Matematika 1 - 8.4 Formule za površinu trokuta

Površina pravokutnika i pravokutnog trokuta

Prisjetimo se računanja površine pravokutnika.

Zadatak 1.

Odredite površinu pravokutnika na slikama pa sparite sliku pravokutnika i njegovu površinu u ${cm}^{2} .$

null

Zadatak 2.

Izračunajte površinu pravokutnika kojemu su duljine stranica $12.3 cm$ i $7.1 cm .$

$p = 87.33 {cm}^{2}$

Zatvori

Zaključimo:

Površina pravokutnika kojemu su duljine stranica $a$ i $b$ računa se po formuli $p = a b .$

Zadatak 3.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta i njegovu površinu u ${cm}^{2} .$

null

Zadatak 4.

Izračunajte površinu pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta $15.3 cm$ i $7.6 cm .$

$p = 58.14 cm$

Zatvori

Zaključimo: Dijagonala dijeli pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika kojemu su stranice katete pravokutnog trokuta.

Površina pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta $a$ i $b$ računa se po formuli $p = \frac{a b}{2} .$

Zadatak 5.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta i njegovu površinu u ${cm}^{2} .$

null

Površina trokuta

Računali smo površinu pravokutnog trokuta. Može li nam to pomoći pri računanju površine trokuta koji nije pravokutan? Nacrtamo li u trokutu neku visinu, pojavit će se pravokutni trokuti. Promotrite slike.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Odredite površinu pravokutnih trokuta na slikama pa sparite sliku trokuta $A B C$ i njegovu površinu u ${cm}^{2} .$

null

Zadatak 7.

Odaberite prikladnu metodu pa izračunajte površinu trokuta na slici.

Površina trokuta na slici jest

{cm}^{2}

null

Površina trokuta na slici jest

{cm}^{2}

null

Površina trokuta na slici jest

{cm}^{2}

Pomoć:

Od površine pravokutnika oduzmite površine triju pravokutnih trokuta.

Na slici je trokut upisan u pravokutnik.

null

Zatvori

Primjer 1.

Površinu trokuta možemo odrediti pomoću površine pravokutnih trokuta. Nacrtajmo u šiljastokutnom trokutu jednu visinu. Trokut je podijeljen na dva pravokutna trokuta.

$P = P_{1} + P_{2} = \frac{x v}{2} + \frac{y v}{2} = \frac{v}{2} (x + y) = \frac{v}{2} c = \frac{v c}{2}$

Zadatak 8.

Na slici je tupokutni trokut. Označena je visina i projekcije dviju stranica na treću.

Hoćemo li za tupokutni trokut dobiti istu formulu? Izvedite formulu za površinu tupokutnog trokuta.

$P = P_{1} - P_{2} = \frac{(c + x) v}{2} - \frac{x v}{2} = \frac{v}{2} (c + (x - x)) = \frac{v}{2} c = \frac{v c}{2}$

Zaključimo:

Površina trokuta sa stranicom $a$ i visinom na tu stranicu $v$ računa se po formuli $p = \frac{a v}{2} .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Izračunajte površinu trokuta $A B C$ na slikama.

$p =$ ${cm}^{2} .$

null

null
$p =$ ${cm}^{2}$

null

null
$p =$ ${cm}^{2} .$

null

null

Zadatak 10.

Površinu složenijih likova možemo izračunati dijeljenjem lika na trokute. Izračunajte površine likova sa slika pa upišite točan odgovor.

$p =$ ${cm}^{2}$

null
$p =$ ${cm}^{2}$ .

null
$p =$ ${cm}^{2}$ .

null

null

Zatvori

Opseg i površina trokuta

Postoji li veza između površine i opsega trokuta? Istražimo.

Praktična vježba

Nacrtajte trokut. Izmjerite mu duljine stranica pa izračunajte opseg. Nacrtajte neku visinu, izmjerite joj duljinu pa izračunajte površinu. Nacrtajte još neke veličine karakteristične za trokut pa i njih izmjerite. Možete li uočiti neku pravilnost među izmjerenim i izračunatim veličinama? Zapišite svoje pretpostavke.

Promotrite površinu i opseg trokuta na mnogo primjera u sljedećoj interakciji. Mijenjajte položaj vrhova trokuta. Uočavate li neku pravilnost među izmjerenim veličinama? Zapišite svoje zaključke.

Zadatak 11.

Označimo površinu trokuta $p,$ opseg trokuta $o,$ polumjer opisane kružnice $R,$ polumjer upisane kružnice $r .$ Na osnovi prethodnih promatranja označite točan odgovor.

$\frac{p}{o} =$

2 R

2 r

\frac{1}{2} r

\frac{1}{2} R .

null

Zaključimo.

Neka je $r$ polumjer trokutu upisane kružnice, a $s = \frac{1}{2} o = \frac{1}{2} (a + b + c)$ poluopseg. Površina trokuta računa se po formuli $p = \frac{r o}{2} = r s .$

Na slici je trokut i središte trokutu upisane kružnice.

Dokažite formulu za površinu. Spojite središte upisane kružnice i vrhove trokuta. Trokut $A B C$ podijeljen je na tri trokuta:

$△ S B C, △ S C A i △ S A B .$ Promotrite trokut $S B C .$ Osnovica tog trokuta jest $a .$ Visina na osnovicu jest $r .$ Zapišite formulom površinu tog trokuta. Ponovite isti postupak za preostala dva trokuta. Postavite u trokute formule za njihovu površinu.

Na slici je trokut, simetrale kutova i središte trokutu upisane kružnice

$\frac{a r}{2}$

$\frac{b r}{2}$

$\frac{c r}{2}$

null

Ukupnu ćemo površinu trokuta $A B C$ dobiti zbrajanjem površina triju trokuta od kojih se sastoji:

$p = p_{1} + p_{2} + p_{3} = \frac{a r}{2} + \frac{b r}{2} + \frac{c r}{2} = r \frac{a + b + c}{2} = r s$

Zadatak 12.

Duljine stranica trokuta iznose $5 cm,$ $3.5 cm$ i $6.5 cm .$ Polumjer upisane kružnice jest $\frac{2 \sqrt{3}}{3} cm .$

Odredite površinu trokuta.

$p = 5 \sqrt{3} {cm}^{2}$

Projekt

Unutar pravokutnog zemljišta dimenzija $10 m \times 7 m$ treba ograditi dio u obliku trokuta. Na raspolaganju nam je $28 m$ ograde. Na ograđenom dijelu zemljišta izgradit će se bazen okrugla oblika. Predložite nekoliko rješenja. Za svako predloženo rješenje nacrtajte u bilježnicu skicu, izračunajte površinu zemljišta i površinu bazena.

Metoda površina

Kutak za znatiželjne

U trokutu su $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ duljine visina, a $r$ je duljina polumjera upisane kružnice. Dokažite: $\frac{1}{r} = \frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}} + \frac{1}{v_{3}}$

U dokazu ste koristili dvije formule za površinu trokuta. Metoda dokazivanja identiteta pomoću različitih formula za površinu istog lika naziva se metoda površina. Primijenite metodu površina u sljedećem zadatku.

Zadatak 13.

Zbroj udaljenosti bilo koje unutarnje točke jednakostraničnog trokuta do njegovih stranica ne ovisi o izboru te točke. Čemu je jednak zbroj tih udaljenosti? Dokažite.

...i na kraju

Površina trokuta može se odrediti na različite načine. Koji ćemo način odabrati ovisi o vrsti trokuta i poznatim elementima trokuta. Promotrimo na kraju još jednu formulu za računanje površine trokuta. Formula se naziva Heronova formula, a koristi se za računanje površine trokuta kojem su zadane duljine svih triju stranica trokuta. U formuli su duljine stranica označene s $a, b, c$ i poluopseg sa $s .$

Heronova formula: $p = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

Zadatak 14.

Izračunajte Heronovom formulom površinu trokuta kojemu su stranice duljina $30 cm,$ $38 cm,$ $28 cm .$

$p = 240 \sqrt{3} {cm}^{2}$

U nekim zadatcima možemo površinu trokuta izraziti na dva načina te pomoću tih formula izračunati nepoznati element trokuta. Samostalno ili uz pomoć videa riješite zadatak:

Duljine stranica trokuta iznose $13 cm,$ $14 cm$ i $15 cm .$ Odredite duljinu polumjera upisane kružnice.

Kutak za znatiželjne

Na slici je trokut. Nacrtana je visina iz vrha A.

Dokažite Heronovu formulu.

Izrazite površinu trokuta pomoću stranice $a$ i visine $v .$
Izrazite kvadrat visine $v^{2}$ na dva načina.
Izjednačite izraze za kvadrat visine pa izrazite $x .$
Uvrstite dobiveni izraz za $x$ u jednu od formula za kvadrat visine $v^{2} .$ Dobili ste izraz za kvadrat visine u kojem se pojavljuju samo duljine stranica. Taj izraz treba srediti.
Uočite razliku kvadrata pa izraz rastavite na faktore.
Svedite izraze u zagradama na zajedničke nazivnike.
Zapišite izraze u brojniku kao razlike kvadrata pa ih rastavite na faktore.
Uvedite oznaku za poluopseg $s = \frac{a + b + c}{2} .$ Zapišite faktore u brojniku na jednostavniji način pomoću $s .$ Dobili ste formulu za visinu pomoću $a,$ $b,$ $c$ i $s$ u faktoriziranom obliku.
Uvrstite izraz za visinu u formulu za površinu trokuta i sredite.

8.4 Formule za površinu trokuta

Na početku...

Površina pravokutnika i pravokutnog trokuta

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Površina trokuta

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Opseg i površina trokuta

Praktična vježba

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Projekt

Metoda površina

Kutak za znatiželjne

Zadatak 13.

...i na kraju

Zadatak 14.

Kutak za znatiželjne

8.5 Proporcionalnost