8.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Modeliranje pomoću pravca i jednadžbe pravca

Korelacija

Amortizacija je postupno umanjivanje vrijednosti imovine poduzeća, a obračunava se godišnje prema zakonom predviđenom postupku. Različiti su načini procjene amortizacije. Najraširenija je linearna amortizacija, prema kojoj je iznos godišnje amortizacije uvijek jednak, a izračunava se tako da se razlika nabavne i otpisne vrijednosti podjeli s brojem godina amortizacije opreme.

Kako se može naslutiti iz imena, riječ je o linearnoj vezi.

Primjer 1.

Tvrtka koja se bavi sklapanjem računala ima vrijednost imovine procijenjenu na $400000$ kuna. Amortizacija iznosi $30000$ kuna po godini.

a) Kolika će biti vrijednost imovine (bez ponovnog ulaganja) nakon $5$ godina?

b) Nakon koliko će godina knjižena vrijednost imovine tvrtke biti nula? (Napomena: Prava vrijednost imovine ne može biti nula, ovo je vrijednost koja je zabilježena u financijskoj dokumentaciji tvrtke.)

Rješenje

Tražimo model za određivanje vrijednosti imovine $f\left(x\right)$ uz odbitak amortizacije nakon $x$ godina. Obje su veličine promjenjive i vrijednost imovine ovisi o godinama. Trebamo izračunati vrijednost imovine nakon $5$ godina i vrijeme potrebno da vrijednost imovine bude jednaka nuli. Zadana je vrijednost imovine $400000$ kuna i amortizacija od $30000$ kuna po godini - konstantna vrijednost. Pretpostavka je da se u imovinu neće dodatno ulagati.

$f\left(x\right)=-30000·x+400000$

Zadanom smo problemu pridružili linearni model. Kažemo da smo modelirali linearnom funkcijom. Pridruženi je model padajuća linearna funkcija jer je koeficijent smjera negativan. 

$f\left(5\right)=-30000·5+400000=250000$ - uvrstili smo za broj godina $5.$

Uz $f\left(x\right)=0$ izračunat ćemo nakon koliko će godina vrijednost imovine biti jednaka nuli, tj. odredit ćemo točku u kojoj pravac siječe os apscisa.

$0=-30000·x+400000$

$30000·x=400000 /:30000$

$x=13.\stackrel{\dot{}}{3}$

Vrijednost imovine bit će jednaka nuli nakon $13.3$ godine.

Pogledajmo kako to izgleda na grafičkom prikazu.   

Mjerilo u kojem je nacrtan prikaz: $1:10000.$

Vrijednost imovine tvrtke nakon osnivanja iznosi $50000$ kuna. Nakon četiri godine, vrijednost je $36000$ kuna. Koja od jednadžbi pravca grafički prikazuje ovisnost vrijednosti imovine o godinama?

$y=14000·x+50000$

$y=-14000·x+50000$

$y=-3500·x+50000$

$y=3500·x+50000$

null

null

Nakon tri godine automobil vrijedi $200000$ kuna, a nakon pet godina $100000.$ Automobil je kupljen za $350000$ kuna.

Da

Ne

null

null

Stroj nakon tri godine vrijedi $20000$ kuna, a nakon pet godina $10000$ kuna.

Kolika je amortizacija?

$10000$

$-10000$

$5000$

$-5000$

null

null

Ako je $t$ temperatura u $°\mathrm{F},$ $f\left(t\right)=at+b$ temperatura je u $°\mathrm{C},$ tada koeficijent $a$ označava

Promjenu temperature u $°\mathrm{F}$ kada temperatura naraste za $1°\mathrm{C}.$

Promjenu temperature u $°\mathrm{C}$ kada temperatura naraste za $1°\mathrm{F}.$

Vrijednost funkcije za $t=0$ .

Argument funkcije je $t=0$ .

null

null

Koeficijent smjera funkcije $f$ iznosi:

$\frac{53}{8}$

$-\frac{53}{8}$

$\frac{5}{9}$

$-\frac{5}{9}$

null

null

Temperatura koju je Ana dobila u $°\mathrm{C}$ jednaka je $10°\mathrm{C}.$

Da

Ne

null

null

Kada temperatura padne ispod određene vrijednosti cvrčci se više ne glasaju. Odredite koja je to temperatura granična.

$40°\mathrm{C}$

$40°\mathrm{F}$

$\frac{40}{9}°\mathrm{C}$ 

$\frac{40}{9}°\mathrm{F}$ 

null

null

Ako je temepratura $42°\mathrm{F},$ broj glasanja cvrčka u minuti jednak je broju

.

null

null

Pravac regresije

Prikažemo li podatke iz tablice kao skup točaka u koordinatnom sustavu, dobivene točke neće ležati na pravcu.

Da

Ne

null

null

Ako se broj letaka poveća za $50$ komada, ukupna cijena povećat će se za

 

kuna. Cijenu i broj komada letaka povezuje

 

funkcija. Cijena tiskanja po jednom letku iznosi

 

kuna, a cijena pripreme za tisak iznosi

 

kuna. Cijena pripreme za tisak jest odsječak na osi

 

na grafu pripadajuće linearne funkcije.

$10$

$150$

$500$

linearna

ordinata

null

null

Cijena tiskanja $1000$ letaka bila bi:

$10000$ kuna

$10100$ kuna

$10150$ kuna

null

null

Ukupna cijena tiskanja $x$ letaka bila bi:

$10x+150$

$10x+100$

$10x$

null

null

Tvrtka želi dvostrane letke u boji. Priprema je skuplja za $100$ kuna, a cijena tiskanja veća za $5$ kuna. Cijena za $1000$ komada iznosi

kuna.

null

null

Primjer 2.

Pogledajmo tablicu koja prikazuje podatke o bruto domaćem proizvodu po stanovniku (BDP, engl. -  gross domestic product, GDP) za Hrvatsku u periodu od 2000. do 2008. godine, izraženo u USD ( američkim dolarima).

Godina	BDP po stanovniku Republike Hrvatke u USD
2000.	$4919$
2001.	$5245$
2002.	$6053$
2003.	$7805$
2004.	$9365$
2005.	$10224$
2006.	$11363$
2007.	$13546$
2008.	$15893$

Izvor podataka: Svjetska banka

Ucrtajmo podatke u koordinatni sustav, tako da godine budu na osi apscisa, a BDP na osi ordinata.

Pravac regresije

Pravac regresije jest pravac koji najbolje povezuje (aproksimira) zadane točke grafa.

Linearne nejednadžbe s dvije nepozanice

Primjer 3.

Vlasnik tvrtke traži savjetnika za optimizaciju. Na oglas za posao javilo se nekoliko ljudi različitih profila, a među njima ste i vi. Kako bi napravio izbor, zadao vam je problem koji trebate riješiti.

Tvrtka proizvodi hlače i jakne. U izradi koriste dvije vrste materijala: pamuk i viskozu. Pred vama je zadatak sa sljedećim podatcima:

Tvrtka raspolaže sa $750{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ pamuka i $1000{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ viskoze. Za izradu hlača potrebno je $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ pamuka i $2{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ viskoze, dok se za proizvodnju jakne utroši $1.5{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ pamuka  i $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ viskoze.

Za svake prodane hlače u trgovini tvornica zaradi $50$ kuna, a za svaku jaknu $40$ kuna.

Koliki je broj hlača i jakni koji se može proizvesti iz materijala sa zaliha, kako bi zarada bila maksimalna?

Najprije trebamo sve podatke zapisati.

Ako broj hlača označimo s x, a broj jakni s y, onda vrijednost zarade možemo prikazati kao funkciju:
$f\left(x\right)=$ 

5040

$x+$ 

5040

$y.$
Raspoloživost materijala možemo zapisati u obliku nejednadžbi:
$x+1.5y\le$

7501000 , 

$2x+y\le$ 

7501000 .

null

null