U žurbi je, da bi što prije krenuo na zasluženi godišnji odmor, Marin zaboravio natočiti gorivo u svoj automobil. Na putu prema odredištu morao je pozvati prijatelja upomoć i objasniti gdje se nalazi. Rekao je: „Nalazim se sto metara od oznake
16. kilometra te ceste.”
Je li Marin bio precizan? Koji je njegov točan položaj?
Zamislimo cestu kao brojevni pravac, s oznakom za šesnaesti kilometar u broju
16.
Marin je od te oznake udaljen
100 metara, ali ne znamo je li
100 metara prema početku ili
100
metara prema kraju ceste (od početka do kraja brojenja kilometara te ceste).
Označimo Marinov položaj na brojevnom pravcu s
x (kilometri od početka ceste). Udaljenost Marina od oznake 16. kilometra jednaka je
0.1km. To znači da udaljenost broja
x od broja
16 na brojevnom pravcu iznosi
0.1.
Sa slike vidimo da su točno dva takva broja,
x=15.9ix=16.1. Prema tome, Marinov je položaj ili na 15.9km ili na 16.1km od početka ceste.
Za određivanje Marinova položaja intuitivno smo primijenili geometrijski prikaz. No znamo da to nije uvijek praktična i pouzdana metoda.
Kao što smo na početku ponovili, udaljenost je dvaju brojeva apsolutna vrijednost njihove razlike. Zato isti zadatak možemo zapisati i algebarski u obliku jednadžbe s apsolutnom vrijednosti:
|x-16|=0.1.
Njezina su rješenja x=16+0.1=16.1ix=16-0.1=15.9.
Zadatak 2.
Povežite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti i njezinu geometrijsku interpretaciju.
|x-14|=32
Broj
x je od broja
6 udaljen za
1.
|x+2.5|=3.8
Dvokratnik broja
x je od broja
3 udaljen za
10.
|2x-3|=10
Broj
x je od broja
-2.5 udaljen za
3.8.
|x-6|=15
Broj
x je od broja
0.25 udaljen za
1.5.
null
null
Jednadžbe koje se svode na
|x|=a,a∈R,a≥0
Primjer 3.
Riješimo jednadžbu
|x-4.5|=2.3.
Primjer 4.
Algebarski pristup
Rješavamo kao i jednadžbu
|x|=a,a∈R,a≥0. Zato vrijedi:
|x-4.5|=2.3
↙↘
x-4.5=-2.3x=4.5-2.3x=2.2
ili
x-4.5=2.3x=4.5+2.3x=6.8.
Taj je način rješavanja primjenjiv uvijek kad imamo sve članove izraza unutar jedne zagrade apsolutne vrijednosti na jednoj strani jednadžbe, a nenegativan realan broj na drugoj strani.
Zadatak 3.
Riješite jednadžbu
|x+76|=83
tako da povučete i složite sve korake prema redoslijedu njezina rješavanja.
x=32ilix=-236
x=-7+166ilix=-7-166
x=-76+83ilix=-76-83
x+76=83ilix+76=-83
null
null
Zadatak 4.
Riješite sljedeće jednadžbe gore opisanom algebarskom metodom.
|3x+5|=12
|12x-4|=6
|2-xx-3|=3
|2x+3|=5
x=73,x=-173
x=-4,x=20
x=114,x=72
x=-14,x=1
Primjer 5.
Kako riješiti jednadžbu
|2x-3|=3x ?
Po čemu se ta jednadžba razlikuje od jednadžbe
|2x-3|=5?
Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.
Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.
null
null
Posljednja tvrdnja omogućuje rješavanje jednadžbe
|2x-3|=3x na isti način kao i jednadžbe
|2x-3|=5 jer je varijabla
x zamjena za bilo koji realan broj.
Međutim, kao što smo prije vidjeli, ovisno o tom broju jednadžba može imati različiti broj rješenja ili ih uopće ne imati.
Zato, ako nam je u jednadžbi apsolutna vrijednost jednaka algebarskom izrazu, jednadžba će imati rješenje samo ako je taj algebarski izraz nenegativan.
Taj ćemo uvjet postaviti na početku rješavanja jednadžbe i na kraju provjeriti je li ispunjen za dobivena rješenja. Pogledajmo.
Uvjet da jednadžba ima rješenje je
3x≥0.
|2x-3|=3x,3x≥0
↙↘
2x-3=-3x2x+3x=3x=353·35>0
ili
2x-3=3x2x-3x=3x=-33·(-3)<0
Rješenje
x=-3 ne zadovoljava uvjet pa je jedino rješenje početne jednadžbe
x=35.
Zadatak 5.
Riješite jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.
|3x-1|=x+3
|2x-12|=-2x+52
14|x7+114|-3=5x
|3x-1|-x=4
|3x-1|=x+3,x+3≥0
↙↘
3x-1=x+32x=4x=2
ili
3x-1=-x-34x=-2x=-12
x=1
x=-47
x=-1.
Primjer 6.
Zadatak 6.
Riješite jednadžbe.
||2-x|-3|=1
||3x-5|-5|=5
|10-2|x+1||=20
|||x-2|-3|-4|=5
Skup rješenja je {-2,0,4,6}.
Skup rješenja je {-53,53,5}.
Skup rješenja je {-16,14}.
Skup rješenja je {-10,14}.
Jednadžbe koje se svode na |x|=|y|
Primjer 7.
Ako je
|x|=|y|, što možemo zaključiti o brojevima
xiy? Što to znači u geometrijskom smislu?
Ako je
|x|=|y|, tada su brojevi
xiy jednako udaljeni od
na brojevnom pravcu.
To je moguće samo ako su brojevi
xiy
Pokušajte zamijeniti redoslijed s odgovorom koji neposredno slijedi.
brojevi ili ako su to
Pokušajte zamijeniti redoslijed s prethodnim odgovorom.
brojevi.
null
null
Zadatak 7.
Za koje od sljedećih parova brojeva vrijedi
|x|=|y|?
Više je mogućih odgovora.
null
null
|x|=|y|⇔x=yilix=-y
Primijenimo istaknuto svojstvo u rješavanju sljedećih jednadžbi s apsolutnom vrijednosti.
Zadatak 8.
a. Riješite jednadžbu
|x|=|2x-7|.
Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.
x-2x=-7ilix+2x=7
-x=-7ili3x=7
x=7ilix=73
x=2x-7ilix=-(2x-7)
null
null
b. Riješite jednadžbu|3x+8|=|4x-1|.
Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.
-x=-9ili7x=-7
3x+8=4x-1ili3x+8=-(4x-1)
3x-4x=-8-1ili3x+4x=-8+1
x=9ilix=-1
null
null
Kutak za znatiželjne
Kako riješiti jednadžbu
x2=9?
Znamo da postoje dva broja koja kvadrirana daju broj
9. To su brojevi
3 i
-3.
Vidjeli smo na početku ove jedinice da ta ista rješenja ima i jednadžba
|x|=3.
Kažemo da su te dvije jednadžbe ekvivalentne jer imaju isti skup rješenja.
Ta tvrdnja vrijedi i općenito. Zapišimo to.
x2=a,a≥0⇔|x|=√a
Rješenja jednadžbe
x2=9 jednostavno smo odredili napamet, ali zašto baš ima dva rješenja? Pogledajmo sljedeći postupak.
x2=9x2-9=0(x+3)(x-3)=0
↙↘
x+3=0x=-3
ili
x-3=0x=3
Koristili smo se činjenicom da je umnožak dvaju brojeva jednak
0 ako i samo ako je jedan od faktora jednak
0.
Nekad želimo izbjeći taj postupak pa zadatak svodimo na jednadžbu s apsolutnom vrijednosti primjenjujući gore istaknuto svojstvo.
Zadatak 9.
Riješimo jednadžbu
(5x-1)2=16.
U sljedećoj tablici povlačenjem složite elemente (koji se nalaze ispod tablice) prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe – u prvom stupcu rastavljanjem na faktore, a u drugom stupcu svođenjem na jednadžbu s apsolutnom vrijednošću.
(5x-1)2-16=0
(5x-5)(5x+3)=0
5x-1=4ili5x-1=-4
|5x-1|=√16
((5x-1)-4)((5x-1)+4)=0
|5x-1|=4
5x=1+4ili5x=1-4
5x-5=0ili5x+3=0
null
null
Odaberite metodu
U sljedećim zadatcima odaberite pogodnu metodu i riješite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti.
Zadatak 10.
|4-x|-3=1
ili
ili
nema rješenja, brojevi
i
ne zadovoljavaju uvjet
ili
ili
ili
...i na kraju
Malo rasprave!
Zadatak 11.
Odredite realni broj
tako da rješenje jednadžbe
bude jednako
Odredite realni broj
tako da apsolutna vrijednost rješenja jednadžbe
bude jednaka
Može se uvrstiti
u danu jednadžbu.
Tada je
ali dana će jednadžba imati rješenje ako je ispunjen uvjet
Zato je rješenje samo broj
Rješenje je zadane jednadžbe broj
Njegova je apsolutna vrijednost jednaka
a to zapisujemo kao
Rješenje su te jednadžbe brojevi
i
Zadatak 12.
U sljedećim zadatcima može biti više točnih odgovora.
Odaberite sve realne brojeve koji su rješenje jednadžbe
null
null
Koji od sljedećih brojeva nije rješenje jednadžbe
null
null
Odaberite sve realne brojeve
za koje jednadžba
ima točno jedno rješenje.
null
null
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Jednadžba ima rješenje:
null
null
2
Jednadžba ima rješenje:
null
null
3
Jednadžba ima rješenje:
null
null
4
Razvrstajte jednadžbe s apsolutnim vrijednostima u skupine prema dobivenom rješenju.
null
null
5
Uparite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti s jednadžbom koja ima / jednadžbama koje imaju isti skup rješenja.