3.3 Računske radnje s polinomima

Geometrijska interpretacija

Već smo prije opseg i površinu različitih likova zapisivali brojevnim ili algebarskim izrazima. Obratno, neki algebarski izraz geometrijski možemo često interpretirati na više načina. U sljedećim ćemo razmatranjima upotrijebiti jednostavan prikaz koristeći se površinama pravokutnika.

Primjer 2.

Na sljedećoj je slici prikazana geometrijska interpretacija ili prikaz broja $1,$ varijable $x$ i umnoška varijabli $ab.$

Opišite riječima nacrtanu geometrijsku interpretaciju.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Koristeći se površinom pravokutnika , kao u drugom primjeru, prikažite na papiru  algebarski izraz $x+1.$ 

Rješenje

---

Zadatak 2.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, prikažite na papiru zbroj dvaju monoma, odnosno algebarski izraz $x^2+2x.$ Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Rješenje

Algebarski izraz $x^2+2x$ možemo prikazati koristeći se površinom pravokutnika koji se sastoji od kvadrata stranice $x$ i dvaju pravokutnika stranica $x$ i $1.$ Oni zajedno tvore jedan pravokutnik duljina stranica $x$ i $x+2$ i njegova je površina zato jednaka $x(x+2).$

Zaključujemo $x^2+2x=x(x+2).$

---

Zadatak 3.

Koristeći se površinom pravokutnika, kao u drugom primjeru, interpretirajte algebarski izraz $a\left(b+1\right).$ Možete li površinu istog pravokutnika zapisati koristeći se nekim drugim algebarskim izrazom?

Rješenje

Nacrtani pravokutnik, sa stranicama $a$ i $b+1$ , sastoji se od dvaju pravokutnika: jedan je površine ​ $ab,$ a drugi površine $a.$

Zaključujemo $a\left(b+1\right)=ab+a$ .

---

Zatvori

Prethodni primjeri upućuju na geometrijsku interpretaciju svojstva distributivnosti.

Svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju

Geometrijski nam je prikaz pomogao predočiti algebarski izraz i objasnio svojstvo distributivnosti koje će nam biti potrebno u računanju s algebarskim izrazima.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Primjer 3.

Prisjetimo se.

Istoimeni članovi (monomi) imaju isti varijabilni dio i mogu se razlikovati samo u koeficijentu, na primjer:

Istoimeni su članovi $12a{x}^2\mathrm{i}-3a{x}^2$ kao i $5xy\mathrm{i}2.5x\mathrm{y.}$

Nisu istoimeni članovi $4a{x}^2\mathrm{i}-6a^{2}x$ kao ni $10xy\mathrm{i}10x.$

Mogu se zbrajati samo istoimeni članovi višečlanoga algebarskog izraza ili polinoma.

Zato polinome obično zapisujemo u najjednostavnijem obliku u kojem nema više istoimenih članova.

Zadatak 4.

 Pojednostavnite algebarske izraze.

1. $-2ax+3bx-8ax-bx+3a-5bx=$
2. $5y^5+2y^2-8y-y^5+3y^2-y=$
   
3. $5a^2-6a+5-3a+8=$
   
4. $3\left(a+2\right)-4\left(a+2\right)-2(a+2)+5(a+2)=$ 

Zadatak 5.

Izračunajte i popunite prazna mjesta.

Primjer 4.

Zbrojimo algebarske izraze $4x^3-2x^2+7$ i $-6x^3+5x^2-2x.$

$\left(4x^3-2x^2+7\right)\mathrm{+}\left(-6x^3+5x^2-2x\right)=$

$\left(4x^3-6x^3\right)+\left(-2x^2+5x^2\right)+(-2x)+7=-2x^3+3x^2-2x+7.$

Koja smo svojstva primjenjivali pri zbrajanju?

Primjer 5.

Ako zbrajamo algebarske izraze koji imaju istoimene članove, možemo ih i potpisati jedan ispod drugog, kao u pisanom zbrajanju brojeva. Pogledajmo kako to izgleda na prethodnom primjeru.

$\left(4x^3-2x^2+7\right)\mathrm{+}\left(-6x^3+5x^2-2x\right)=$ $\begin{array}{l}4x^3-2x^2+0x+7\\ \underset{\_}{+\left(-6x^3+5x^2-2x+0\right)}\\ -2x^3+3x^2-2x+7\end{array}$

Pritom treba paziti da istoimene članove potpišemo jedan ispod drugog, a preporučuje se pisati koeficijent nula ondje gdje nedostaje odgovarajući član.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Odaberite zbroj ili razliku klikom na odgovarajuće polje. Upišite koeficijente i eksponente polinoma $P$ i $Q$  na odgovarajuća mjesta. Zbrojite ili oduzmite polinome pa upišite koeficijente i eksponente rješenja na odgovarajuća mjesta.

Zadatak 7.

Odaberite među ponuđenim odgovorima računsku radnju koja je provedena između dvaju polinoma.

1. Trinom $7x^2+3x-4$ je rezultat oduzimanjamnoženjazbrajanja trinoma $3x^2+2x-1\mathrm{i}4x^2+x-3,$ a trinom $-x^2+x+2$  je rezultat oduzimanjamnoženjazbrajanja trinoma $3x^2+2x-1\mathrm{i}4x^2+x-3.$

   

   null

   Postupak:

   $\left(3x^2+2x-1\right)+\left(4x^2+x-3\right)=\left(3x^2+4x^2\right)+\left(2x+x\right)+\left(-1-3\right)=7x^2+3x-4$  ​

   $\left(3x^2+2x-1\right)-\left(4x^2+x-3\right)=\left(3x^2-4x^2\right)+\left(2x-x\right)+\left(-1-\left(-3\right)\right)=-x^2+x+2$
   

2. Polinom ​ $7ab-3a^{2}b+6a-14$ je rezultat zbrajanjamnoženjaoduzimanjapolinoma $2ab-3a^{2}b+3b-7\mathrm{i}-5ab+3b-6a+7,$ a polinom $-3ab-3a^{2}b+6b-6a$ množenjazbrajanjaoduzimanja  polinoma $2ab-3a^{2}b+3b-7\mathrm{i}-5ab+3b-6a+7$ .

   

   null

Zadatak 8.

Odaberite jedan točan odgovor.

1. Zbroj ili razlika dvaju trinoma je trinom.
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

    
   

   null

2. Zbroj ili razlika dvaju monoma je monom, binom ili konstanta.
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

3. Zbroj ili razlika polinoma je polinom ili konstanta.
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

   null

4. Zbroj ili razlika dvaju binoma može imati pet članova.
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

   null

Zatvori

Množenje algebarskih izraza

Primjer 6.

Izračunajmo.

$3xy·\frac{4}{5}x{y}^2$

$2(x^2-3)$

Kod množenja potencija naučili smo množiti monome.

$3xy·\frac{4}{5}x{y}^2=\frac{12}{5}{x}^2{y}^3$

Kako množimo konstantu i binom $2(x^2-3)?$

Primijenit ćemo svojstvo distributivnosti. Pogledajmo u sljedećoj animaciji.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Primijenite svojstvo distributivnosti i izračunajte.

1. $2a\left(a+3\right)$ ​
2. $-2xy\left(x-2y\right)$ 
3. $-3x^3\left(-x^2+2x-4\right)$
4. $2y\left(3y-2\right)-4\left(y^2-y\right)$

Rješenje

1. $2a\left(a+3\right)=2a^2+6a$
   
2. $-2xy\left(x-2y\right)=-2x^{2}y+4x{y}^2$
3. $-3x^3\left(-x^2+2x-4\right)=3x^5-6x^4+12x^3$
4. $2y\left(3y-2\right)-4\left(y^2-y\right)=6y^2-4y-4y^2+4y=2y^2$

---

Zadatak 10.

Upišite član koji nedostaje.

$5x\left(x-3\right)=$

 

$-$

 

.
$-3\left(2x-5y+1\right)=$

 

$+$  

 

$-$

 

.
$3x(2x-3)-x(3x+2)=$

 

$-$

 

 .

$11x$

$15y$

$15x$

$5x^2$​

$-6x$​

$3x^2$

$3$

Pomoć:

Ako je povratna informacija da rješenje nije točno, provjerite redoslijed pribrojnika. U rješenju je predviđeno njihovo zapisivanje u redoslijedu množenja člana ispred zagrade s članovima unutar onim redom kako su zapisani.

 

Zatvori

Primjer 7.

Otkrijimo pravilo za množenje dvaju binoma $\left(a+b\right)·\left(c+d\right).$

Koristit ćemo se geometrijskim prikazom .

Prazan pravokutnik kojemu su stranice duljina​ $a+b\mathrm{i}c+d$ prekrijte povlačenjem danim pločicama (pravokutnicima) bez preklapanja. Upišite na svaku pločicu njezinu površinu.

Zaključak.

Umnožak dvaju binoma računa se tako da svaki član jednoga binoma pomnožimo sa svakim članom drugoga binoma te dobivene članove zbrojimo.

Primjer 8.

Može li se isti postupak primijeniti i kad faktori imaju više od dvaju članova? Koliko je, primjerice, $\left(a+2\right)\left(a+b+1\right)?$ ​

Promotrimo sliku.

Iz geometrijskog ćemo prikaza lako zaključiti da je

$\left(a+2\right)\left(a+b+1\right)=a^2+ab+3a+2b+2,$ 

odnosno da se do rješenja dolazi, kao i u prethodnim primjerima, množenjem svakog člana iz jedne zagrade sa svakim članom iz druge zagrade.

Zadatak 13.

Poredajte elemente povlačenjem tako da dobijete redoslijed računanja sljedećeg umnoška.

$-3\left(-x+3y\right)\left(2x-y-1\right)=$

• $-3\left(-2x^2-3y^2+7xy+x-3y\right)=$
• $-3\left(-2x^2+xy+x+6xy-3y^2-3y\right)=$
• $6x^2+9y^2-21xy-3x+9y$​

null

null

Polinomi s jednom varijablom

Već smo rekli da višečlani algebarski izraz nazivamo polinom. Ako svi njegovi članovi sadržavaju samo jednu varijablu, onda je to polinom jedne varijable. Ta posebna vrsta algebarskog izraza ima važnu ulogu u matematici i zato ćemo reći nešto o njoj.

U daljnjem ćemo tekstu, kad govorimo o polinomu, podrazumijevati da se radi o polinomu jedne varijable.

Kako izgleda polinom jedne varijable?

Primjer 9.

Primjerice, $2x^4-3x^3+x^2-4x+5$ je polinom s varijablom $x.$

Članovi tog polinoma su potencije baze $x$ s pripadnim koeficijentima $2,-3,1,-4,5$ . Zapisani su u poretku od potencije s najvećim eksponentom do konstante ili člana koji sadržava varijablu $x$ s najmanjim eksponentom, eksponentom $0.$

Potenciju s najvećim eksponentom kraće nazivamo najveća potencija.

Zadatak 14.

Razvrstajte sljedeće polinome u dvije skupine, A i B, prema nekom načelu. Provjerite jesu li vaše skupine kao one predviđene u odgovoru. Ako nisu, pokušajte ponoviti zadatak i otkriti prema kojem ih je načelu trebalo razvrstati?

 

$-4x^5+2x-1$ ​

$3x^5-2x^4-2x^3+5x-9$

$3x^3-4x^2-x-3$  ​

$-x^3+2x^2-3x+4$  

$5x^3-9x-1$  ​

$x^3-x^2+5$  ​

$x^5+2x^4+5x^3-x^2+5x+2$  ​

$-x^5-3x^2-4x+7$  ​

A

 B

Pomoć:

 Promatrajte eksponente

null

Polinome s varijablom $x$ razlikujemo prema najvećoj potenciji od $x.$ Kažemo da je polinom $\mathit{n}$-tog stupnja $n\in \mathbf{N},$ ako najveća potencija tog polinoma ima eksponent $n.$

Članove polinoma zapisujemo u poretku od najveće prema najmanjoj potenciji, s konstantom na kraju.

Koeficijente koji stoje uz potenciju nazivamo koeficijenti polinoma.

Koeficijent uz najveću potenciju nazivamo vodeći koeficijent.

Član koji ne sadržava varijablu $x$ nazivamo slobodni član.

Polinome obično označavamo s P, Q, R..., a njihovu vrijednost, za iznos varijable $x,$ s $P\left(x\right),Q\left(x\right),R\left(x\right)...$

Činjenicu da je ​ $P$ polinom $\mathit{n}$-tog stupnja zapisujemo sa $\mathrm{st}P=n.$

Konstantan polinom ili konstanta je polinom nultog stupnja ili onaj polinom koji nema varijablu u svojemu zapisu nego samo konstantu.

Nul-polinom je polinom​ $P$ koji uvijek ima vrijednost nula, to jest $P\left(x\right)=0$ za sve realne brojeve $x.$ Stupanj nul-polinoma se ne definira.

Zadatak 15.

Zadan je polinom $10x^4-2x^3+3x-12.$ ​

Računske radnje s polinomima

Do sada smo naučili zbrajati, oduzimati i množiti algebarske izraze, pa tako i polinome.

Postupak dijeljenja provodit ćemo samo s polinomima jedne varijable.

Primjer 10.

Zadana su dva polinoma $P\left(x\right)=3x^3-4x-1,Q\left(x\right)=-2x^2+3x.$ 

Polinom $P$ je 3. stupnja, a polinom $Q$ je 2. stupnja.

Izračunajmo njihov zbroj, razliku i umnožak.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Izračunajte zbroj, razliku i umnožak zadanih polinoma. Upišite rješenja na odgovarajuća mjesta. Pri tome koristite zapis $x$ ^ $n$ za potenciju $x^n.$ Za svaki točan odgovor, otkrit će vam se jedno polje skrivene slike.

Zadatak 17.

Koristeći rješenja zadatka 16. odredite stupnjeve zadanih polinoma, njihovog zbroja, razlike i umnoška. Rješenja upišite u tablicu na odgovarajuća mjesta.

Zadatak 18.

Promotrite tablicu u zadatku 17. Usporedite stupnjeve polinoma $P\mathrm{i}Q$ sa stupnjevima njihova zbroja, razlike i umnoška ​koje ste zapisali u tablici. Što zaključujete?

Ako polinomi $P\mathrm{i}Q$ nisu nul-polinomi, označite za svaku od sljedećih tvrdnji je li točna uvijek, katkad ili nikad?

1. $\mathrm{st}P+\mathrm{st}Q=\mathrm{st(}P\mathrm{+}Q\mathrm{)}$  ​
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

   null

2. $\mathrm{st}(P-Q)=\mathrm{st}P$
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

   null

3. $\mathrm{st}(P·Q)=\mathrm{st}P+\mathrm{st}Q$
   

   uvijek

   katkad

   nikad

   

   null

   null

Zadatak 19.

Što od ponuđenog treba pisati kako bi dana tvrdnja bila točna?

Stupanj zbroja ili razlike polinoma je uvijek manjiveći ili jednakmanji ili jednakjednakveći stupnju svakog od polinoma koje zbrajamo ili oduzimamo.

null

null

Zatvori

Dijeljenje polinoma

Već smo kod potencija naučili podijeliti monom s monomom.

Primjerice, $18x^6:6x^2=(18:6)·\left(x^6:x^2\right)=3x^3$​.

Polinome dijelimo s monomom tako da svaki njegov član podijelimo s tim monomom (primjenjujući distributivnost), na primjer:

$\left(12x^5-15x^3\right):\left(3x^3\right)=12x^5:3x^3-15x^3:3x^3=4x^2-5.$

Provjera: $12x^5-15x^3=3x^3·(4x^2-5).$

Kako se dijeli polinom s polinomom?

Primjer 11.

Prisjetimo se postupka pisanog dijeljenja brojeva.

$\begin{array}{l}2372:4=\stackrel{količnik}{\stackrel{⏞}{593}}\\ \underset{\_}{-20}\\ 37\\ \underset{\_}{-36}\\ 12\\ \underset{\_}{-12}\\ \underset{nemaostatka}{\underset{⏟}{0}}\end{array}$

Provjera: ​ $593·4=2372$

$\begin{array}{l}5324:21=\stackrel{količnik}{\stackrel{⏞}{253}}\\ \underset{\_}{-42}\\ 112\\ \underset{\_}{-105}\\ 74\\ \underset{\_}{-63}\\ \underset{ostatak}{\underset{⏟}{11}}\end{array}$

Provjera: $253·21+11=5324$

Primjer 12.

Primijenimo sličan postupak za dijeljenje:

1. polinoma s monomom

   $\begin{array}{l}\left(12x^4-6x^3+4x^2\right):\left(2x^2\right)=6x^2-3x+2\\ \underset{\_}{-\left(12x^4\right)}\\ 0-6x^3+4x^2\\ \underset{\_}{-\left(-6x^3\right)}\\ 0+4x^2\\ \underset{\_}{-\left(4x^2\right)}\\ 0\end{array}$

2. polinoma s binomom

   $\begin{array}{l}\left(x^2-4x+3\right):\left(x-3\right)=x-1\\ \underset{\_}{-\left(x^2-3x\right)}\\ -x+3\\ \underset{\_}{-\left(-x+3\right)}\\ 0\end{array}$

Primjer 13.

Pogledajte postupak dijeljenja polinoma u sljedećim videozapisima.​

Primjer 14.

Primjer 15.

Podsjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:

„Za zadane prirodne brojeve $m$ i $n$ postoje jedinstveni brojevi $q$ i $r$  iz skupa  ${\mathbf{N}}_{\mathbf{0}}$ za koje vrijedi

$r\mathrm{<}n$ i $m=n·q+r.$ ”

Kako bi to izgledalo na primjeru brojeva $350$ i $80?$

Broj $q=4$ je količnik, a broj $r=30$ je ostatak pri dijeljenju broja $350$ s $80$ i manji je od djelitelja, broja $80.$ Traženi je zapis $350=80·4+30,$ a služi nam za zapisivanje rezultata dijeljenja te za njegovu provjeru.

Sličan je tom teoremu i teorem o dijeljenju polinoma. Pokušajte ga samostalno zapisati.

Što znači uvjet $r\mathrm{<}n$ u teoremu o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom?

Postupak dijeljenja provodimo dokle god je ostatak manji od djelitelja jer bismo u suprotnom, primjerice, mogli povećati količnik za $1$ kao u zapisu $350=80·3+110,$

Što će biti uvjet $r\mathrm{<}n$ za polinome?

Za zadane polinome​ $M$ i $N$ postoje jedinstveni polinomi $Q$ i $R$ tako da vrijedi

$M\left(x\right)=N\left(x\right)·Q\left(x\right)+R\left(x\right),\mathrm{st}R<\mathrm{st}N.$​

Polinom $Q$ je količnik, a polinom $R$ je ostatak pri dijeljenju polinoma​ $M$ s polinomom $N.$

Zadatak 22.

Za polinome​ $M$ i $N$ primijenite teorem o dijeljenju polinoma, odnosno odredite polinome $Q$ i $R$ tako da vrijedi $M\left(x\right)=N\left(x\right)·Q\left(x\right)+R\left(x\right),$ $\mathrm{st}R<\mathrm{st}N.$

1. $M\left(x\right)=4x+3$ i $N\left(x\right)=x-2$
2. $M\left(x\right)=3x^2-2x+6$ i $N\left(x\right)=-x+1$
3. $M\left(x\right)=6x^3+x^2-x+1$ i $N\left(x\right)=3x^2-x+1$
4. $M\left(x\right)=6x^4-2x^3-11x^2+1$ i $N\left(x\right)=2x^2-3$
5. $M\left(x\right)=5x^3-x^2+3x-1$ i $N\left(x\right)=2x-1$
6. $M\left(x\right)=x^5-4x^4+7x^3-5x^2-2x+3$ i $N\left(x\right)=x^3-2x^2+1$

Kutak za znatiželjne

Dokažite da vrijedi Bezoutov poučak.

Ako je $P$ polinom $n$-tog stupnja i $P\left(x_0\right)=0,$ tada je polinom $P$ djeljiv s polinomom $x-x_0.$ Vrijedi i obratno: ako je $P$ djeljiv s polinomom $x-x_0,$ onda je $P\left(x_0\right)=0.$

Nekoliko zadataka s polinomima...

Zadatak 23.

Polinom $P$ zapisan je u obliku umnoška polinoma, odnosno $P\left(x\right)=\left(2x^3-18x\right)\left(x-2\right).$

1. Kojeg je stupnja polinom $P?$​
2. Pomnožite dane polinome i raspišite polinom $P$ po potencijama od najveće do najmanje.
3. Podijelite polinom $P$ s polinomima $x-2\mathrm{i}{x}^2-3x.$
4. Koliko iznosi zbroj svih koeficijenata polinoma $P$ ?