Processing math: 24%
x
Učitavanje

7.4 Primjena sustava linearnih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Učenica na slici kaže: Na ispitu je bilo 30 zadataka. Točno riješen zadatak donosi 4 boda, a za svaki netočno riješen oduzimaju se 2 boda. Učenik kaže: Mislio sam da sam sve zadatke točno riješio. Ali dobio sam samo 66 bodova.

Koliko je zadataka učenik netočno riješio?

Što je u zadatku nepoznato? Nepoznat je broj točno riješenih i broj netočno riješenih zadataka. Označimo broj točno riješenih zadataka s x i broj netočno riješenih zadataka s y

  1. Učenik je ukupno rješavao
     
    zadataka. Na točno riješenim zadatcima dobio je
     
    bodova. Na netočno riješenim zadatcima izgubio je
     
    bodova.

    x+y
    4x
    2y

    null
    null
  2. Možemo postaviti jednadžbe: x+y=  .
    4x-2y=  .
    null
    null
  3. Rješenje sustava jest ( , ).
    null
    null
  4. Učenik je točno riješio zadatak. Netočno je riješio zadataka.
    null
    null

Zadatak smo riješili pomoću sustava linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Slični se problemi pojavljuju u mnogim područjima matematike, ostalim predmetima i svakodnevnom životu. Pogledajmo neke primjere.

Numerički problemi ili problemi vezani uz brojeve

Zadatak 1.

Podijelimo li dva broja, dobit ćemo količnik 4 i ostatak 16. Koji su to brojevi ako je njihova razlika 103?

  • Pročitaj: Nepoznata su dva broja. Označimo veći s​ x, a manji s y.
  • Poveži: Razlika brojeva jest 103. Dijelimo li veći s manjim, količnik je 4, a ostatak 16. x-y=103, x=4y+16
  • Riješi: {x=4y+16(4y+16)-y=103  {x=4y+163y=87  {y=29x=132. Traženi su brojevi 132 i 29.
  • Provjeri: Razlika brojeva 132 i 29 jest 103. Podijelimo 132 s 29. Količnik je 4, a ostatak 16. 

Dobiveni brojevi zadovoljavaju uvjete zadatka.


Zadatak 2.

Zbroj četiriju brojeva jest 46.2. Poredamo li ta četiri broja od najmanjega do najvećega, možemo uočiti da se povećavaju za isti iznos. Zbroj prvih triju brojeva jest 33.6. Koji su to brojevi?

Označimo najmanji broj s ​ x, a iznos za koji se povećavaju s y.

Brojevi poredani od najmanjega do najvećega jesu: x,x+y,x+2y,x+3y.

Zbroj je 46.2 pa je jedna jednadžba: x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)=46.2.

Zbroj prvih triju brojeva jest 33.6 pa je druga jednadžba: x+(x+y)+(x+2y)=33.6.

Rješavamo sustav:

{4x+6y=46.23x+3y=33.6

Rješenje je par (10.5,0.7).

Brojevi su: 10.5, 11.2, 11.9 i 12.6.


Zadatak 3.

Započnimo niz dvama brojevima. Svaki je sljedeći broj u nizu zbroj prethodnih dvaju. Zbroj prvih
pet tako dobivenih brojeva (uključujući i prva dva) jest ​ 556, a peti je broj 236. Odredite treći broj.

Brojevi su ​ x, y, x+y, x+2y, 2x+3y.

Sustav je {5x+7y=5562x+3y=236

Rješenje sustava jest (23,56).

Treći je broj 32


Zadatak 4.

Dodamo li brojniku i nazivniku nekog razlomka broj 12.5, dobit ćemo razlomak 13953.

Oduzmemo li brojniku i nazivniku tog istog razlomka broj 6.3, dobit ćemo razlomak 50777. Koji je to razlomak?

Označimo brojnik razlomka s x, a nazivnik s y. Dobivamo sustav jednadžbi:

{x+12.5y+12.5= 

Rješenje sustava jest 57,14 .

Razlomak je 57 14 .


Geometrijski problemi

Zadatak 5.

Krak jednakokračnog trokuta šest je puta duži od osnovice. Izračunajte duljine stranica trokuta ako je njegov opseg 315.9 cm .

  • Pročitaj: Označimo duljinu osnovice s ​ x , duljinu kraka s​ y .
  • Poveži:  y = 6 x x + y + y = 315.9
  • Riješi: Rješenje sustava jest 24.3,145.8 .
  • Provjeri: Duljina osnovice jest 24.3 cm , duljina kraka jest 145.8 cm .

Rješenje je smisleno jer dobiveni brojevi zadovoljavaju nejednakost trokuta.


Zadatak 6.

Na slici je jednakokračni trapez.

Osnovice jednakokračnog trapeza na slici odnose se kao 2 : 5 , a zbroj njihovih duljina je 28 cm . Četverokut na slici upisan u trapez jest kvadrat. Odredite površinu trapeza.

Na slici je jednakokračni trapez na kojemu su označene duljine x i y.

Označimo duljine dužina kao na slici.

Jednadžbe su​ x + x + 2 y = 28 x : x + 2 y = 2 : 5

Rješenje je uređeni par 8,6 .

Duljine osnovica iznose 20 cm i 8 cm . Duljina visine jest 8 cm .

Površina je x 2 + x y = 112 cm 2 .


Zadatak 7.

Na slici je pravokutnik iz kojega je izrezan kvadrat.

Razlika duljina stranica pravokutnika jest 9 cm . Iz pravokutnika je uz dužu stranicu izrezan kvadrat kao na slici. Odredite površinu tako dobivenog lika ako je njegov opseg 169.6 cm .

Duljine stranica pravokutnika jesu ​ 3 x i y .

Sustav jednadžbi jest 3 x - y = 9 8 x + 2 y = 169.6 .

Rješenje sustava jest 13.4 , 31.2 .

Površina lika jest 3 x y - x 2 = 1 074.68 cm 2 .


Zadatak 8.

Povećamo li dužu katetu pravokutnog trokuta za 1 cm i skratimo kraću za 3 cm ,  duljina hipotenuze neće se promijeniti. Također se duljina hipotenuze neće promijeniti skratimo li dužu katetu za 4 cm i povećamo kraću za 6 cm . Odredite duljinu hipotenuze.

Označimo dužu katetu pravokutnog trokuta s a , kraću s b , a hipotenuzu s c .

Sustav jednadžbi jest

a + 1 2 + b - 3 2 = c 2 a - 4 2 + b + 6 2 = c 2

Kvadriramo binome i primijenimo Pitagorin poučak.

Dobivamo sustav:

a - 3 b = - 5 - 2 a + 3 b = - 13

Rješenje sustava jest 18 , 23 3 .

Duljina hipotenuze jest 3445 3 19.56 cm .


Funkcije

Zadatak 9.

Prisjetite se definicije grafa funkcije. Označite točan odgovor.

Ako točka ​ s , t pripada grafu funkcije s pravilom pridruživanja f , onda je

null
null

Zadatak 10.

Grafu funkcije s pravilom pridruživanja ​ f x = a x + b pripadaju točke 2,4.3 i - 3,8.3 . Odredite pravilo pridruživanja.

Sustav jednadžbi jest ​ a 2 + b = 4.3 - a 3 + b = 8.3

Rješenje sustava jest - 4.8,6.7 .

Pravilo pridruživanja jest f x = - 4.8 x + 6.7 .


Zadatak 11.

Za funkciju s pravilom pridruživanja

f x = a x + b , x 3 - x + 4 , x > 3

vrijedi: f - 10 = - 25 , f 10 = f - 0.5 .

Odredite pravilo pridruživanja. Označite točne odgovore.

  1.  

    null
    null
  2.  

    null
    null
  3.  

    null
    null
  4. Sustav jednadžbi jest​ - 10 a + b = - 1 2 a + b =   .
    null
    null
  5. Rješenje sustava jest uređeni par .
    null
    null
  6. f 2 = .
    null
    null

Cijene

Zadatak 12.

Anja je na proslavu rođendana donijela 8 vrećica čipsa od jabuka i 3 vrećice suhih marelica na koje je potrošila 105.89 kn . Matej je u istoj trgovini kupio 5 vrećica čipsa od jabuka i 7 vrećica suhih marelica, a platio je 158.38 kn . Koja je cijena čipsa, a koja suhih marelica?

Označimo li cijenu vrećice čipsa s x , a cijenu vrećice suhih marelica s y , dobivamo sustav jednadžbi:

8 x + 3 y   =   105.89 5 x + 7 y   =   158.38

Rješenje sustava jest 6.49 , 17.99 .

Cijena vrećice čipsa jest 6.49 kn , a cijena vrećice marelica 17.99 kn .


Zadatak 13.

Na slici je torba.

Trgovac prodaje sportske torbe po 129.99 kn i školske torbe po 139.99 kn . Prodao je ukupno 123 torbe i naplatio 16 468.77 kn . Koliko je sportskih, a koliko školskih torbi prodao?

Označimo li broj sportskih torbi s x , a broj školskih s y , dobivamo sustav jednadžbi:

129.99 x + 139.99 y = 16 468.77 x + y = 123

Rješenje sustava jest 75,48 .

Prodano je 75 sportskih i 48 školskih torbi.


Zadatak 14.

Na slici je zdjelica s bademima.

Petra kupuje vrećice oguljenih badema od 40 g po 8.99 kn i vrećice pistacija od 30 g po 13.99 kn . Želi kupiti ukupno 480 g badema i pistacija, a na raspolaganju ima 165.86 kn . Koliko vrećica badema, a koliko pistacija može kupiti?

Označimo li broj vrećica badema s x , a broj vrećica pistacija s y , dobivamo sustav jednadžbi:

8.99 x + 13.99 y   =   165.86 40 x + 30 y   =   480

Rješenje sustava jest 6 , 8 .

Petra može kupiti 6 vrećica badema i 8 vrećica pistacija.


Zadatak 15.

Na slici su bicikli.

Anja uspoređuje cijene dviju agencija za iznajmljivanje bicikala. U obje postoji mogućnost unajmljivanja kacige koja se posebno plaća, a cijena unajmljivanja bicikla izražena je u kn/sat . Pronašla je grafove koji prikazuju ovisnost cijene o broju sati najma. Odredite cijenu unajmljivanja kacige u obje agencije te cijenu 1 sata unajmljivanja bicikla. Za koji bi broj sati unajmljivanja cijena unajmljivanja bila jednaka? Koliko iznosi ta cijena?

Na slici su grafovi koji prikazuju ovisnost cijene o broju sati iznajmljivanja.

Žuti mačak: za unajmljivanje kacige 20 kn , 30 kn za 1 sat unajmljivanja bicikla.

Ovisnost cijene y o broju sati unajmljivanja x jest y = 30 x + 20 .

Brzi lisac: za unajmljivanje kacige 50 kn , 20 kn za 1 sat unajmljivanja bicikla.

Ovisnost cijene y o broju sati unajmljivanja x jest y = 20 x + 50 .

Jednaku ćemo cijenu dobiti rješavanjem sustava

y = 30 x + 20 y = 20 x + 50

Rješenje je 3 , 110 .

Za tri sata unajmljivanja cijena će biti ista i iznosit će 110 kn .


Račun smjese

Zadatak 16.

Na slici su zlatne poluge.

 Čistoća zlata izražava se u karatima i u promilima. Težina zlata mjeri se u uncama.

Karata Promila
24 999
22 916
21 875
20 833
18 750
15 625
14 585

Koliko treba uzeti zlata od 15 karata, a koliko od 22 da bi se dobilo 7 unca 20 -karatnog zlata?

Označimo li težinu 15 -karatnog zlata s x , a težinu 22 -karatnog zlata s y , dobivamo sustav jednadžbi:

0.625 x + 0.916 y   =   7 · 0.833 x + y   =   7

Rješenje sustava jest 581 291 , 1456 291 .

Zapišimo rješenja kao decimalne brojeve zaokružene na tri decimale: x 1.997 , y 5.003 .

Treba uzeti 2 unce 15 -karatnog zlata i 5 unci 20 -karatnoga.


Zadatak 17.

Na slici su zrna kave.

Od kave po cijeni od 70 kn za 1 kg i kave po cijeni od 100 kn za 1 kg treba napraviti mješavinu od 400 kg koja će se prodavati po cijeni od 80 kn po kilogramu. Koliko kilograma kave svake vrste treba uzeti?

Označimo li masu prve vrste kave s x , a masu druge s y , dobivamo sustav jednadžbi:

70 x + 100 y   =   400 · 80 x + y   =   400

Rješenje sustava jest 800 3 , 400 3

Zaokružimo rješenje na cijele brojeve.

Treba uzeti 267 kg prve vrste kave i 133 kg druge vrste.


Sudari

Povezani sadržaji

Na slici su kugle za biljar.

U fizici se proučavaju sudari dvaju tijela. Promotrimo centralni elastični sudar. Sudar je centralni ako se središta masa kreću po istom pravcu. Pomoću masa i brzina tijela prije sudara možemo izračunati brzine tijela nakon sudara. Označimo mase tijela s m 1 , m 2 , brzine prije sudara s v 1 , v 2 i brzine nakon sudara s v ´ 1 , v ´ 2 . Za elastične sudare vrijedi zakon očuvanja energije i zakon očuvanja količine gibanja:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v ´ 1 2 + 1 2 m 2 v ´ 2 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ´ 1 + m 2 v ´ 2

Dobili smo sustav jednadžbi koji se može zapisati u jednostavnijem obliku (učinite to):

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ´ 1 + m 2 v ´ 2 v 1 + v ´ 1 = v 2 + v ´ 2

Pogledajte sljedeću animaciju i riješite zadatak.

Označimo zadane veličine: m 1 = 0.03 kg , m 2 = 0.05 kg , v 1 = 14 m/s , v 2 = 0 m/s .

Postavimo sustav jednadžbi:

0.03 · 14 + 0.05 · 0 = 0.03 v ´ 1 + 0.05 v ´ 2 14 + v ´ 1 = 0 + v ´ 2

Rješenje je - 3.5 , 10.5 .

Nakon sudara veća će se kuglica gibati brzinom od 10.5 m/s , a manja će se kuglica odbiti u suprotnom smjeru brzinom od 3.5 m/s .


Zadatak 18.

Dva tijela čije su mase 1 kg i 0.4 kg gibaju se po pravcu jedno prema drugom brzinama 5 m/s i ​ - 10 m/s . Odredite brzine nakon sudara.

Sustav jednadžbi jest

v ´ 1 + 0.4 v ´ 2   =   1 v ´ 1 - v ´ 2   =   - 15

Rješenje sustava jest - 25 7 , 80 7

Zapišimo rješenje kao decimalne brojeve zaokružene na dvije decimale.

Prvo se tijelo nakon sudara kreće brzinom - 3.57 m/s , a drugo brzinom 11.43 m/s .


Zadatak 19.

Kojom brzinom treba kuglica mase 0.2 kg udariti u kuglicu mase 0.3 kg koja miruje ako želimo da se kuglica koja je mirovala počne gibati brzinom od 4 m/s ? Kako će se nakon sudara kretati prva kuglica?

Sustav jednadžbi jest​

0.2 v 1 - 0.2 v ´ 1 = 1.2 v 1 + v ´ 1 = 4

Rješenje sustava jest 5 , - 1 .

Treba udariti brzinom od 5 m/s . Nakon sudara kretat će se u suprotnom smjeru brzinom 1 m/s .


Kutak za znatiželjne

Zadatak 20.

Tri prijateljice Maja, Petra i Iva skupljaju knjige iz kriminalističke serije Fearstreet. Kad bi Petra skupila još 6 knjiga, imala bi ih toliko koliko imaju Maja i Iva zajedno. Kad bi Iva skupila još 10 knjiga, imala bi ih toliko koliko imaju Maja i Petra zajedno. Njihova su prezimena Anić, Ančić i Aničić. Djevojka Aničić ima 13 knjiga, a broj knjiga djevojke Anić djeljiv je s 5 . Odredite koliko koja djevojka ima knjiga i koje je čije prezime.

Maja Ančić ima 8 knjiga, Petra Anić ima 15 , a Iva Aničić 13 .


Zadatak 21.

Na Županijskom natjecanju iz matematike zadan je zadatak:

Neka je p , r , s , t 4,8,12,16 . Promatrajući sve moguće izbore brojeva p , r , s , t nađite sva rješenja sustava

x + y + z = p x + y - z = r x - y + z = s x - y - z = t

Riješite zadatak.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici rješavali probleme pomoću sustava linearnih jednadžbi. Smislite sami neki sličan problem. Postavite zadatke prijateljima iz razreda.