2.2 Potencije s cjelobrojnim eksponentom

Potencija s eksponentom $1$ i $0$

U idućoj interakciji odaberite neku bazu. Promatrajte kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije. Nastavite niz.

Odaberite neku drugu bazu. Ponovite postupak. Što možete zaključiti?

Zadatak 1.

Izračunajte.

1. $2^1+{3.5}^0-{\left(\frac{3}{2}\right)}^1·{\left(\frac{2}{7}\right)}^0$​
2. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^0-{1.5}^1·{\left(\begin{array}{l}-\frac{2}{3}\end{array}\right)}^1+{\left(\begin{array}{l}-0.5\end{array}\right)}^0$
3. ${\left({2.7}^1+{1.9}^1·{\left(-\frac{4}{5}\right)}^0+{6.1}^1\right)}^0$​

Potencija s negativnim eksponentom

U idućoj interakciji odaberite neku bazu. Promatrajte kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije. Nastavite niz.

Odaberite neku drugu bazu. Ponovite postupak. Što možete zaključiti?

Primjer 1.

U prethodnoj je aktivnosti baza bila prirodni broj. Provjerimo vrijedi li i za razlomke slična pravilnost.

${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^3=\frac{1}{8}$  ​

${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^2=\frac{1}{4}$  ​

${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^1=\frac{1}{2}$ 

${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^0=1$  ​ ​

Kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije? Nastavite niz.

Pokušajte s nekim drugim razlomkom čiji je brojnik $1.$ Zapišite uočenu pravilnost.​

Primjer 2.

Ponovimo prethodnu aktivnosti s bazom koja je razlomak s brojnikom različitim od $1.$​

${\left(\begin{array}{l}\frac{2}{5}\end{array}\right)}^3=\frac{8}{125}$  ​

${\left(\begin{array}{l}\frac{2}{5}\end{array}\right)}^2=\frac{4}{25}$  ​

${\left(\begin{array}{l}\frac{2}{5}\end{array}\right)}^1=\frac{2}{5}$ 

${\left(\begin{array}{l}\frac{2}{5}\end{array}\right)}^0=1$  ​ ​

Kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije? Nastavite niz.

Pokušajte s nekim drugim razlomkom. Zapišite u bilježnicu uočenu pravilnost.

Promotrimo pravilnosti koje smo uočili za prirodne brojeve $a,$ $b$ i $n.$

$a^{-n}={\left(\begin{array}{l}\frac{1}{a}\end{array}\right)}^n,$ ${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{a}\end{array}\right)}^{-n}=a^n,$ ​ ${\left(\begin{array}{l}\frac{a}{b}\end{array}\right)}^{-n}={\left(\begin{array}{l}\frac{b}{a}\end{array}\right)}^n.$

Zapisali smo tri jednakosti. U kakvu su odnosu baze, a u kakvu eksponenti u svakoj od tih jednakosti?

Što mislite, hoće li te pravilnosti vrijediti i za bazu koja je negativni racionalni broj? A za bazu koja je realni broj? Provjerite na nekom primjeru.

Primijetimo da vrijedi:

$\begin{array}{l}{a}^{-n}={\left(\begin{array}{l}\frac{1}{a}\end{array}\right)}^n=\frac{1}{a}·\frac{1}{a}·...·\frac{1}{a}=\frac{1}{a·a·...·a}=\frac{1}{a^n}.\end{array}$

U definiciji smo pravilnost uočenu na skupu racionalnih brojeva proširili i na iracionalne. Tako naprimjer zapisujemo:

${\pi }^{-3}={\left(\begin{array}{l}\frac{1}{\pi }\end{array}\right)}^3=\frac{1}{{\pi }^3}.$

Primjer 3.

Promotrimo posebno slučaj kad je baza potencije nula. Računamo vrijednost potencija s bazom $0.$

$0^4=0·0·0·0=0$

$0^3=0·0·0=0$

$0^2=0·0=0$

$0^1=0=0.$

Vidimo da se eksponenti smanjuju za jedan, a vrijednost se potencije ne mijenja. Koliko bi moglo biti $0^0?$ Nastavljajući niz mogli bismo zaključiti da je $0,$ ali i da je $1,$ jer je $a^0=1$ za sve realne brojeve različite od $0.$ Zbog toga $0^0$ ne definiramo.

Također, $0^{-n}$ za prirodni broj $n$ ne definiramo jer bismo morali dijeliti s nula, a s nula ne dijelimo.

Za prirodni broj $n$ je $0^n=0,$ a $0^0$ i $0^{-n}$ ne definiramo.

Riješite ove zadatke s potencijama.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Odaberite potenciju tako da vrijedi jednakost. U nekim zadatcima postoji više točnih odgovora - u a) zadatku samo jedan točan, a u b) i c) zadatku po dva točna odgovora.

1. Označite jedan točan odgovor. $4^{-5}=$
   

   ${\left(\begin{array}{l}\frac{1}{4}\end{array}\right)}^5$

   $-4^5$

   $-{\left(\begin{array}{l}\frac{1}{4}\end{array}\right)}^5$ 

   $5^4$  ​

   

   null

   null

2. Označite sve točne odgovore. ${\left(\begin{array}{l}-8\end{array}\right)}^{-3}=$  ​

   $8^3$  ​

   $\frac{1}{8^3}$  ​

   $\frac{1}{{\left(\begin{array}{l}-8\end{array}\right)}^3}$  ​

   $-\frac{1}{8^3}$

   

   null

   null

3. Označite sve točne odgovore. ${\left(\frac{5}{3}\right)}^{-2}=$  ​

   ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2$  ​

   $0.36$

   $-0.36$ 

   $-\frac{25}{9}$  ​

   

   null

   null

Zadatak 3.

U ovom je zadatku nepoznata jedna od triju veličina: baza, eksponent ili vrijednost potencije. Izračunajte nepoznatu veličinu pa dobivenu vrijednost upišite na odgovarajuće mjesto.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Riješite zadatak na prvoj pločici. Pronađite pločicu na kojoj piše dobiveno rješenje. Postavite ju kao drugu pločicu. Riješite zadatak na drugoj pločici. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.  

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

null

null

Zadatak 5.

Riješite zadatke s potencijama i pronađite rješenja u tablici.

Zatvori

Zapis broja s dekadskim i binarnim jedinicama i razlomcima

Povezani sadržaji

Što znate o brojevnim sustavima? Kojim se brojevnim sustavima najčešće koristimo?

Najčešće se koristimo dekadskim i binarnim brojevnim sustavom. U dekadskom brojevnom sustavu brojeve zapisujemo s pomoću potencija broja $10,$ a u binarnom s pomoću potencija broja $2.$ Binarni je brojevni sustav važan jer se brojevi u računalu pohranjuju i s njima se računa u binarnom brojevnom sustavu.

Primjer 4.

Kako zapisujemo brojeve s pomoću potencija broja $10?$ Pogledajmo na primjeru:

$\begin{array}{l}2453=2000+400+50+3=2·1000+4·100+5·10+3\end{array}$

$\begin{array}{l}2453=2·{10}^3+4·{10}^2+5·{10}^1+3·{10}^0\end{array}$

Slično možemo brojeve zapisati u binarnom sustavu s pomoću potencija broja $2.$ Znamenke u binarnom sustavu su $0$ i $1.$

$\begin{array}{l}110{101}_{\left(2\right)}=1·2^5+1·2^4+0·2^3+1·2^2+0·2^1+1·2^0={53}_{\left(10\right)}\end{array}$

Zadatak 6.

Zapišite, u bilježnicu, s pomoću potencija brojeve: $70{125}_{\left(10\right)}$ i $1001101{011}_{\left(2\right)}.$

Primjer 5.

Možemo li decimalne brojeve zapisati s pomoću potencija? Pogledajmo na primjeru:

$\begin{array}{l}2.374=2+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{4}{1000}=2+3·{10}^{-1}+7·{10}^{-2}+4·{10}^{-3}.\end{array}$

I slično u binarnom sustavu:

$\begin{array}{l}{11.0111}_{\left(2\right)}=1·2^1+1·2^0+0·2^{-1}+1·2^{-2}+1·2^{-3}+1·2^{-4}=3+0.25+0.125+0.0625={3.4375}_{\left(10\right)}.\end{array}$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zapišite, u bilježnicu, s pomoću potencija brojeve: ${32.105}_{\left(10\right)}$ i ${101.1011}_{\left(2\right)}.$

Rješenje

${32.105}_{\left(10\right)}=3·{10}^1+2·{10}^0+1·{10}^{-1}+5·{10}^{-3}$

${101.1011}_{\left(2\right)}=1·2^2+1·2^0+1·2^{-1}+1·2^{-3}+1·2^{-4}={5.6875}_{\left(10\right)}$

---

Zadatak 8.

Može li računalo pogoditi broj koji ste zamislili? Provjerite u idućoj animaciji. Zamislite prirodni broj manji od $16.$ Pronađite zamišljeni broj u tablicama i označite tablice u kojima se nalazi. Kliknite na Provjerite.

Zatvori

Možete li otkriti pravilo po kojem su brojevi raspoređeni u tablice? Povežite pojavljivanje nekoga broja u tablicama s prikazom toga broja u binarnom sustavu. Napravite u bilježnici tablice s pomoću kojih se može pogoditi zamišljeni broj do $1$ do $63.$

Kutak za znatiželjne

Promotrite pažljivo ovu animaciju i riješite 9. i 10. zadatak.