6.2 Linearna funkcija

Linearna funkcija

Zadatak 4.

 Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

$q\left(b\right)=\frac{b}{a}-1$  

$s\left(b\right)=\frac{a}{b}-1.5$  

$g\left(y\right)=-\sqrt{2}y+2$  ​

$p\left(z\right)=\frac{1}{b}+\frac{z}{3}$  ​

$a\left(t\right)=2.5t$  ​

$f\left(y\right)=-2\sqrt{y}+2$  ​

$e\left(t\right)=2.5$ ​

$r\left(z\right)=\frac{3}{z}+b$  ​

Pravilo pridruživanja linearne funkcije

 Nije pravilo pridruživanja linearne funkcije

Pomoć:

Što je u zapisu pravila pridruživanja nezavisna varijabla?

null

Funkciju zadajemo tako da zadamo domenu, kodomenu i pravilo pridruživanja. Domena i kodomena linearne funkcije su skupovi realnih brojeva. To znači da je dovoljno zadati pravilo pridruživanja. Reći ćemo da je linearna funkcija zadana pravilom pridruživanja, pri čemu podrazumijevamo da su domena i kodomena skupovi realnih brojeva.

Primjer 1.

Zadano je pravilo pridruživanja linearne funkcije $p\left(a\right)=3.5a-1.$

1. Izračunajmo vrijednost funkcije $p$ za argument $1.4.$
2. Odredimo argument za koji vrijednost funkcije $p$ iznosi $7.05.$

Riješenje

1. Treba izračunati $p\left(1.4\right).$ Uvrstimo $1.4:$

   $p\left(1.4\right)=3.5·1.4-1=3.9.$ Vrijednost funkcije $p$ za argument $1.4$ je $p\left(1.4\right)=3.9.$​

2. Zadana je vrijednost funkcije, a traži se argument. Tražimo $a$ takav da je $p\left(a\right)=7.05.$ Zamijenimo $p\left(a\right)$ s $3.5a-1:$

   $3.5a-1=7.05$ pa je $a=2.3.$ Vrijednost funkcije $p$ iznosi $7.05$ za argument $a=2.3.$

Zadatak 5.

Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=-6x+3.$ Povežite izraze tako da vrijedi znak jednakosti.

$f\left(-1\right)$	$2.4$
$f\left(0.1\right)$	$0$
$f\left(\frac{1}{2}\right)$	$9$
$f\left(0\right)$	$3$

null

null

Vodeći koeficijent

Možemo li s pomoću vodećeg koeficijenta linearne funkcije opisati neka svojstva funkcije? Istražimo.

Zadatak 6.

Promotrite odgovore u prethodnom zadatku. Naslućujete li pravilnost? Provjerite svoje zaključke u idućem zadatku.

Zadatak 7.

Neka je funkcija $f$ zadana pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=5x-2.$
Ako se argument poveća za $1,$ vrijednost funkcije $f$ se za .

null

null

Neka je funkcija $f$ zadana pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=-3x-1.$
Ako se argument poveća za $1,$ vrijednost funkcije $f$ se za .

null

null

Zapišimo općenito.

Za funkciju $f$ zadanu pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b$ vrijedi:

• Ako je $a>0,$ onda se vrijednost funkcije poveća za $a$ kad se argument poveća za $1.$​

• Ako je $a<0,$ onda se vrijednost funkcije smanji za $\left|a\right|$ kad se argument poveća za $1.$

  Za $a$ kad se argument poveća za $1.$

• Ako je $a<0$ onda se vrijednost funkcije smanji za $\left|a\right|$ kad se argument poveća za $1.$
  

Možete li dokazati prethodnu tvrdnju? Ako niste sigurni kako to učiniti, riješite za početak sljedeći zadatak.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 8.

Neka je $f\left(x\right)=5x-2.$ Poredajte korake zaključivanja.​

• Vrijednost funkcije se povećala za $5$
• $5x+5-2=$ 
  
• 
  Računamo vrijednost funkcije: $f\left(x+1\right)=$
  
  
• 
  Argument $x$ povećamo za $1:$ $x+1$
  
• $\left(5x-2\right)+5=$ 
  
• $5\left(x+1\right)-2=$ 
  
• $f\left(x\right)+5$ 
  

null

null

Neka je $g\left(x\right)=-3x-1$ $.$ Poredajte korake zaključivanja.​  

• $g\left(x\right)-3$  
• Vrijednost funkcije se smanjila za $3$
• 
  Računamo vrijednost funkcije: $$  $g\left(x+1\right)=$
• $-3\left(x+1\right)-1=$  
• $-3x-3-1=$  ​
• $\left(-3x-1\right)-3=$ ​
• 
  Argument $x$ povećamo za $1:$ $x+1$

null

null

Zadatak 9.

Dokažite tvrdnju:

Za funkciju $f$ zadanu pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b$ vrijedi:

Ako je $a>0,$ onda se vrijednost funkcije poveća za $a$ kad se argument poveća za $1.$

Ako je $a<0,$ onda se vrijednost funkcije smanji za $\left|a\right|$ kad se argument poveća za $1.$

Rješenje

$\begin{array}{l}f\left(x+1\right)=a\left(x+1\right)+b=ax+a+b=\left(ax+b\right)+a=f\left(x\right)+a\end{array}$

Ako je $a>0,$ vrijednost će se povećati za $a.$

Ako je $a<0,$ vrijednost će se smanjiti za $\left|a\right|.$

---

Zatvori

Prirast funkcije

Promatrali smo kako se mijenja vrijednost funkcije kad se argument poveća za jedan. Razmotrimo općenitiji problem u kojem se argument mijenja za neki zadani broj. Uvedimo oznake koje će nam olakšati zapisivanje.

Označimo početnu vrijednost argumenta s​ $x,$ a broj za koji će se argument mijenjati s $△x.$ Tada je novi argument $x+△x.$

Promjenu vrijednosti funkcije ili prirast funkcije označit ćemo s​ $△f$  i računati $△f=f\left(x+△x\right)-f\left(x\right).$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

1. Uparite.
   

   $△x=4$	argument se promijeni od 5 do 9argument se promijeni od 9 do 5vrijednost se funkcije promijeni od –1 do 3vrijednost se funkcije promijeni od 3 do –1
   $△x=-4$	argument se promijeni od 5 do 9argument se promijeni od 9 do 5vrijednost se funkcije promijeni od –1 do 3vrijednost se funkcije promijeni od 3 do –1
   $△f=-4$	argument se promijeni od 5 do 9argument se promijeni od 9 do 5vrijednost se funkcije promijeni od –1 do 3vrijednost se funkcije promijeni od 3 do –1
   $△f=4$  ​	argument se promijeni od 5 do 9argument se promijeni od 9 do 5vrijednost se funkcije promijeni od –1 do 3vrijednost se funkcije promijeni od 3 do –1

   

   null

   null
2. Ako je broj $△x$ pozitivan, vrijednost se argumenta

    

   . Ako je broj $△f$ pozitivan, vrijednost

    

   se povećava. Ako je broj $△x$ negativan, vrijednost

    

   se smanjuje. Ako je broj $△f$ negativan, vrijednost se funkcije

    

   .

   funkcije

   smanjuje

   argumenta

   povećava

   

   null

   null

Zadatak 11.

Neka je $f\left(x\right)=3x+1$ i $△x=2.$ Postavite brojeve na odgovarajuća mjesta u tablicama.

$0$   ​

$1$   ​

$2$ 

$3$ 

$4$ 

null

null

 

$-5$ 

$-2$ 

$1$ 

$4$ 

$7$ 

null

null

 

$1$ 

$4$ 

$7$ 

$10$ 

$13$ 

null

null

U prvom je stupcu tablice

$f\left(x\right)=$

$-5$  ​

, $f\left(x+△x\right)=$ 

1

pa je $△f=f\left(x+△x\right)-f\left(x\right)=$ 

6

.

null

null

Izračunajte $△f$ za ostale stupce. Vrijednosti $△f$ jednake su u svim stupcima.

Da

Ne

null

null

$△f=$ 

 6

. Kad se vrijednost argumenta poveća za

 2

 , vrijednost funkcije se poveća za

6

.

null

null

Zatvori

U prethodnom ste zadatku nekoliko zadanih argumenata povećali za $2$ i vidjeli da se vrijednosti funkcije zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=3x+1$ povećavaju za $6.$ Hoće li isti zaključak vrijediti i za druge argumente? U interakciji upišite vrijednosti koeficijenata $a=3,b=1$ i $△x=2.$ Mijenjajte položaj točke $x$ i pratite $△f.$ Što možemo zaključiti?

Promijenite u interakciji vrijednost $△x,$ pratite vrijednost $△f$ pa riješite sljedeći zadatak.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Za funkciju zadanu pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=3x+1$ nadopunite rečenice.

Kad se vrijednost argumenta poveća za $3,$ vrijednost funkcije se za .

null

null

Kad se vrijednost argumenta poveća za
$4$ , vrijednost funkcije se za  .

null

null

Kad se vrijednost argumenta smanji za $2,$ vrijednost funkcije se za .

null

null

Kad se vrijednost argumenta smanji za $3,$ vrijednost funkcije se za .

null

null

Poredajte elemente tako da dobijete istinitu jednakost.

• $△x$ 
  
• $=$ 
  
• $3·$ ​
• $△f$ 
  

null

null

Zadatak 13.

Promatrali smo funkciju zadanu pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=3x+1$ i izrazili $△f$ s $△x.$ Upišite u interakciju različite vrijednosti za $a$ i $b$ pa pronađite opće pravilo.

Zatvori

Zaključimo prethodna razmatranja.

Prirast linearne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b$ je

$△f=f\left(x+△x\right)-f\left(x\right)=a·△x.$

Za vodeći koeficijent vrijedi: $a=\frac{△f}{△x}.$

Zadatak 14.

Određivanje linearne funkcije

Pravilo pridruživanja linearne funkcije ne mora uvijek biti zadano. Umjesto pravila pridruživanja u nekim će situacijama biti poznati parovi argumenta i pridružene funkcijske vrijednosti. Kako s pomoću tih podataka odrediti pravilo pridruživanja? Pogledajmo u nekoliko primjera.

Primjer 2.

Odredimo nepoznati slobodni koeficijent linearne funkcije ako je pravilo pridruživanja $f\left(x\right)=4x+b$ i $f\left(3\right)=7.$

Kako tumačimo zapis $f\left(3\right)=7?$ Ako je argument ( $x$) jednak $3,$ vrijednost funkcije jednaka je $7.$ Uvrstimo li u pravilo pridruživanja umjesto argumenta $x$ vrijednost $3,$ dobit ćemo $7:$

$f\left(3\right)=4·3+b=7$

$12+b=7$

$b=-5.$

Odredili smo nepoznati slobodni koeficijent pa je pravilo pridruživanja $f\left(x\right)=4x-5.$

Zadatak 15.

Odredite nepoznate koeficijente.

Primjer 3.

Odredimo nepoznati koeficijent u pravilu pridruživanja $h\left(x\right)=ax-\frac{1}{5}$ ako smanjenje argumenta za $8$ uzrokuje prirast funkcije za $3.$

Iz podataka zaključujemo da je​ $△x=-8,△f=3$ pa je $a=\frac{△f}{△x}=-\frac{3}{8}.$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Ako se argument linearne funkcije poveća za $4,$ vrijednost se funkcije smanji za $10.$ Označite pravilo pridruživanja koje može imati ta funkcija.

$f\left(x\right)=-2.5x+3$  ​

$g\left(x\right)=-0.4x+3$  ​

$h\left(x\right)=0.4x-1$  ​

$i\left(x\right)=2.5x-1$  ​

null

null

Zadatak 17.

Odredite pravilo pridruživanja $k\left(x\right)=ax+b$ linearne funkcije ako su zadani ​ $k\left(3\right)=13,k\left(5\right)=25.$

Koji su argumenti, a koje vrijednosti funkcije zadani? Za koliko se mijenja argument, a za koliko vrijednost funkcije? Čemu je jednak koeficijent​ $a$ ?

Ako je poznat koeficijent $a,$ kako možemo izračunati koeficijent $b?$

Rješenje

Argumenti su $3$ i $5,$ a vrijednosti funkcije $13$ i $25.$ Argument se mijenja od $3$ do $5,$ što znači da se povećava za $2.$ Vrijednost se funkcije mijenja od $13$ do $25,$ što znači da se povećava za $12.$ Pišemo:

$△x=2,△f=12$ pa je $a=\frac{△f}{△x}=\frac{12}{2}=6$ i $k\left(x\right)=6x+b.$

Koeficijent​ $b$ možemo izračunati iz uvjeta ​ $k\left(3\right)=13$ ili ​ $k\left(5\right)=25.$ Uzmimo na primjer uvjet ​ $k\left(5\right)=25:$

​ $k\left(5\right)=6·5+b=25$

$30+b=25$

$b=-5$ pa je pravilo pridruživanja $k\left(x\right)=6x-5.$

---

Zatvori

Prethodni smo zadatak mogli riješiti i postavljanjem dviju jednadžbi i rješavanjem sustava dviju jednadžbi. Jednadžbe su:

​ $k\left(5\right)=a·5+b=25$

​ $k\left(3\right)=a·3+b=13$

pa treba riješiti sustav jednadžbi

$\left\{\begin{array}{l}5a+b=25\\ 3a+b=13\end{array}\right..$

Rješenja su $a=6,b=-5.$

Zadatak 18.

Odredite pravilo pridruživanja.

Nulište linearne funkcije

Primjer 4.

Bazen se prazni pumpom. Volumen vode $v$ u ${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},$ koja se nalazi u bazenu nakon $t$ sati rada pumpe, može se izračunati formulom $v\left(t\right)=-25.6t+44.8.$ Odredimo:

1. volumen vode u bazenu nakon $1$ sata rada pumpe
2. vrijeme rada pumpe potrebno da volumen vode u bazenu bude $\mathrm{32}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Zadatak možemo riješiti u nekoliko koraka. Prisjetite se PPRP koraka: pročitaj, poveži, riješi, provjeri. Riješite zadatke pridržavajući se PPRP koraka pa u idućem zadatku razvrstajte korake rješavanja u odgovarajuću skupinu.

Primjer 5.

Riješimo još dva zadatka povezana s pražnjenjem bazena uz iste uvjete kao u prethodnom primjeru. Odredimo:

1. volumen vode u bazenu u trenutku uključivanja pumpe
2. vrijeme potrebno da se bazen potpuno isprazni.

1. Što je u zadatku poznato, a što je nepoznato? Traži se volumen vode pa je nepoznata veličina​ $v.$ Vrijeme nije zadano brojem kao u prethodnom primjeru. Ali opisano je da se traži volumen u trenutku uključivanja pumpe. Čemu je jednako $t?$ Po uvjetima zadatka volumen se vode nakon $t$ sati rada pumpe može izračunati formulom $v\left(t\right)=-25.6t+44.8.$ Koliko je sati pumpa radila ako smo je tek uključili? Radila je $0$ sati pa je $t=0.$
   

   Računamo:

   $v\left(0\right)=-25.6·0+44.8$
   

   $v\left(0\right)=44.8.$

   U trenutku uključivanja pumpe u bazenu je bilo $\mathrm{44.8}{\mathrm{m}}^3$ vode.

2. Što je u zadatku poznato, a što je nepoznato? Traži se vrijeme pa je nepoznata veličina​ $t.$ Volumen nije zadan brojem, ali je opisano da se traži vrijeme potrebno da se bazen isprazni. Ako će se bazen isprazniti, koliki je u njemu u tom trenutku volumen vode? U praznom bazenu nema vode pa je $v=0.$ Računamo:

   $0=-25.6t+44.8$
   

   $t=\mathrm{1.75.}$
   

   Bazen će se isprazniti nakon $1$ sat i $45$ minuta.

U prethodnom smo primjeru računali ​ $v\left(0\right)$i odredili vrijednost $t$ za koju je $v\left(t\right)=0.$ U mnogim je problemima povezanim s linearnom funkcijom potrebno računati na sličan način pa te veličine imenujemo.

Vrijednost linearne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b$ za argument $0$ je: $f\left(0\right)=a·0+b=b.$

Nulište funkcije $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ je realni broj $x$ za koji vrijedi $f\left(x\right)=0.$

Zadatak 19.

Nizovi

Kutak za znatiželjne

Domena funkcije može biti bilo koji neprazni skup. Promotrimo funkciju čija je domena skup prirodnih brojeva: $f:\mathbf{N}\to \mathbf{R.}$ Vrijednosti funkcije možemo nanizati: $f\left(1\right),f\left(2\right),f\left(3\right)...$ pa funkcije čija je domena skup prirodnih brojeva nazivamo nizovi. Često se upotrebljavaju i ove oznake: $f\left(1\right)=f_1,f\left(2\right)=f_2,f\left(3\right)=f_3...$ Kažemo da je $f_1$ prvi član niza, $f_2$ drugi i tako dalje. Riješite sljedeće zadatke s nizovima.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

1. Zadan je niz $f_1=4,f_2=7,f_3=10...$ Svaki je sljedeći član za tri veći od prethodnog. Odredite pravilo pridruživanja $f\left(n\right).$
2. Prvi je član niza $12,$ a svaki je sljedeći član niza za $2$ manji od prethodnog. Odredite pravilo pridruživanja.
3. Prvi je član niza​ $a_1,$ a svaki je sljedeći član niza za $d$ veći od prethodnog. Odredite pravilo pridruživanja.

Rješenje

1. $f\left(n\right)=3n+1$ ​
2. $g\left(n\right)=-2n+14$
3. $a\left(n\right)=dn+a_1-d$
   

Niz koji ima svojstvo da je svaki njegov član osim prvog za $d$ veći od prethodnog zadan je linearnim pravilom pridruživanja.

---

Zadatak 21.

Zadajte neki niz čiji se članovi povećavaju za​ $d.$ Odaberite neka tri uzastopna člana niza. Prikažite srednji s pomoću prethodnog i sljedećeg. Odaberite neke druge članove niza, neki drugi niz. Uočavate li pravilnost? Zapišite opće pravilo. Dokažite ga.

Rješenje

Ako je $a\left(n\right)=dn+a_1-d$ , onda vrijedi $a\left(n\right)=\frac{a\left(n-1\right)+a\left(n+1\right)}{2}.$

Svaki je član osim prvog aritmetička sredina člana ispred i člana iza njega. Zbog tog svojstva niz zadan s $a\left(n\right)=dn+a_1-d$ zovemo aritmetički niz.

---

Zatvori