Na početku...

Vrijednost novog automobila pada eksponencijalno prema zakonu kojeg smo savladali u prethodnom modulu:

$N (t) = N_{0} e^{k t} .$ $N (t) = N_{0} e^{k t} .$

Kada vrijednost automobila padne na polovicu iznosa od onoga kad je kupljen, vrijeme je za prodaju.

Čovjek zagledava u unutrašnjost automobila. — Oldtimer

Automobil koji ima vaša obitelj star je tri godine i vrijednost mu je $75000$ $75 000$ kuna. Vrijednost novog automobila iste marke je $90000$ $90 000$ kuna. Koliko će automobil vrijediti za pet godina?

Ako u gornju jednakost uvrstimo podatke koje imamo, dobit ćemo sljedeću jednadžbu.

$e^{k \cdot 3} = \frac{5}{6}$ $e^{k \cdot 3} = \frac{5}{6}$

Kako bismo odredili vrijednost automobila nakon pet godina, treba nam koeficijent pada $k$ $k$ .

Kako ćemo ga izračunati? Nalazi se u eksponentu.

Eksponencijalna jednadžba

Ovakvu jednadžbu, u kojoj je nepoznanica u eksponentu, nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Primjer 1.

Jednadžbu $e^{3 k} = \frac{5}{6}$ $e^{3 k} = \frac{5}{6}$ možemo riješiti grafički uz upotrebu digitalnih alata.

Graf rješenja

Iz grafičkog prikaza čitamo da je $k = - 0.06 .$ $k = - 0.06 .$

Sada možemo odrediti vrijednost nakon pet godina.

$N (8) = 90000 \cdot e^{8 \cdot (- 0.06)}$ $N (8) = 90 000 \cdot e^{8 \cdot (- 0.06)}$

Vrijednost automobila nakon $8$ $8$ godina bit će $55 690.5$ $55 690.5$ kuna te treba razmišljati o njegovoj prodaji.

Povežite jednadžbe s grafom pripadajućeg sustava.

e^{3 x} = 2

$e^{3 x} = 2$

2^{x} = 3^{- x}

$2^{x} = 3^{- x}$

4^{x} = 2

$4^{x} = 2$

Zadatak 1.

U sljedećoj "vježbalici" različite eksponencijalne jednadžbe bit će i grafički prikazane. Odredite eksponencijalnu jednadžbu u obliku $a^{f (x)} = b^{g (x)}$ $a^{f (x)} = b^{g (x)}$ .

Za upis eksponenta upotrijebite kombinaciju: alt gr + 3

Ponovimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

Što je ekvivalent $y = a^{x} ?$ $y = a^{x} ?$

x = {log}_{a} y

$x = \log_{a} y$

x = \sqrt[y]{a}

$x = \sqrt[y]{a}$

x = {log}_{y} a

$x = \log_{y} a$

null

Funkcija inverzna eksponencijalnoj je

funkcija.

null

Za funkcije $f (x) = b^{x}$ $f (x) = b^{x}$ i $g (x) = {log}_{b} x$ $g (x) = \log_{b} x$ povežite istinite tvrdnje.

${log}_{b} b^{3}$ $\log_{b} b^{3}$	$2$ $2$
${log}_{b} 1$ $\log_{b} 1$	$3$ $3$
$b^{0}$ $b^{0}$	$1$ $1$
$b_{b}^{{log}_{b} 2}$ $b^{\log_{b} 2}$	$0$ $0$

null

Svojstvo eksponencijalne funkcije

a^{x} = a^{y} \Rightarrow x = y

$a^{x} = a^{y} \Rightarrow x = y$ nazivamo

funkcije.

null

Jednostavne eksponencijalne jednadžbe

Primjer 2.

Vratimo se na zadatak s početka. Možemo li jednadžbu $e^{3 k} = \frac{5}{6}$ $e^{3 k} = \frac{5}{6}$ napisati drukčije?

Zapišimo jednadžbu u logaritamskom obliku.

${log}_{e} (\frac{5}{6}) = 3 k$ $\log_{e} (\frac{5}{6}) = 3 k$

Imamo zapravo prirodni logaritam.

$ln \frac{5}{6} = 3 k$ $\ln \frac{5}{6} = 3 k$

$3 k = ln \frac{5}{6}$ $3 k = \ln \frac{5}{6}$

$k = (ln (\frac{5}{6})) : 3 = - 0.06 .$ $k = (\ln (\frac{5}{6})) : 3 = - 0.06 .$

Primjer 3.

Riješimo sada analitički i zadatak 1.

$e^{3 x} = 2$ $e^{3 x} = 2$

$ln 2 = 3 x$ $\ln 2 = 3 x$

$x = 0.23$ $x = 0.23$

$2^{x} = 3^{- x}$ $2^{x} = 3^{- x}$

Ovaj zadatak ne možemo riješiti na isti način kao prethodni. Pokušajmo logaritmirati jednakost.

$2^{x} = 3^{- x} / ln$ $2^{x} = 3^{- x} / \ln$

$x ln 2 = - x ln 3$ $x \ln 2 = - x \ln 3$

$x (ln 2 + ln 3) = 0$ $x (\ln 2 + \ln 3) = 0$

$x = 0$ $x = 0$

Jesmo li taj zaključak mogli dobiti pomoću znanja o grafu eksponencijalne funkcije?

Pitanje je kroz koju točku prolaze sve ekspoenencijale funkcije u obliku $f (x) = a^{x} .$ $f (x) = a^{x} .$

Sve funkcije u obliku $f (x) = a^{x}$ $f (x) = a^{x}$ prolaze kroz točku $(0, 1) .$ $(0, 1) .$

$4^{x} = 2$ $4^{x} = 2$

$x = {log}_{4} 2$ $x = \log_{4} 2$

$x = 0.5$ $x = 0.5$

Zanimljivost

Ako na džepnom računalu nemate mogućnost računanja s logaritmima različitih baza, uz pomoć pravila ${log}_{a} x = \frac{{log}_{b} x}{{log}_{b} a}$ $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ svaki logaritam možete pretvoriti u logaritam s bazom $10$ $10$ ili $e .$ $e .$

Primjer 4.

Riješimo sljedeće jednadžbe.

$7 \cdot 2^{3 t} = 1$ $7 \cdot 2^{3 t} = 1$

$2 \cdot 3^{x - 1} = 14$ $2 \cdot 3^{x - 1} = 14$

Zadanu ćemo jednadžbu najprije podijeli sa $7$ $7$ kako bismo je sveli na poznati eksponencijalni oblik $a^{x} = y .$ $a^{x} = y .$

$2^{3 t} = \frac{1}{7} \approx 0.143 \Rightarrow {log}_{2} 0.143 = 3 t \Rightarrow \frac{log 0.143}{log 2} = 3 t \Rightarrow t = (\frac{log 0.143}{log 2}) : 3 = - 0.935$ $2^{3 t} = \frac{1}{7} \approx 0.143 \Rightarrow \log_{2} 0.143 = 3 t \Rightarrow \frac{\log 0.143}{\log 2} = 3 t \Rightarrow t = (\frac{\log 0.143}{\log 2}) : 3 = - 0.935$

Ovaj zadatak riješit ćemo na isti način kao prethodni. Najprije dijelimo s $2 .$ $2 .$

$3^{x - 1} = 7 \Rightarrow {log}_{3} 7 = x - 1 \Rightarrow x - 1 = {log}_{3} 7 \Rightarrow x = \frac{log 7}{log 3} + 1 \approx 2.77$ $3^{x - 1} = 7 \Rightarrow \log_{3} 7 = x - 1 \Rightarrow x - 1 = \log_{3} 7 \Rightarrow x = \frac{\log 7}{\log 3} + 1 \approx 2.77$

Za rješavanje tih primjera potrebno je džepno računalo.

Koje smo pravilo za računanje s logaritmima primijenili u primjeru?

{log}_{a} x + {log}_{a} y = {log}_{a} (x \cdot y)

$\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)$

{log}_{a} b = \frac{log b}{log a}

$\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$

{log}_{a} (x - y) = \frac{{log}_{a} x}{{log}_{a} y}

$\log_{a} (x - y) = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y}$

null

Primjer 5.

Vratimo se na zadatak 1. pod c).

Jesmo li mogli jednadžbu $4^{x} = 2$ $4^{x} = 2$ riješiti na drugi način?

Lijevu i desnu stranu moguće je prikazati kao potencije broja $2 .$ $2 .$

$2^{2 x} = 2^{1}$ $2^{2 x} = 2^{1}$

Ako primijenimo svojstvo injektivnosti $a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y,$ $a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y,$ možemo pisati:

$2 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} .$ $2 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} .$

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi primjenom injektivnosti

Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na jednakost potencija dviju istih baza rješavamo primjenom svojstva injektivnosti:

Primjena svojstva injektivnosti kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

$a^{f (x)} = a^{g (x)} \Rightarrow f (x) = g (x),$ $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Rightarrow f (x) = g (x),$ $a > 0,$ $a > 0,$ $a \neq 1 .$ $a \neq 1 .$

Primjer 6.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu $5^{x - 3} = 25^{x - 5} .$ $5^{x - 3} = 25^{x - 5} .$

Najprije svedimo lijevu i desnu stranu na potencije istih baza.

$5^{x - 3} = {(5^{2})}^{x - 5}$ $5^{x - 3} = {(5^{2})}^{x - 5}$

$5^{x - 3} = 5^{2 x - 10}$ $5^{x - 3} = 5^{2 x - 10}$

Zatim izjednačimo eksponente.

$x - 3 = 2 x - 10 \Rightarrow - x = - 7 \Rightarrow x = 7$ $x - 3 = 2 x - 10 \Rightarrow - x = - 7 \Rightarrow x = 7$

Primjer 7.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu $100^{x} = {(\frac{1}{10})}^{x - 3} .$ $100^{x} = {(\frac{1}{10})}^{x - 3} .$

Upotrijebimo pravila za računanje s potencijama kako bismo lijevu i desnu stranu sveli na potencije istih baza.

$10^{2 x} = {(10^{- 1})}^{x - 3}$ $10^{2 x} = {(10^{- 1})}^{x - 3}$

$10^{2 x} = 10^{- x + 3}$ $10^{2 x} = 10^{- x + 3}$

Zbog injektivnosti slijedi:

$2 x = - x + 3 \Rightarrow 3 x = 3 / : 3 \Rightarrow x = 1 .$ $2 x = - x + 3 \Rightarrow 3 x = 3 / : 3 \Rightarrow x = 1 .$

Primjer 8.

Riješimo eksponencijalnu jednadžbu $3^{x^{2} + 4 x} = \frac{1}{27} .$ $3^{x^{2} + 4 x} = \frac{1}{27} .$

$3^{x^{2} + 4 x} = 3^{- 3}$ $3^{x^{2} + 4 x} = 3^{- 3}$

Primijenimo sada svojstvo injektivnosti.

$x^{2} + 4 x = - 3 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0$ $x^{2} + 4 x = - 3 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0$

Sada riješimo kvadratnu jednadžbu koristeći se formulom.

$a = 1, b = 4, c = 3$ $a = 1, b = 4, c = 3$

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{- 4 \pm 2}{2}$ $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{- 4 \pm 2}{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$ $x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ $x_{2} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Riješite zadatak primjenom svojstva injektivnosti.

Nakon svođenja na istu bazu, eksponencijalnu jednadžbu $5^{4 x - 7} = 0.04$ $5^{4 x - 7} = 0.04$ zapisujemo kao:

5^{4 x - 7} = 5^{2}

$5^{4 x - 7} = 5^{2}$

5^{4 x - 7} = 5^{- 2}

$5^{4 x - 7} = 5^{- 2}$

5^{4 x - 7} = 4^{- 2}

$5^{4 x - 7} = 4^{- 2}$

5^{4 x - 7} = 4^{2.}

$5^{4 x - 7} = 4^{2.}$

null

Primjenom svojstva

izjednačavamo

i dobijemo jednadžbu

x -

$x -$

= - 2 .

$= - 2 .$

7

$7$

injektivnosti

4

$4$

eksponente

null

Rješenje eksponencijalne jednadžbe $5^{4 x - 7} = 0.04$ $5^{4 x - 7} = 0.04$ je:

x = \frac{4}{5}

$x = \frac{4}{5}$

x = \frac{5}{4}

$x = \frac{5}{4}$

x = 0.125

$x = 0.125$

x = 12.5 .

$x = 12.5 .$

null

Spojite eksponencijalne jednadžbe i pripadajuća rješenja.

Za rješavanje primijenite svojstvo injektivnosti.

$6^{2 x - 6} = 36^{3 x + 5}$ $6^{2 x - 6} = 36^{3 x + 5}$	$x = 1$ $x = 1$
$49^{5 x + 2} = {(\frac{1}{7})}^{11 - x}$ $49^{5 x + 2} = {(\frac{1}{7})}^{11 - x}$	$x = 0.5$ $x = 0.5$
$e^{2 x} = e^{3 x - 1}$ $e^{2 x} = e^{3 x - 1}$	$x = - \frac{5}{3}$ $x = - \frac{5}{3}$
$512^{5 x - 1} = {(\frac{1}{8})}^{- 4 - x}$ $512^{5 x - 1} = {(\frac{1}{8})}^{- 4 - x}$	$x = - 4$ $x = - 4$

null

Kutak za znatiželjne

Pokazali smo kako rješavati jednostavne eksponencijalne jednadžbe. U sljedećem videozapisu pogledajte kako riješiti složenu eksponencijalnu jednadžbu pomoću supstitucije.

00:00

Zadatak 2.

Pokušajte riješiti sljedeće eksponencijalne jednadžbe.

$x^{2} \cdot 2^{x} - 2^{x} = 0$ $x^{2} \cdot 2^{x} - 2^{x} = 0$
$\frac{10}{1 + e^{- x}} = 2$ $\frac{10}{1 + e^{- x}} = 2$

$x = \pm 1$ $x = \pm 1$
$x = - 1.386294$ $x = - 1.386294$

...i na kraju

Za kraj riješimo jedan zanimljiv zadatak koji nas vodi u kuhinju.

Jelo je skuhano i gladni smo. Ipak, čekamo. Što čekamo? Tek skuhano jelo je prevruće, mogli bismo opeći jezik, a to nije ugodno.

Koliko vremena treba za hlađenje tek skuhanog jela na temepraturu koja je pogodna za konzumaciju? — Praktična primjena zakona hlađenja

Zadatak 3.

Pozvani ste na ručak. Domaćica je upravo skuhala gulaš. Znate da je gulaš sada temperature oko $100^{\circ} C .$ $100^{\circ} C .$ Prostor u kojem ćete ručati ima temperaturu oko $25^{\circ} C .$ $25^{\circ} C .$ Koeficijent hlađenja je $0.048 .$ $0.048 .$ Koliko vremena treba proći da bi gulaš bio na temperaturi ugodnoj za jelo od $40^{\circ} C?$ $40^{\circ} C?$

Hlađenje tijela prema Newtonovu zakonu događa se prema sljedećoj formuli.

$T (t) = T_{S} + (T_{0} - T_{S}) e^{- k t}$ $T (t) = T_{S} + (T_{0} - T_{S}) e^{- k t}$

$T$ $T$ – temperatura tijela nakon vremena $t$ $t$ (vrijeme u minutama)

$T_{S}$ $T_{S}$ – temperatura okolice

$T_{0}$ $T_{0}$ – početna temperatura zagrijanog tijela

$k$ $k$ – pozitivna konstanta hlađenja

S pomoću Newtonova zakona hlađenja i znanja o rješavanju eksponencijalnih jednadžbi riješite problem.

Nakon koliko vremena je sigurno početi jesti?

Jesti možemo početi nakon približno $33$ $33$ minute.

Procijenite svoje znanje

Povežite eksponencijalnu jednadžbu i njezin logaritamski oblik.

$e^{x - 1} = 1$ $e^{x - 1} = 1$	$x = 1 + ln 1$ $x = 1 + \ln 1$
$2 e^{2 x} = 4$ $2 e^{2 x} = 4$	$x = ln 8$ $x = \ln 8$
$e^{x} = 8$ $e^{x} = 8$	$x = \frac{ln 2}{2}$ $x = \frac{\ln 2}{2}$

null

Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na

dviju potencija

baze

rješavamo primjenom svojstva

tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.

null

Koje je rješenje eksponencijalne jednadžbe $2 \cdot 6^{x} = 236 ?$ $2 \cdot 6^{x} = 236 ?$

x = {log}_{6} 118

$x = \log_{6} 118$

x = {log}_{12} 236

$x = \log_{12} 236$

x = {log}_{2} 236

$x = \log_{2} 236$

x = {log}_{2} 118

$x = \log_{2} 118$

null

Za rješavanje eksponencijalne jednadžbe $12^{7 x + 5} = 1$ $12^{7 x + 5} = 1$ primijenit ćemo svojstvo:

a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}

$a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}$

a^{0} = 1

$a^{0} = 1$

{(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y} .

${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y} .$

null

U banku smo uložili

20000

$20 000$ kuna uz godišnju stopu rasta od

5 % .

$5 % .$ Za koliko ćemo vremena (u godinama, zaokruženo na cijeli broj) imati iznos

50 %

$50 %$ veći od uloženog?
Nakon

godina.

null

3.1 Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi

Na početku...

Eksponencijalna jednadžba

Primjer 1.

Zadatak 1.

Jednostavne eksponencijalne jednadžbe

Primjer 2.

Primjer 3.

Zanimljivost

Primjer 4.

Primjer 5.

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi primjenom injektivnosti

Primjena svojstva injektivnosti kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 6.

Primjer 7.

Primjer 8.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 2.

...i na kraju

Zadatak 3.

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: