uočavate li pravilnost?

Zadatak 5.

Primijenite zaključke iz prethodne aktivnosti pa označite točne tvrdnje.

Za proizvoljnu pozitivnu bazu $a$ i prirodni eksponent $n$ brojevi ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{n}$ i $a^{n}$

su jednaki ako je

$n$ paran.

su suprotni ako je

$n$ paran.

su jednaki ako je

$n$ neparan.

su suprotni ako je $n$ neparan.

null

Zaključimo prethodna razmatranja. Za parne su eksponente potencije suprotnih baza jednake, a za neparne su eksponente potencije suprotne.

Svaki parni prirodni broj možemo zapisati u obliku $2 n .$ Neparni prirodni broj veći od $1$ možemo zapisati u obliku $2 n + 1,$ $n \in N .$ Stoga prethodni zaključak možemo formulama zapisati ovako:

Za pozitivnu bazu $a$ i prirodni broj $n$ vrijedi:

${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n} = a^{2 n}$ i ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n + 1} = - a^{2 n + 1} .$

Zadatak 6.

Obrazložite formule ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n} = a^{2 n}$ i ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n + 1} = - a^{2 n + 1}$ za pozitivnu bazu $a$ i prirodni broj $n$ .

Po definiciji je ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n}$ zapis umnoška u kojem se negativni broj $- a$ pojavljuje kao faktor paran broj puta. Rezultat je pozitivan i jednak je umnošku u kojem se broj $a$ pojavljuje kao faktor $2 n$ puta, što zapisujemo $a^{2 n} .$

Također je po definiciji ${(\begin{array}{l} - a \end{array})}^{2 n + 1}$ zapis umnoška u kojem se negativni broj $- a$ pojavljuje kao faktor neparan broj puta. Rezultat je negativan i suprotan je umnošku u kojem se broj $a$ pojavljuje kao faktor $2 n + 1$ puta, što zapisujemo $- a^{2 n + 1} .$

Broj podskupova

Primjer 3.

Odredimo sve podskupove skupa

$A = \{a b\}$

$B = \{a b c\}$

Podskupovi skupa A su: $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a b\} .$ Skup A ima četiri podskupa.

Podskupovi skupa B su: $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a b\}, \{a c\}, \{b c\}, \{a b c\} .$ Skup B ima osam podskupova.

Zadatak 7.

Odredite sve podskupove skupova $C = \{a, b, c, d\}, D = \{a, b, c, d, e\} .$ Promotrite broj elemenata skupa i broj svih podskupova. Uočavate li pravilnost? Pretpostavite koliko podskupova ima skup $E$ ako je:

card $E = 6$
card $E = 10$
card $E = n$ .

Prisjetite se (1.1. Skupovi), card $E$ je kardinalni broj skupa $E$ i označava broj elemenata skupa $E .$

Skup $C$ ima $16$ podskupova, a skup $D$ ima $32$ podskupa.

Primjećujemo da je $16 = 2^{4}$ i card $C = 4 .$ $32 = 2^{5}$ i card $D = 5 .$

$2^{6} = 64$
$2^{10} = 1 024$
$2^{n}$

Skup od $n$ elemenata ima $2^{n}$ podskupa.

Pokušajte sami dokazati tu tvrdnju ili pogledajte dokaz u videozapisu.

Što smo pokazali u videozapisu?

Ako skup od $2$ elementa ima $2^{2}$ podskupa, onda skup od $3$ elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno $2 \cdot 2^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$ podskupa.

Ako skup od $3$ elementa ima $2^{3}$ podskupa, onda skup od $4$ elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno $2 \cdot 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$ podskupa.

Na sličan način možemo zaključiti:

Ako skup od $n$ elementa ima $2^{n}$ podskupa, onda skup od $n + 1$ elementa ima dvostruko više podskupova, odnosno $2 \cdot 2^{n} = 2 \cdot \underset{n}{\underset{⏟}{2 \cdot . . . \cdot 2}} = 2^{n + 1}$ podskupa.

Štednja

Marko je uložio u banku $2 500 kn$ uz godišnju kamatnu stopu od $4 % .$ Nakon godinu dana iznosu na Markovu računu pribrojit će se $4 %$ od iznosa na računu.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Kako izračunati iznos na Markovu računu nakon nekoliko godina? Krenimo redom pa odredimo najprije iznos nakon jedne godine, a zatim nakon dvije. Izračunajte iznose u sljedećem zadatku i zapišite ih s pomoću uloženog iznosa, kamatne stope i broja proteklih godina.

Nakon jedne godine dobit će

$0.04 \cdot 2 = 100$

$kn$ kamata. Te će kamate također uložiti te će njegov ukupni ulog biti

$2 500 + 100 = 2 600$

$kn,$ što je

$2 500 + 0.04 \cdot 2 500 = (1 + 0.04) \cdot 2 500 = 1.04 \cdot 2 500 = 2 600$

$\cdot 2 500 .$ Nakon druge godine dobit će

$0.04 \cdot 2 600 = 104$

$kn$ kamata koje će uložiti te će njegov ukupni ulog biti

$kn,$ što je

$\cdot 2 500 =$

$1.04 \cdot 2 600 = 1.04 \cdot 1.04 \cdot 2 500 = 1.042 \cdot 2 500$

$^{2} \cdot 2 500 .$

null

Zadatak 9.

U bilježnicu zapišite formulom koliki će biti Markov ukupni ulog nakon $3,$ $5,$ $10,$ $n$ godina.

Nakon tri godine ulog će biti ${1.04}^{3} \cdot 2 500 = 2 812.16 kn .$

Nakon pet godina ulog će biti ${1.04}^{5} \cdot 2 500 = 3 041.63 kn .$

Nakon deset godina ulog će biti ${1.04}^{10} \cdot 2 500 = 3 700.61 kn .$

Nakon

$n$ godina ulog će biti

${1.04}^{n} \cdot 2 500 kn$

$.$

Zatvori

Elektronička pošta

Maja je poslala e-poštu na pet e-adresa. U e-pošti je uputa primatelju da sat vremena nakon primitka proslijedi e-poštu dalje na novih pet e-adresa. Pretpostavimo da svi koji prime e-poštu postupaju po uputi.

Zadatak 10.

Na koliko će e-adresa biti poslana e-pošta nakon

jedan sat
dva sata
pet sati
trinaest sati?

Koliki je to postotak stanovništva Zemlje?

$5 \cdot 5 = 5^{2} = 25$
$5 \cdot 25 = 5^{3} = 125$
$5^{6} = 15 625$
$5^{14} = 6 103 515 625,$ $81.4 %$ stanovništva Zemlje.

(stanovništvo Zemlje $7 500 000 000$ )

Broj djelitelja prirodnoga broja

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

U bilježnicu napišite u obliku potencija sve djelitelje broja:

$3$
$3^{2}$
$3^{3}$
$3^{4} .$

Koliko djelitelja imaju zadani brojevi?

Uočavate li pravilnost? Možete li je obrazložiti? Primijenite uočenu pravilnost pa odredite broj djelitelja broja $3^{25}$ i $3^{n} .$

Broj $3$ ima dva djelitelja: $1$ i $3 .$
Broj $3^{2}$ ima tri djelitelja: $1,$ $3$ i $3^{2} .$
Broj $3^{3}$ ima četiri djelitelja, a broj $3^{4}$ pet. Broj djelitelja je za jedan veći od eksponenta.
Broj $3^{25}$ ima $26$ djelitelja.

Broj $3^{n}$ ima $n + 1$ djelitelja. Djelitelji su osim brojeva $1$ i $3$ potencije broja $3$ s eksponentima od $2$ do $n,$ ukupno $n + 1$ djelitelj.

Broj $3^{2}$ ima tri djelitelja: $1,$ $3$ i $3^{2} .$

Zadatak 12.

Odredite sve djelitelje brojeva:

$3^{2} \cdot 5$ ; $3^{2} \cdot 5^{2}$ ; $3^{2} \cdot 5^{3}$
$3^{2} \cdot 5 \cdot 2$ ; $3^{2} \cdot 5 \cdot 2^{2}$ ; $3^{2} \cdot 5 \cdot 2^{3} .$

Koliko djelitelja imaju zadani brojevi? Uočavate li pravilnost?

Koliko djelitelja ima broj ${p_{1}}^{k_{1}} \cdot {p_{2}}^{k_{2}} \cdot . . . {p_{n}}^{k_{n}}$ gdje su $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}$ različiti prosti brojevi? Obrazložite svoje zaključke.

Broj djelitelja je

$(k_{1} + 1) (k_{2} + 1) . . . (k_{n} + 1) .$

Zadatak 13.

Riješite ove zadatke:

Koliko djelitelja ima broj $16 200 ?$
Odredite sve troznamenkaste prirodne brojeve koji imaju točno pet djelitelja.
Ako je broj djelitelja nekoga prirodnoga broja neparan, dokažite da je taj broj potpun kvadrat.
Pokažite da ne postoji četveroznamenkasti broj djeljiv sa $143$ koji ima točno $9$ djelitelja.

$129 600 = 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2}$ pa ima $(\begin{array}{l} 6 + 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 4 + 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 2 + 1 \end{array}) = 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$ djelitelja.
Broj je oblika $p^{4} .$ Jedini je troznamenkasti broj tog oblika $5^{4} = 625 .$
Ako je broj djelitelja neparan, svi su faktori oblika $k + 1$ neparni. Svi eksponenti su parni pa je broj potpun kvadrat.
Broj je djeljiv sa $143$ pa u rastavu na proste faktore ima $11$ i $13 .$ Zato što je broj djeljitelja $9,$ eksponenti su $2 .$ Ali $11^{2} \cdot 13^{2} = 20 449,$ pa ne postoji četveroznamenkasti broj s traženim svojstvima.

Zatvori

2.1 Pojam potencije

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Potencija s prirodnim eksponentom

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Potencije suprotnih baza

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Broj podskupova

Zadatak 7.

Štednja

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Elektronička pošta

Zadatak 10.

Broj djelitelja prirodnoga broja

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

...i na kraju

2.2 Potencije s cjelobrojnim eksponentom