Matematika 1 - 2.4 Računanje s potencijama jednakih eksponenata

Na početku...

Na slici je prikaz dva računala i mladića koji se dvoumi je li memorija prvog računala od 500 GB veća od drugog na kojemu piše 500 Gi.

Kako bismo odgovorili na pitanje što je veće - $500 GB$ ili $500 Gi,$ i koliko puta, prisjetit ćemo se vrijednosti gigabajta i gibibajta koje su dane na početku prošle jedinice, a zatim izračunati njihov omjer.

$1 GB = 10^{9} bajtova, 1 Gi= 2^{30} bajtova$

$\frac{500 \cdot 2^{30}}{500 \cdot 10^{9}} = \frac{2^{30}}{10^{9}} = ?$

Kako ćemo podijeliti te dvije potencije koje nemaju istu bazu? Može li se rezultat toga dijeljenja zapisati u obliku potencije?

Potražimo odgovore na ta pitanja.

Primjer 1.

Otkrijmo pravila za računanje s potencijama jednakih eksponenata.

Posložite u redoslijedu kojim računamo umnožak potencija $a^{3} \cdot b^{3} .$
$= a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b$

$= (a \cdot b)^{3}$

$a^{3} \cdot b^{3}$

$= (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b)$
null

null
Posložite u redoslijedu kojim računamo potenciju $(2 a)^{5} .$
$= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$

$= 2^{5} \cdot a^{5}$

$(2 a)^{5}$

$= (2 a) \cdot (2 a) \cdot (2 a) \cdot (2 a) \cdot (2 a)$
null

null
Posložite u redoslijedu kojim računamo kvocijent potencija $\frac{a^{4}}{b^{4}} :$
$\frac{a^{4}}{b^{4}}$

$(\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b})$

$= \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b \cdot b}$

$= {(\frac{a}{b})}^{4}$
null

null

Primjer 2.

Izračunajmo i rješenje zapišimo u obliku potencije.

$\begin{array}{l} {(- 2)}^{5} \cdot 5^{5} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \end{array}$

$\begin{array}{l} (- 2 \cdot 5) \cdot (- 2 \cdot 5) \cdot (- 2 \cdot 5) \cdot (- 2 \cdot 5) \cdot (- 2 \cdot 5) = {(- 2 \cdot 5)}^{5} = {(- 10)}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{108^{4}}{36^{4}} = \frac{108 \cdot 108 \cdot 108 \cdot 108}{36 \cdot 36 \cdot 36 \cdot 36} = \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{108}{36})}^{4} = 3^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{6}{7})}^{20} \cdot {(\frac{28}{3})}^{20} = \underset{\times 20}{\underset{⏟}{(\frac{6}{7}) \cdot . . . \cdot (\frac{6}{7})}} \cdot \underset{\times 20}{\underset{⏟}{(\frac{28}{3}) \cdot . . . \cdot (\frac{28}{3})}} = \end{array}$

$\begin{array}{l} \underset{\times 20}{\underset{⏟}{(\frac{6}{7} \cdot \frac{28}{3}) \cdot . . . \cdot (\frac{6}{7} \cdot \frac{28}{3})}} = {(\frac{6^{2}}{7} \cdot \frac{28^{4}}{3})}^{20} = 8^{20} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{- 3} \cdot y^{- 3} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} = \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x \cdot y} \cdot \frac{1}{x \cdot y} \cdot \frac{1}{x \cdot y} = {(\frac{1}{x \cdot y})}^{3} = (x \cdot y)^{- 3} \end{array}$

Možemo li skratiti prikazani postupak računanja? Jeste li uočili pravilo kojim se možemo koristiti za množenje odnosno dijeljenje potencija jednakih eksponenata?

Provjerite uočeno pravilo na sljedećim zadatcima.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Pomnožite.

Zadatak 2.

Podijelite.

Zatvori

Pravila za računanje s potencijama jednakih eksponenata

Neka su $a, b \in R \ \{0\}$ i $n \in N .$

Tada je:

$\begin{array}{l} a^{n} \cdot b^{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} \cdot \underset{n}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}} = \underset{n}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}} = {(a \cdot b)}^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{n} : b^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} = \frac{\overset{n}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}}{\underset{n}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}}} = \underset{n}{\underset{⏟}{(\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b}) \cdot . . . \cdot (\frac{a}{b})}} = {(\frac{a}{b})}^{n} . \end{array}$

Pravilo vrijedi i za $n \in Z .$ Uvjerite se.

Potencije jednakih eksponenata množimo tako da baze pomnožimo, a eksponent prepišemo.

Potencije jednakih eksponenata dijelimo tako da baze podijelimo, a eksponent prepišemo.

Zadatak 3.

U sljedećim zadatcima primijenite pravila za računanje s potencijama jednakih eksponenata. Rješenje zapišite u obliku potencije tako da upišete bazu i eksponent na predviđeno mjesto.

${2.5}^{7} \cdot 4^{7} = a^{n}, a =$ $n =$

null

null
${(- 0.01)}^{11} \cdot 200^{11} \cdot {(- 10)}^{11} = a^{n}, a =$ $n =$

null

null
$4000^{5} : 200^{5} = a^{n}, a =$ $n =$

null

null
$\frac{125^{4} \cdot 4^{6}}{2^{12}} = 5^{n}, n =$

null

null

Primjer 3.

Napišimo sljedeće izraze bez zagrada i bez razlomačke crte.

$(- 3 a^{- 2})^{3} = (- 3)^{3} \cdot (a^{- 2})^{3} = - 27 a^{- 6}$

${(\frac{25 x}{y^{4}})}^{2} = \frac{25^{2} x^{2}}{{(y^{4})}^{2}} = 625 x^{2} y^{- 8}$

$\begin{array}{l} (2 a^{3} b^{4}) \cdot (0.5 a^{- 1} b^{- 5}) = (2 \cdot 2^{- 1}) \cdot (a^{3} \cdot a^{- 1}) \cdot (b^{4} \cdot b^{- 5}) = 2^{0} a^{2} b^{- 1} = a^{2} b^{- 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{x^{- 1} y^{3}}{2 x^{2}})}^{- 2} = \frac{{(x^{- 1})}^{- 2} \cdot {(y^{3})}^{- 2}}{2^{- 2} \cdot {(x^{2})}^{- 2}} = \frac{1}{2^{- 2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{- 4}} \cdot \frac{y^{- 6}}{1} = 4 x^{2 - (- 4)} y^{- 6} = 4 x^{6} y^{- 6} \end{array}$

Uočimo da zagradu unutar koje se potencije množe ili dijele potenciramo tako da svaku potenciju unutar nje potenciramo. Pritom moramo paziti da ne zaboravimo potencirati brojčane vrijednosti, odnosno koeficijente koji obično stoje ispred potencije.

Prikaz s bazom $a$ ili eksponentom $n$

U nekim je matematičkim kontekstima vrlo korisno brojeve prikazati kao potenciju sa zadanom bazom ili zadanim eksponentom. Zbog toga riješimo nekoliko zadataka.

Primjer 4.

Prikažimo sljedeće izraze kao potenciju s bazom $3 :$

$\frac{1}{81} = 3^{- 4}$

$9^{x} = {(3^{2})}^{x} = 3^{2 x}$

$27^{n - 1} = {(3^{3})}^{n - 1} = 3^{3 (n - 1)} = 3^{3 n - 3}$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Rezultat pojednostavnjivanja sljedećih izraza prikažite u obliku potencije s bazom $2 .$

Pojednostavnite izraz i uparite ga s rješenjem.

$12^{x} : 3^{x}$	$2^{9}$
$4^{x + 1} \cdot 2^{2 x - 2}$	$2^{2}$
${(\begin{array}{l} \frac{1}{4^{5}} \cdot 8^{2} \cdot \frac{2}{16^{- 1}} \end{array})}^{2}$	$2^{6 x}$
${(\frac{2}{2^{x}})}^{3}$	$2^{4 x}$
$10 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4^{3}$	$4^{x}$
$(- 24)^{2 x} : (- 3)^{2 x}$	$2^{3 - 3 x}$

null

Zadatak 6.

Uparite dani izraz s njegovim prikazom u obliku potencije s eksponentom različitim od 1.

$\frac{5^{16}}{2^{20}}$	${(\begin{array}{l} \frac{10}{3} a^{3} b^{- 4} \end{array})}^{3}$
$\frac{81 \cdot 5^{8}}{2^{12}}$	${(\frac{72}{5})}^{x}$
$\frac{3^{2 x} \cdot 2^{3 x}}{5^{x}}$	${(\frac{625}{32})}^{4}$
$\frac{1 000}{27} a^{9} b^{- 12}$	$(5 x^{2})^{2}$
$25 x^{4}$	${(\frac{75}{8})}^{4}$

null

Zadatak 7.

U igri memory skrivaju se potencije: trebate pronaći zadatak i njegovo rješenje u obliku potencije te, naravno, zapamtiti gdje se nalazi. Treba pronaći šest parova.

Zatvori

Povezani sadržaji

Na slici je kolonija bakterije Esherichie Coli. — Escherichia coli

Bakterija Escherichia coli najčešći je uzročnik raznih infekcija i upala. Najnovija su istraživanja znanstvenika pokazala da Escherichia coli svakih $20$ minuta udvostruči svoju populaciju te da se svakim novim povećanjem bolje prilagođuje različitim uvjetima.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Broj je bakterija u populaciji Escherichie coli na početku eksperimenta iznosio približno $1 000 .$ Znanstvenik bilježi broj bakterija u populaciji svaki sat vremena od početka eksperimenta.

Koliki je broj bakterija u populaciji nakon sat vremena?
Koliko će se puta taj broj povećati u razdoblju od $24$ sata?

Ako je eksperiment započeo u $8$ sati ujutro, izračunajte za koliko se broj bakterija povećao u razdoblju od $10$ do $11$ sati, a zatim od $11$ do $12$ sati istoga dana? Odredite razliku i omjer dobivenih brojeva? Što primjećujete?

U rješavanju zadatka pomoći će vam popunjavanje sljedeće tablice. Rezultate u tablici zapisujte u obliku potencije, odnosno: $a \cdot b^{x} .$ Pri upisivanju u tablicu koristite simbol * za množenje, a simbol ^ za potenciranje.

Zadatak 9.

Broj bakterija u populaciji nakon $n$ razdoblja udvostručenja od po $20$ minuta iznosi

.
Broj bakterija u populaciji nakon $1$ sat iznosi

.
Broj bakterija u populaciji nakon $2$ sata iznosi

.
Broj bakterija u populaciji nakon $t$ sati iznosi

.
Broj bakterija u populaciji nakon $24$ sata iznosi

.
Zaključujemo da se broj bakterija povećao

puta u odnosu na početak eksperimenta.

$1 000 \cdot 2^{3 \cdot 24} = 1 000 \cdot 2^{72}$

$1 000 \cdot 2^{6}$

$1 000 \cdot 2^{n}$

$1 000 \cdot 2^{3 t}$

$2^{72}$

$1 000 \cdot 2^{3}$

null

U razdoblju od $10$ do $11$ sati broj se bakterija povećao za

.
U razdoblju od $11$ do $12$ sati broj se bakterija povećao za

.
Njihov je omjer uvijek isti i iznosi

, a razlika se povećava.

$3 584 000$

$8$

$448 000$

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

U sljedećim zadatcima primijenite pravila za računanje s potencijama i pravila za računanje s realnim brojevima.

Zadatak 10.

Izračunajte i rješenje zapišite na papiru u obliku potencije ${0.1}^{n} \cdot {0.01}^{n} \cdot {0.001}^{n} \cdot . . . \cdot 0 . \underset{99 n u l a}{\underset{⏟}{000...0}} 1^{n} .$
Koliko znamenaka ima broj $3 \cdot 2^{50} \cdot 5^{47} ?$
Zapišite broj $10 \cdot 9^{20} + 3^{42}$ u obliku $a \cdot 3^{n},$ odnosno kao umnožak realnog broja $a$ i potencije s bazom $3 .$
Dokažite da je broj $20 \cdot 3^{101} - 7 \cdot 9^{50}$ djeljiv s $53 .$
Zapišite u obliku potencije s bazom 2: $6 \cdot 2^{n} + 2^{n + 1} \cdot \frac{1}{2^{- 2}} + 4^{n} : 2^{n - 1} .$

$10^{- 5050 n}$
$49$ znamenki
$19 \cdot 3^{4}$
Dani se izraz može zapisati kao $53 \cdot 3^{100}$
$2^{n + 4}$

$\frac{(- 2)^{x} \cdot 3^{x}}{4^{x}}$	$- 10 a^{7}$
${(\frac{1}{6})}^{x} : {(\frac{18}{4})}^{- x}$	${(\begin{array}{l} \frac{- 3}{2} \end{array})}^{x}$
$(\begin{array}{l} - 2 a^{3} \cdot 5 a^{4} \end{array})$	$25$
$\frac{3^{2 x}}{3^{x}}$	$3^{x}$
$\frac{5^{x + 2}}{5^{x}}$	${(\frac{3}{4})}^{x}$

2.4 Računanje s potencijama jednakih eksponenata