8.1 Jednadžba pravca

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

U jednadžbi pravca $y=kx+l$ koeficijent $k$ nazivamo

 

ili koeficijent

 

, a koeficijent $l$ nazivamo

 

.

smjera

odsječak na osi $y$

nagib

null

null

Primjer 1.

Nacrtajmo pravac koji je zadan jednadžbom: $y=2x+1.$

Pravac je određen s dvije točke. Odaberimo dvije vrijednosti za $x$ i odredimo pripadne vrijednosti $y.$

$x$	$0$	$1$
$y$	$1$	$3$

Rješenje

Primjer 2.

Neka su zadane dvije točke: $\left(0,1\right)$ i $\left(1,3\right).$ Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te dvije točke.

Uvrstimo li $x$ i $y$ koordinate tih točaka u jednadžbu pravca $y=kx+l,$ dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

$1=0k+l$

$3=1k+l.$

Rješenje je tog sustava sljedeće: $k=2$ i $l=1.$

Jednadžba pravca u eksplicitnom obliku glasi $y=2x+1.$

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Nacrtajte pravac zadan eksplicitnim oblikom jednadžbe: $y=-x+3$

Rješenje

---

Nacrtajte pravac zadan eksplicitnim oblikom jednadžbe: $y=\frac{1}{2}x-1$

Rješenje

---

Nacrtajte pravac zadan eksplicitnim oblikom jednadžbe: $y=-2x+1.$

Rješenje

---

Odredite jednadžbu pravaca ako su zadani koeficijent smjera $k$ i točka koja se nalazi na pravcu $T.$

a) $k=3,$ $T\left(1,1\right)$

b) $k=-2,$ $T\left(0,0\right)$

c) $k=-1,$ $T\left(-1,2\right)$

Rješenje

a) $y=3x-2$

b) $y=-2x$

c) $y=-x+1$

---

Odredite eksplicitni oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama $A$ i $B.$

a) $A\left(2,1\right),$ $B\left(1,2\right)$

b) $A\left(0,0\right),$ $B\left(2,1\right)$

c) $A\left(2,2\right),$ $B\left(1,2\right)$

Rješenje

a) $y=-x+3$

b) $y=\frac{1}{2}x$

c) $y=2$

---

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Primjer 3.

Odredimo kut koji pravac $y=2x+1$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x.$

Koeficijent smjera tog pravca jest $k=2.$

Istaknimo li točke $A$ i $B$ na pravcu i nadopunimo do pravokutnog trokuta $ABC.$

Duljina je katete $\left|AC\right|=1,$ što je promjena varijable $x,$ tj. $x_B-x_A,$ a duljina je katete $\left|BC\right|=2,$ što je promjena varijable $y,$ tj. $y_B-y_A.$ Za kut $\alpha$ možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta (tangens kuta jednak je omjeru nasuprotne katete i priležeće katete) pa vrijedi: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=k.$

$\mathrm{tg}\alpha =2\Rightarrow \alpha \approx 63°26\text{'}6"$

Za koeficijent smjera pravca vrijedi $k=\mathrm{tg}\alpha ,$ pri čemu je $\alpha$ kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa.

Je li na ilustraciji nacrtan graf funkcije?

Da

Ne

null

null

Može li se  jednadžba ovog pravaca napisati u obliku $y=kx+l?$

Da

Ne

null

null

Koliki kut zatvara ovaj pravac s pozitivnim dijelom osi $x?$

$0°$

$90°$

nema kuta

null

null

Koliki je tangens od $90°?$

$0$

$1$

nije definiran

null

null

Kako glasi jednadžba ovog pravca?

$y=1$

$y=\infty \mathrm{}$

$x=1$

$x+1=0$

null

null

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Primjer 4.

Pretvorimo implicitni oblik jednadžbe pravca $2x-y+1=0$ u eksplicitni oblik.

$-y=-2x-1$

$y=2x+1$

Primjer 5.

Prebacimo jednadžbu pravca $y=3x-2$ iz eksplicitnog oblika u implicitni.

$-3x+y+2=0$ 

Istražimo

Što mislite, kada je bolje upotrebljavati eksplicitni, a kada implicitni oblik jednadžbe pravca?

Segmentni oblik jednadžbe pravca

Primjer 6.

Odredimo presjek pravca $2x+y-2=0$ s koordinatnim osima.

Sve točke na osi $x$ imaju vrijednost $y=0$ pa uvrštavanjem u jednadžbu pravca dobivamo: $2x-2=0,$ tj. $x=1.$ Točka presjeka s $x$ osi iznosi $M(1,0).$

Želimo li odrediti presjek s $y$ osi, uvrštavamo $x=0$ i dobijemo: $y-2=0,$ tj. $y=2.$ Točka presjeka s $y$ osi jest $N(0,2).$

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na $x$ osi?

$1$

$2$

$-1$

$-2$

null

null

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na $y$ osi?

$1$

$2$

$-1$

$-2$

null

null

Koja jednadžba predstavlja jednadžbu pravca sa slike? (Uputa: možete odabrati neke točke koje se nalaze na pravcu i uvrstiti ih u jednadžbe pravaca.) 

$\frac{x}{-1}+\frac{y}{-2}=1$

$\frac{x}{1}-\frac{y}{2}=1$

$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$

$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1$

null

null

Primjer 7.

Napišimo pravac $y=2x+3$ u segmentnom obliku.

Da bismo odredili segmentni oblik jednadžbe pravca, s desne strane znaka jednakosti trebamo dobiti broj $1.$

Prebacimo nepoznanice na lijevu stranu i dobijemo: $-2x+y=3.$

Podijelimo s $3,$ $\frac{-2x}{3}+\frac{y}{3}=1.$

Segmente na koordinatnim osima dobit ćemo ako prvi razlomak napišemo kao dvojni: $\frac{x}{-\frac{3}{2}}+\frac{y}{3}=1,$ pa je $m=-\frac{3}{2}$ i $n=3.$

Istražimo

Nacrtajte pravce $y=5x,$ $y=2$ i $x=1$ te razmislite zašto nije moguće napisati segmentne oblike tih pravaca.

Primjer 8.

Odredimo površinu koju pravac $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1$ zatvara s koordinatnim osima.

Odsječci na koordinatnim osima iznose 1 i 2, stoga površina pravokutnog trokuta iznosi $P=\frac{1·2}{2}$

$P=1 \mathrm{kv.} \mathrm{jed.}$

Površina trokuta koji zatvaraju pravac i koordinatne osi iznosi $P=\frac{1}{2}\left|m·n\right|.$