Matematika 3 - 6.3 Algebarsko rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Na početku...

More — Primjena trigonometrije na primjeru plime i oseke

Naučili smo da se promjena razine mora prouzročena plimom i osekom mijenja trigonometrijski. Primjer jedne trigonometrijske funkcije koja opisuje razinu mora u metrima tijekom dana u nekom mjestu dana je funkcijom $f (x) = 4.9 \cdot \cos (\frac{π x}{6}) + 5,$ pri čemu je $x$ vrijeme u satima.

Kada će razina mora iznositi $2$ metra?

Grafički prikaz: razina mora jednaka je 2 m — Grafički prikaz: razina mora je 2 m

Da bi se došlo do odgovara na naše pitanje, potrebno je riješiti trigonometrijsku jednadžbu: $4.9 \cdot \cos (\frac{π x}{6}) + 5 = 2 .$ Pogledamo li grafički prikaz zadanog problema, možemo približno odrediti kada će razina mora iznositi $2$ metra.

Uočimo da će to prvi put biti oko $4$ sata, pa oko $8$ sati...

U ovoj ćemo jedinici naučiti kako računski odrediti sva rješenja neke trigonometrijske jednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe jesu jednadžbe kod kojih je nepoznanica

neke trigonometrijske funkcije.
Rješenje trigonometrijske jednadžbe jest svaki

koji zadovoljava tu jednadžbu.

argument

realan broj

null

Razvrstajte jednadžbe u dvije grupe: trigonometrijske i ostale.

2 \cos π + x = 0

\sin 2 x - 1 = 0

tg (x + \sqrt{2}) = 2

\ln x = \sin 20

\frac{1}{2} \sin x = π - 3

tg \sqrt{2} - 2 = x^{2}

Trigonometrijske jednadžbe

Ostale vrste jednadžbi

null

Trigonometrijske jednadžbe oblika Asin(bx+c)+d=0

Primjer 1.

Riješimo jednadžbu: $\sin x = \frac{1}{2} .$

Da bi se odredio argument funkcije sinus, potrebno je djelovati s inverznom funkcijom: $f (x) = \arcsin x$ ili na kalkulatorima označenom $\sin^{- 1} .$ Ako je kalkulator podešen za računanje u stupnjevima, kao rezultat ćemo dobiti $30 °,$ ili u radijanima $\frac{π}{6} .$

Jesu li to sva rješenja naše jednadžbe?

Koliko rješenja u skupu realnih brojeva može imati trigonometrijska jednadžba ?

jedno

nijedno

dva

beskonačno mnogo

null

Pogledamo li rješenje zadane jednadžbe na brojevnoj kružnici, možemo zaključiti da ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja.

Za točku $T$ ta rješenja možemo zapisati ovako: $x = 30 ° + 360 ° k$ ili $x = \frac{π}{6} + 2 k π,$ pri čemu je $k \in Z .$

Za točku $T_{1}$ rješenja možemo zapisati ovako: $x_{1} = 120 ° + 360 ° k$ ili $x_{1} = \frac{5 π}{6} + 2 k π,$ pri čemu je $k \in Z .$

Istražimo

Možemo li na kalkulatoru dobiti više rješenja trigonometrijske jednadžbe? Iz kojeg su intervala rješenja koja dobivamo na kalkulatoru? Pokušajte pronaći aplikaciju koja rješava trigonometrijske jednadžbe dajući sva rješenja.

Izračunavamo li na kalkulatoru vrijednosti $\sin^{- 1} x$ ili $\cos^{- 1} x$ dobit ćemo vrijednosti iz intervala $[- 90 °, 90 °]$ ukoliko je kalkulator postavljen u stupnjevima, odnosno $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ako je kalkulator postavljen u radijanima.

Odaberite formulu redukcije koja nam daje mogućnost da iz rješenja koje dobijemo na kalkulatoru dođemo do drugog oblika rješenja (u primjeru do točke $T_{1}$ ).

\sin (π - x) = \sin x

\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x

\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x

\sin (π + x) = - \sin x

null

Jednadžbu $\sin x = \frac{1}{2}$ možemo riješiti koristeći gaf funkcije $f (x) = \sin x .$

Sinusoida s točkama u kojima je vrijednost sinusa 0.5

Primjenjujući periodičnost funkcije sinus, ponovno dobijemo beskonačno mnogo rješenja. Želimo li ih objediniti u jedan oblik, sva ćemo rješenja zapisati ovako: $x_{1} = \frac{π}{6} + 2 k π$ i $x_{2} = \frac{5}{6} π + 2 k π$ za $k \in Z .$

Istražimo

U nekim situacijama trigonometrijske jednadžbe nemaju rješenja. Razmislite koje trigonometrijske jednadžbe nemaju rješenja i zašto. Ponovite definicije funkcija sinus i kosinus.

Razvrstajte trigonometrijske jednadžbe u dvije grupe: one koje imaju rješenja i one koje nemaju rješenja u skupu realnih brojeva.

\cos x = - 2

2 tg x = 10

2 \sin (x - \frac{π}{2}) = 5

\sin x = - 1

\cos 2 x = 0.1

Ima rješenja

Nema rješenja

null

Trigonometrijska jednadžba $\sin x = a$ ima rješenja ako i samo ako je $|a| \leq 1 .$ Neka je $x_{0}$ jedno rješenje te jednadžbe. Tada sva rješenja te jednadžbe možemo zapisati ovako:

$x_{1} = x_{0} + 2 k π$ i $x_{2} = π - x_{0} + 2 k π,$ $k \in Z .$

Primjer 2.

Riješimo jednadžbu: $\sin 2 x - 1 = 0 .$

Prebacimo $- 1$ na desnu stranu jednakosti i dobit ćemo jednadžbu: $\sin 2 x = 1 .$

Djelujemo li sa $\sin^{- 1},$ dobivamo $x_{0} = \frac{π}{2} .$ Zapišimo rješenja ovako: $2 x_{1} = \frac{π}{2} + 2 k π$ i $2 x_{2} = π - \frac{π}{2} + 2 k π .$ Ta su rješenja jednaka pa je dovoljno uzeti samo jedno. Da bi se odredio $x,$ rješenje je potrebno podijeliti s $2 .$ Pripazite: dijelimo i lijevu i desnu stranu jednadžbe!

$x = \frac{π}{4} + k π,$ $k \in Z .$

Posloži postupak rješavanja jednadžbe: $2 \sin (3 x - \frac{π}{3}) + 1 = 0 .$

$\sin (3 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$
$3 x_{1} - \frac{π}{3} = - \frac{π}{6} + 2 k π, 3 x_{2} - \frac{π}{3} = π - (- \frac{π}{6}) + 2 k π$
$2 \sin (3 x - \frac{π}{3}) = - 1$
$x_{1} = \frac{π}{18} + \frac{2}{3} k π, x_{2} = \frac{1}{2} π + \frac{2}{3} k π, k \in Z$
$3 x_{1} = \frac{π}{6} + 2 k π, 3 x_{2} = \frac{7}{6} π + 2 k π$

null

Riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Riješite jednadžbu: $2 \sin x = \sqrt{3} .$

$x_{1} = \frac{π}{3} + 2 k π,$

$x_{2} = \frac{2}{3} π + 2 k π, k \in Z$

Riješite jednadžbu: $2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) = 1 .$

x_{1} = \frac{π}{4} + k π,

x_{2} = \frac{7}{12} π + k π, k \in Z

Riješite jednadžbu: $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) = - 1 .$

$x = 2 π + 4 k π, k \in Z$

Riješite jednadžbu: $2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) = 4 .$

Nema rješenja.

Trigonometrijske jednadžbe oblika Acos(bx+c)+d=0

Riješimo jednadžbu: $\cos x = \frac{1}{3} .$

Pogledajmo rješenje ove jednadžbe na brojevnoj kružnici.

Brojevna kružnica s istaknutim kosinusom

Uočavamo da na brojevnoj kružnici postoje dva rješenja ove jednadžbe.

Da bi se odredilo jedno rješenje ove jednadžbe, potrebno je djelovati inverznom funkcijom: $f (x) = \arccos x$ ili na kalkulatoru pritsnuti tipku $\cos^{- 1} .$ Ako je kalkulator podešen za računanje u stupnjevima, kao rezultat ćemo dobiti približnu vrijednost $70 ° 31' 44 ",$ ili u radijanima zaokruženu vrijednost $1.231 .$

Zbog simetrije možemo uočiti da je vrijednost u 4. kvadrantu $- 70 ° 31' 44 ",$ ili u radijanima $- 1.231 .$

Jesu li to sva rješenja naše jednadžbe?

Zbog mogućnosti prolaska kružnicom beskonačno mnogo puta u pozitivnom i negativnom smjeru, imamo beskonačno mnogo rješenja. Ona su oblika:
$x_{1} = 70 ° 31' 44 " + k \cdot 360 °$ i $x_{2} = - 70 ° 31' 44 " + k \cdot 360 °$
tj. $x_{1} = 1.231 + 2 k π$ $x_{2} = - 1.231 + 2 k π,$ $k \in Z$ .

Kraće možemo zapisati ovako: $x_{1,2} = \pm 70 ° 31' 44 " + k \cdot 360 °$ tj. $x_{1,2} = \pm 1.231 + 2 k π,$ $k \in Z .$

Trigonometrijska jednadžba $\cos x = a$ ima rješenja ako i samo ako je $|a| \leq 1 .$ Neka je $x_{0}$ jedno rješenje te jednadžbe. Tada sva rješenja te jednadžbe možemo zapisati ovako:

$x_{1} = x_{0} + 2 k π$ i $x_{2} = - x_{0} + 2 k π,$ $k \in Z$ ili kraće $x_{1,2} = \pm x_{0} + 2 k π,$ $k \in Z$ .

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu iz uvodnog primjera: $4.9 \cdot \cos (\frac{π x}{6}) + 5 = 2$ .

Najprije je želimo svesti na oblik $\cos x = a .$ Prebacimo broj $5$ na desnu stranu jednakosti i cijelu jednadžbu podijelimo s $4.9 .$ Dobit ćemo $\cos (\frac{π x}{6}) = - \frac{30}{49}$ . Djelujemo li inverzom, dobijemo $\frac{π x}{6} = \pm 2.2297 + 2 k π$ odnosno $x = \pm 4.2584 + 12 k$ za $k \in Z$ .

Zadatak 1.

Riješimo jednadžbu: $\cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Posložite redoslijed pri rješavanju jednadžbe: $5 \cos (2 x - 1) = 4 .$

$2 x_{2} = 0.3565 + 2 k π$ za $k \in Z$
$\cos (2 x - 1) = \frac{4}{5}$
$x_{1} = 0.8218 + k π$ za $k \in Z$
$x_{2} = 0.1783 + k π$ za $k \in Z$
$2 x_{1} = 1.6435 + 2 k π$ za $k \in Z$
$2 x - 1 = \pm 0.6435 + 2 k π$ za $k \in Z$

null

Riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #2

Riješite jednadžbu: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$x = \pm \frac{π}{4} + 2 k π$ za $k \in Z$ .

Riješite jednadžbu: $\cos 2 x + 1 = 0 .$

$x = \frac{π}{2} + k π$ za $k \in Z$ .

Riješite jednadžbu: $2 \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) = - 1 .$

$x_{1} = \frac{2}{3} π + 4 k π$ za $k \in Z$ .

$x_{2} = - 2 π + 4 k π$ za $k \in Z$ .

Praktična vježba

Za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi možete koristiti aplikaciju Photomath ili Wolframalpha, u kojoj za rješavanje jednadžbi koristimo ključnu riječ SOLVE.

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu: $\sin x + \cos x = 2 .$

Jednadžba nema rješenja jer vrijednosti sinusa i kosinusa mogu biti iz intervala $[- 1, 1] .$ Kad je sinus jednak $1,$ vrijednost je kosinusa $0$ i obratno. Dakle ne postoji $x$ koji zadovoljava ovu jednadžbu.

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu: $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 .$

Ovu jednadžbu zadovoljavaju svi $x \in R .$

Ostale vrste trigonometrijskih jednadžbi

Primjer 4.

Riješimo jednadžbu: $tg x = \sqrt{3} .$

Odredimo li inverz od tangensa, dobijemo: $x = 60 °$ tj. $x = \frac{π}{3} .$

Pogledajmo na brojevnoj kružnici sva rješenja ove jednadžbe.

Zbog periodičnosti tangensa, sva rješenja možemo prikazati ovako: $x = \frac{π}{3} + k π$ tj. $x = 60 ° + k \cdot 180 °$ za $k \in Z$ .

Jednadžba s tangensom

Trigonometrijska jednadžba $tg x = a$ ima rješenja $x = x_{0} + k π$ , pri čemu je $x_{0}$ jedno rješenje te jednadžbe i $k \in Z .$

Zadatak 4.

Riješite jednadžbu: $tg (2 x - 1) = - 2 .$

$x = - 0.0536 + \frac{k π}{2}$ za $k \in Z$ .

Zadatak 5.

Riješite jednadžbu: $ctg x = 3 .$

$tg x = \frac{1}{3}$

$x = 0.3218 + k π$ za $k \in Z$ .

6.3 Algebarsko rješavanje trigonometrijskih jednadžbi