Matematika 1 - Aktivnosti za samostalno učenje

Kut elevacije i depresije

Na slici je kut elevacije i kut depresije.

Kut elevacije i depresije je kut između objekta i horizonta. Kut elevacije predstavlja otklon od horizonta prema gore, a pojavljuje se ako promatrač gleda prema gore. Kut depresije predstavlja otklon od horizonta prema dolje, a pojavljuje se ako se promatrač gleda prema dolje.

Primjer 1.

Promatrač visok $175$ $cm$ od zgrade je udaljen $5$ $m$ i vidi vrh zgrade pod kutom elevacije od $64 ° .$ Koliko je visoka zgrada?

Iz pravokutnog trokuta je $tg φ = \frac{x}{5} \Rightarrow x = 5 tg φ = 10.25$ pa je visina zgrade $h = 10.25 + 1.75 = 12 m .$

Zadatak 1.

Koliki je kut elevacije (visina Sunca) ako drvo visine $7$ metara ima sjenu $18$ metara?

Iz trigonometrijskog omjera tangens možemo izračunati kut elevacije.

$α = {tg}^{- 1} (\frac{7}{18}) = 21 ° 15' 2 "$

Zadatak 2.

Na slici je opis kako izmjeriti visinu zgrade uz pomoć trigonometrije pravokutnog trokuta.

Taj Mahal je arhitektonski spomenik u Indiji koji je izgradio mogulski vladar Džahan-šah u spomen na svoju prerano preminulu ženu. Taj Mahal se smatra vrhunskim ostvarenjem mogulske arhitekture. Godine 1983. postao je UNESCO-ov spomenik svjetske baštine opisan kao „dragulj islamske umjetnosti u Indiji i jedan od univerzalno priznatih remek-djela svjetskog nasljeđa”. Koliko je visok mauzolej ako pri kutu elevacije od $42.11 °$ baca sjenu duljine $75.2 m ?$

$67.97 m$

Primjer 2.

S krova zgrade visoke $21 m$ vidi se vrh drveta pod kutom depresije od $65 °,$ a s vrha spremišta visokog $1 m$ pod kutom elevacije od $21 ° .$ Podnožje zgrade udaljeno je od spremišta $20 m,$ a stablo se nalazi između njih. Koliko je visoko stablo?

Na slici je skica: zgrada, stablo, spremište, označeni su kutovi elevacije i depresije.

Uz oznake kao na slici vrijedi:

$x + y = 20,$ $tg α = \frac{x}{20 - d},$ $tg β = \frac{y}{d} .$ Izrazimo $x$ i $y$ iz druge i treće jednadžbe i uvrstimo u prvu:

$(20 - d) tg α + d tg β = 20 .$ Sredimo i izrazimo $d :$

$d = \frac{20 (1 - tg α)}{tg β - tg α} = 12.6$ pa je

$y = d tg β = 4.8 .$

Stablo je visoko $4.8 m .$

Kako je Tales izmjerio visinu piramide?

Evo jednog izvatka iz Corelusove knjige Od Pitagore do Hilberta u kojoj se opisuje postupak kojim je Tales izmjerio visinu Keopsove piramide.

„Tako on stoji u pustinjskom pijesku podno velike piramide. Jedan ga od svećenika, smiješeći se, zapita koliko je visoka piramida faraona Keopsa. Tales malo razmisli pa odgovori da on neće visinu cijeniti odoka, nego će je točno izmjeriti bez ikakva posebnog pribora, bez svakoga pomoćnog sredstva. Legao je u pijesak i odmjerio duljinu svojega tijela. — Što li to namjerava? – pitaju se svećenici. — Stat ću jednostavno – objasnio je Tales — na jedan kraj ove izmjerene dužine svojega tijela i čekat ću dok moja sjena ne bude točno onoliko duga koliko je i duljina mojega tijela. U istom trenutku mora i duljina sjene piramide vašeg faraona Keopsa iznositi točno onoliko koliko je visoka piramida. Dok je svećenik bio zabezeknut nevjerojatnom jednostavnošću rješenja, da tu nije možda pogrešan zaključak ili je riječ o nekoj varci, Tales nastavlja: — A ako hoćete da vam ovu visinu izmjerim u ma koje doba dana, tada ću zabosti ovaj štap u pijesak. Gle! – njegova sjena iznosi upravo polovinu štapa. Prema tomu, mora i sjena piramide iznositi polovinu njezine visine. Vi ste inače sposobni mjerenje izvoditi vrlo točno. Trebate samo duljinu štapa usporediti s duljinom njegove sjene pa onda, kako biste dobili visinu piramide, pomnožiti duljinu sjene piramide s dobivenim brojem.”

Mjerenje kutova

Zanimljivost

TEODOLIT

Teodolit je geodetski mjerni instrument za mjerenje vodoravnih kutova ili vodoravnih i okomitih kutova. Glavni su mu dijelovi vodoravni i okomiti krug s ljestvicama, dalekozor i dodatni uređaji za očitanje kutova i postavljanje u vodoravan položaj.

Prvi teodolit izađen je u Njemačkoj u 16. stoljeću.

Ako odlučimo mjeriti obližnje stablo ili neku zgradu, prvi je problem što sigurno nemamo teodolit pri ruci. Postoji nekoliko načina kako možemo mjeriti kut priručnim napravama.

Klinometar

Riječ je o plastificiranom listu papira s pravim kutom podijeljenim na stupnjeve (ili kutomjerom) i malim viskom u vrhu pravog kuta. Za preciznije „ciljanje” na jedan je krak kuta nalijepljena slamka za pijenje.

Šestar, libela, infracrvene zrake i kutomjer na šestaru

Za jedan krak kuta šestara pričvrsti se libela kako bi se postiglo da krak šestara ima vodoravan položaj. Na drugi se krak šestara pričvrsti dječji laser. Zraka lasera usmjeri se na željenu točku. Na kutomjeru šestara očita se kut.

Kutomjer

Kutomjerom izmjerite kut od svoga oka do vrha objekta čiju visinu želite odrediti.

Praktična vježba

Odaberite građevinu čiju ćete visinu mjeriti. Odaberite metodu kojom ćete mjeriti kut elevacije. Izmjerite iz točke promatranja udaljenost građevine i kut pod kojim se vrh građevine vidi iz točke promatranja. Mjerenje kuta ponovite najmanje pet puta i izračunajte srednju vrijednost s pogreškom. Sada imate podatke s pomoću kojih, koristeći se trigonometrijom pravokutnog trokuta, možete izračunati visinu zgrade. Saznajte pravu visinu objekta. Usporedite pravu visinu s dobivenom.

Trigonometrija i astronomija

Trigonometrija se razvijala na poticaj astronoma, koji su bili i matematičari. Trigonometriju možemo koristiti za određivanje nemjerljivih udaljenosti i veličina objekata. Mjerenje je udaljenosti obično proces u kojemu najprije mjerimo udaljenost do nekoga bliskog objekta, onda poznavanje te udaljenosti upotrebljavamo pri određivanju udaljenosti nekoga daljeg objekta, a zatim tu udaljenost koristimo za mjerenje udaljenosti još daljih objekata i tako dalje.

Primjer 3.

Aristarh, grčki astronom i matematičar, promatrao je Sunce i Mjesec u trenutku kad sa Zemljom tvore pravokutni trokut kao na slici. Izravno je odredio kut u vrhu u kojemu je smještena Zemlja i utvrdio da on iznosi $87 ° .$ Aristarh nije poznavao trigonometrijske omjere, ali je s pomoću geometrije zaključio da je omjer udaljenosti Zemlje od Mjeseca i od Sunca između brojeva $\frac{1}{18}$ i $\frac{1}{20},$ odnosno, da je udaljenost Sunca od Zemlje 20 puta veća od udaljenosti Mjeseca od Zemlje.

Zadatak 3.

Provjerite Aristarhovu procjenu o odnosu udaljenosti Mjeseca i Sunca od Zemlje primjenjujući trigonometriju na pravokutni trokut sa slike uz pretpostavku da je mjera označenog kuta $87 ° .$

U pravokutnom je trokutu udaljenost Sunca od Zemlje hipotenuza, a udaljenost Mjeseca od Zemlje s obzirom na kut od $87 °$ priležeća kateta. Povezuje ih kosinus.

$\frac{d_{M}}{d_{S}} = \cos 87 ° = 0.0523 \approx \frac{1}{20}$

Možemo zaključiti da je, uz pretpostavku o mjeri kuta od $87 °,$ Aristarhova procjena dobra.

Zadatak 4.

Danas su, uz preciznije uređaje za mjerenje, određene udaljenosti Mjeseca i Sunca od Zemlje:

$d_{S} = 149 600 000 km,$ $d M = 384 400 km .$

Koristeći ove podatke odredite kut koji je Aristarh određivao. Što možete reći o preciznosti njegove procjene?
Odredite stvarni omjer udaljenosti Mjeseca i Sunca od Zemlje. Koliko se razlikuje od Aristarhove procjene?
Kako možemo protumačiti odgovore na pitanja u a. i b. zadatcima?

$\begin{array}{l} α = \cos^{- 1} \frac{384 400}{149 600 000} \approx 89 ° 50' \end{array}$

Aristarh je u procjeni kuta pogriješio za $2 ° 50'$ pa možemo reći da je njegova procjena prilično dobra.
$\frac{384 400}{149 600 000} \approx 0.0026 \approx \frac{1}{400}$

Vidimo da je udaljenost Sunca od Zemlje $400$ puta veća od udaljenosti Mjeseca od Zemlje što se jako razlikuje od Aristarhove procjene.
Možemo zaključiti da mala razlika u kutu može dovesti do velike razlike u trigonometrijskim omjerima, a onda i u udaljenostima. Zbog toga je u primjeni trigonometrije važno mjeriti i računati što preciznije.

Zanimljivost

Aristarh sa Samosa (310. pr. Kr. - oko 230. pr. Kr.) bio je grčki astronom i matematičar. Izračunao je omjer udaljenosti Mjeseca i Sunca od Zemlje te zaključio da je Sunce $20$ puta dalje nego Mjesec. Odredio je i relativnu veličinu Mjeseca i Sunca u odnosu na Zemlju. Njegovi su rezultati neprecizni zbog nemogućnosti točnog određivanja kutova. Pa ipak, Aristarh je na osnovi njih zaključio da Sunce, koje je mnogo veće od Zemlje, mora biti u središtu te da se Zemlja kreće oko Sunca. Tako je ideja o heliocentričnom sustavu nastala mnogo prije Kopernika, ali je nisu prihvatili Aristarhovi suvremenici. Jedan je krater na Mjesecu dobio ime po Aristarhu.

Primjena trigonometrije na geometrijska tijela

Kutak za znatiželjne

Primijenimo trigonometriju pravokutnog trokuta na geometrijska tijela. Pokrenite animaciju u 3D-u uz sljedeće upute:

na slici su glavni gumbi koji vam trebaju za proučavanje
piramidu možete pokrenuti desnom tipkom miša u stranu koju želite (klik izvan piramide)
ostalim gumbima isprobavajte različite perspektive.

Zadatak 5.

Uočite dva pravokutna trokuta pomoću kojih se može izračunati visina piramide i visina bočne stranice piramide. Možete li izvesti formule?

Projekt

Nagib rampe za invalide može se računati pomoću trigonometrije pravokutnog trokuta koji se vidi na slici. — Rampa za invalide

Na linku pronađite dokument iz kojeg donosimo izvadak o uvjetima koje treba zadovoljavati rampa za invalide:

„Rampa se koristi kao element pristupačnosti za svladavanje visinske razlike do uključivo 120 cm, u unutarnjem ili vanjskom prostoru. Rampa mora omogućavati ispunjavanje sljedećih uvjeta, odnosno imati:

dopušteni nagib do uključivo $1 : 20 (5 %)$
svijetlu širinu od najmanje $120 cm$ u vanjskom prostoru, odnosno najmanje $90 cm$ u unutarnjem prostoru
odmorišni podest najmanje dužine od $150 cm$ na svakih $6 m$ dužine rampe.”

Koliko je trigonometrije u tom izvatku? Zašto je nagib važan?

Napišite upute za izgradnju rampe za invalide u svojoj zgradi.

...i na kraju

Matematička čarolija

I za kraj malo matematičke čarolije. Pogledajte animaciju koja pokazuje kako dobiti komadić čokolade viška.

Pokušajte objasniti trik koristeći matematiku.

Na slici je čokolada koja se reže duž jednog stupca.

Pogledajmo prvo rezanje čokolade. Dobili smo dva sukladna pravokutna trokuta. Uočite kut $α$ i katete duljine $1$ i $4 .$ Zaključujemo da je $tg α = \frac{1}{4} .$

Na slici je čokolada koja se dalje reže.

U sljedećem smo rezanju dobili manji pravokutni trokut koji je sličan polaznom, jedan je kut $α,$ jedna mu je kateta duljine $3,$ a druga $x .$ Odredimo $x :$

$\begin{array}{l} tg α = \frac{x}{3} \Rightarrow x = 3 tg α = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{array} .$

Na slici je čokolada kojoj su izrezani dijelovi pomaknuti.

Kad smo manji pravokutni trokut pomaknuli prema dolje, dobili smo uži stupac čija je širina $\frac{3}{4} .$ I tako je ukupno nestao jedan komadić čokolade. Možete li pokazati da je u tom stupcu u svakom redu širina $\frac{3}{4} ?$ Vidite li jasno što se dogodilo u gornjem redu? Ako ne, može vam pomoći sljedeća slika.

Na slici je skica rezanja čokolade na komadiće.

Na početku...

Kut elevacije i depresije

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Mjerenje kutova

Zanimljivost

Praktična vježba

Trigonometrija i astronomija

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zanimljivost

Primjena trigonometrije na geometrijska tijela

Kutak za znatiželjne

Zadatak 5.

Projekt

...i na kraju