Vrijednost novog automobila pada eksponencijalno prema zakonu kojeg smo savladali u prethodnom modulu:
N(t)=N0ekt.
Kada vrijednost automobila padne na polovicu iznosa od onoga kad je kupljen, vrijeme je za prodaju.
Oldtimer
Automobil koji ima vaša obitelj star je tri godine i vrijednost mu je 75000kuna. Vrijednost novog automobila iste marke je 90000 kuna. Koliko će automobil vrijediti za pet godina?
Ako u gornju jednakost uvrstimo podatke koje imamo, dobit ćemo sljedeću jednadžbu.
ek⋅3=56
Kako bismo odredili vrijednost automobila nakon pet godina, treba nam koeficijent pada k.
Ovakvu jednadžbu, u kojoj je nepoznanica u eksponentu, nazivamo eksponencijalna jednadžba.
Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.
Primjer 1.
Jednadžbu
e3k=56 možemo riješiti grafički uz upotrebu digitalnih alata.
Graf rješenja
Iz grafičkog prikaza čitamo da je
k=−0.06.
Sada možemo odrediti vrijednost nakon pet godina.
N(8)=90000⋅e8⋅(−0.06)
Vrijednost automobila nakon 8godina bit će55690.5 kuna te treba razmišljati o njegovoj prodaji.
Povežite jednadžbe s grafom pripadajućeg sustava.
e3x=2
2x=3−x
4x=2
Zadatak 1.
U sljedećoj "vježbalici" različite eksponencijalne jednadžbe bit će i grafički prikazane. Odredite eksponencijalnu jednadžbu u obliku af(x)=bg(x).
Za upis eksponenta upotrijebite kombinaciju: alt gr + 3
Ponovimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.
Što je ekvivalent y=ax?
null
Funkcija inverzna eksponencijalnoj je
funkcija.
null
Za funkcijef(x)=bx i g(x)=logbx povežite istinite tvrdnje.
logbb3
2
logb1
3
b0
1
blogb2
0
null
null
Svojstvo eksponencijalne funkcije
ax=ay⇒x=y nazivamo
funkcije.
null
Jednostavne eksponencijalne jednadžbe
Primjer 2.
Vratimo se na zadatak s početka. Možemo li jednadžbu e3k=56 napisati drukčije?
Zapišimo jednadžbu u logaritamskom obliku.
loge(56)=3k
Imamo zapravo prirodni logaritam.
ln56=3k
3k=ln56
k=(ln(56)):3=−0.06.
Primjer 3.
Riješimo sada analitički i zadatak 1.
e3x=2
ln2=3x
x=0.23
2x=3−x
Ovaj zadatak ne možemo riješiti na isti način kao prethodni. Pokušajmo logaritmirati jednakost.
2x=3−x/ln
xln2=−xln3
x(ln2+ln3)=0
x=0
Jesmo li taj zaključak mogli dobiti pomoću znanja o grafu eksponencijalne funkcije?
Pitanje je kroz koju točku prolaze sve ekspoenencijale funkcije u obliku
f(x)=ax.
Sve funkcije u obliku
f(x)=ax prolaze kroz točku (0,1).
4x=2
x=log42
x=0.5
Zanimljivost
Ako na džepnom računalu nemate mogućnost računanja s logaritmima različitih baza, uz pomoć pravila logax=logbxlogba svaki logaritam možete pretvoriti u logaritam s bazom 10ili e.
Primjer 4.
Riješimo sljedeće jednadžbe.
7⋅23t=1
2⋅3x−1=14
Zadanu ćemo jednadžbu najprije podijeli sa
7 kako bismo je sveli na poznati eksponencijalni oblik
ax=y.
Najprije svedimo lijevu i desnu stranu na potencije istih baza.
5x−3=(52)x−5
5x−3=52x−10
Zatim izjednačimo eksponente.
x−3=2x−10⇒−x=−7⇒x=7
Primjer 7.
Riješimo eksponencijalnu jednadžbu 100x=(110)x−3.
Upotrijebimo pravila za računanje s potencijama kako bismo lijevu i desnu stranu sveli na potencije istih baza.
102x=(10−1)x−3
102x=10−x+3
Zbog injektivnosti slijedi:
2x=−x+3⇒3x=3/:3⇒x=1.
Primjer 8.
Riješimo eksponencijalnu jednadžbu
3x2+4x=127.
3x2+4x=3−3
Primijenimo sada svojstvo injektivnosti.
x2+4x=−3⇒x2+4x+3=0
Sada riješimo kvadratnu jednadžbu koristeći se formulom.
a=1,b=4,c=3
x1,2=−b±√b2−4ac2a=−4±√16−4⋅1⋅32=−4±√42=−4±22
x1=−4+22=−22=−1
x2=−4−22=−62=−3
Riješite zadatak primjenom svojstva injektivnosti.
Nakon svođenja na istu bazu, eksponencijalnu jednadžbu54x−7=0.04 zapisujemo kao:
null
null
Primjenom svojstva
izjednačavamo
i dobijemo jednadžbu
x−
=−2.
7
injektivnosti
4
eksponente
null
null
Rješenje eksponencijalne jednadžbe 54x−7=0.04 je:
null
null
Spojite eksponencijalne jednadžbe i pripadajuća rješenja.
Za rješavanje primijenite svojstvo injektivnosti.
62x−6=363x+5
x=1
495x+2=(17)11−x
x=0.5
e2x=e3x−1
x=−53
5125x−1=(18)−4−x
x=−4
null
null
Kutak za znatiželjne
Pokazali smo kako rješavati jednostavne eksponencijalne jednadžbe. U sljedećem videozapisu pogledajte kako riješiti složenu eksponencijalnu jednadžbu pomoću supstitucije.
00:00
00:00
Zadatak 2.
Pokušajte riješiti sljedeće eksponencijalne jednadžbe.
x2⋅2x−2x=0
101+e−x=2
x=±1
x=−1.386294
...i na kraju
Za kraj riješimo jedan zanimljiv zadatak koji nas vodi u kuhinju.
Jelo je skuhano i gladni smo. Ipak, čekamo. Što čekamo? Tek skuhano jelo je prevruće, mogli bismo opeći jezik, a to nije ugodno.
Praktična primjena zakona hlađenja
Zadatak 3.
Pozvani ste na ručak. Domaćica je upravo skuhala gulaš. Znate da je gulaš sada temperature oko 100 ∘C. Prostor u kojem ćete ručati ima temperaturu oko 25 ∘C. Koeficijent hlađenja je 0.048. Koliko vremena treba proći da bi gulaš bio na temperaturi ugodnoj za jelo od 40 ∘C?
Hlađenje tijela prema Newtonovu zakonu događa se prema sljedećoj formuli.
T(t)=TS+(T0−TS)e−kt
T– temperatura tijela nakon vremena
t (vrijeme u minutama)
TS – temperatura okolice
T0 – početna temperatura zagrijanog tijela
k – pozitivna konstanta hlađenja
S pomoću Newtonova zakona hlađenja i znanja o rješavanju eksponencijalnih jednadžbi riješite problem.
Nakon koliko vremena je sigurno početi jesti?
Jesti možemo početi nakon približno 33minute.
Procijenite svoje znanje
1
2
3
4
5
Povežite eksponencijalnu jednadžbu i njezin logaritamski oblik.
ex−1=1
x=1+ln1
2e2x=4
x=ln8
ex=8
x=ln22
null
null
Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na
dviju potencija
baze
rješavamo primjenom svojstva
,
tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.
null
null
Koje je rješenje eksponencijalne jednadžbe 2⋅6x=236?
null
null
Za rješavanje eksponencijalne jednadžbe127x+5=1 primijenit ćemo svojstvo:
null
null
U banku smo uložili
20000 kuna uz godišnju stopu rasta od
5 %. Za koliko ćemo vremena (u godinama, zaokruženo na cijeli broj) imati iznos 50% veći od uloženog? Nakon