Matematika 3 - 4.3 Definicije funkcija tangens i kotangens

Na početku...

Djevojčica Ana na biciklu — Ana na biciklu

Vozeći se biciklom, Ana je stigla do prometnog znaka koji označava opasan uspon. Na znaku je pisalo $10 % .$ Što označava taj znak? Ako bi se Ana vodoravno pomaknula $100$ metara, koliki bi bio pomak po visini? Pod kolikim će se kutom Ana uspinjati na svom putu?

Prometni znak za opasan uspon — Prometni znak opasnog uspona

Pogledajmo grafički prikaz Aninog puta.

Grafički prikaz Aninog puta - primjena tangensa — Primjena tangensa

$10 %$ nagiba znači da se visina poveća za $10$ metara ( $10 %$ od $100$ metara) pri vodoravnom pomaku od $100$ metara. Da bismo odredili kut pod kojm će se Ana uspinjati, možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta na trokut $A B C .$

Tangens kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru

null

Pomoću definicije tangensa za kut kod vrha $A$ dobivamo $tg α = \frac{10}{100},$ iz čega možemo odrediti kut $α = {tg}^{- 1} (\frac{10}{100}) \approx 5.710593 = 5 ° 42' 38 " .$

Definicija funkcije tangens

Pogledajmo definiciju tangensa.

Definicija tangensa pomoću šiljastokutih trokuta

Uočimo pravokutni trokut $O V_{1} T_{1}$ i na njega primijenimo definiciju tangensa šiljastog kuta. $tg α = \frac{|V_{1} T_{1}|}{|O V_{1}|} .$ Kako je $|O V_{1}| = 1$ dobivamo $tg α = \frac{|V_{1} T_{1}|}{1},$ tj. $tg α = |V_{1} T_{1}| .$

Istražimo

Koristeći se brojevnom kružnicom s istaknutom točkom $T = E (t),$ pogledajte kako se mijenjaju vrijednosti tangensa realnog broja.

Uočite što se zbiva za vrijednosti $\frac{π}{2},$ $\frac{3}{2} π ...$

Tangens

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $(1, 0) .$ Taj je pravac okomit na os $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ po volji realan broj i $T = E (t)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $O T$ siječe tangentu kružnice u točki $T_{1} = (1, tg t) .$ Tangens broja $t$ jest ordinata točke $T_{1} .$

Zanimljivost

Naziv tangens latinska je riječ koja znači dodirivati. Prvi je taj naziv uveo danski matematičar Thomas Fincke.

Funkcija tangens

Funkciju koja broju $t \in R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$ pridružuje broj $tg t \in R$ nazivamo funkcija tangens.

Definicija funkcije kotangens

Kotangens kuta u šiljastokutom trokutu jednak je omjeru

null

Pogledajmo definiciju kotangensa.

Uočimo pravokutni trokut $O V_{1} T_{1}$ i na njega primijenimo definiciju kotangensa šiljastog kuta. $ctg α = \frac{|V_{1} T_{1}|}{|O V_{1}|} .$ Kako je $|O V_{1}| = 1$ dobivamo $ctg α = \frac{|V_{1} T_{1}|}{1},$ tj. $ctg α = |V_{1} T_{1}| .$

Istražimo

Koristeći se brojevnom kružnicu s istaknutom točkom $T = E (t)$ pogledajte kako se mijenjaju vrijednosti kotangensa realnog broja.

Uočite što se zbiva za vrijednosti $0,$ $π ...$

Kotangens

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $(0, 1) .$ Taj je pravac paralelan s osi $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t \neq k π, k \in Z$ po volji realan broj i $T = E (t)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $O T$ siječe tangentu kružnice u točki $T_{1} = (ctg t, 1) .$ Kotangens broja $t$ jest apscisa točke $T_{1} .$

Funkcija kotangens

Funkciju koja broju $t \in R \ \{k π, k \in Z\}$ pridružuje broj $ctg t \in R$ nazivamo funkcija kotangens.

Istražimo

Koristeći se brojevnom kružnicom uočite vrijednosti tangensa i kotangensa za neke istaknute brojeve.

Idući zadatak prepišite na papir te koristeći se prethodnim brojevnim kružnicama popunite tablice.

Zadatak 1.

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$
$tg t$
$ctg t$

$t$	$π$	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5}{3} π$	$\frac{7}{4} π$	$\frac{11}{6} π$	$2 π$
$tg t$
$ctg t$

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$
$tg t$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$ctg t$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$- 1$	$- \sqrt{3}$	$-$

$t$	$π$	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5}{3} π$	$\frac{7}{4} π$	$\frac{11}{6} π$	$2 π$
$tg t$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$ctg t$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$- 1$	$- \sqrt{3}$	$-$

Istražimo

Koristeći se brojevnom kružnicom i tablicama iz prethodnog zadatka uočite kakvi su predznaci funkcija tangens i kotangens po kvadrantima.

Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti tangensa uvijek su

Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti kotangensa uvijek su

null

Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti tangensa uvijek su

Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti kotangensa uvijek su

null

Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti tangensa uvijek su

Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti kotangensa uvijek su

null

Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti tangensa uvijek su

Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti kotangensa uvijek su

null

Izradi vježbu

Pogledajte na brojevnoj kružnici vrijednosti tangensa za kutove $- \frac{2 π}{3},$ $\frac{π}{3},$ $\frac{4}{3} π,$ $\frac{7}{3} π$ i $\frac{10}{3} π ...$

Pogledajte na brojevnoj kružnici vrijednosti kotangensa za kutove $- \frac{2 π}{3},$ $\frac{π}{3},$ $\frac{4}{3} π,$ $\frac{7}{3} π$ i $\frac{10}{3} π ...$

Tangens pi/3 i 4pi/3

Tangens 2pi/3 i 5pi/3

Vrijednosti tangensa i kotangensa ponavljaju se s periodom $π .$ Više o periodičnosti možete pronaći u jedinici 4.5. Svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

Primjer 1.

Pomoću trigonometrijske kružnice nacrtajte $tg \frac{3}{4} π$ i $ctg \frac{3}{4} π .$

$t = \frac{3}{4} π = 135 °$

Tangens i kotangens 3pi/4

Zadatak 2.

Pomoću trigonometrijske kružnice nacrtajte $tg \frac{11}{6} π$ i $ctg \frac{11}{6} π .$

$t = \frac{11}{6} π = 330 °$

Veza trigonometrijskih funkcija

Koje tvrdnje vrijede za svaki realan broj $t ?$

\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1

\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} t}

\cos t = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} t}

null

Uočite slične trokute $△ O V T$ i $△ O V_{1} T_{1} .$ Pogledajmo omjer $|T V| : |O V| = |T_{1} V_{1}| : |O V_{1}| .$ S obzirom na to da je $|T V| = \sin α,$ $|O V| = \cos α,$ $|V_{1} T_{1}| = tg α$ i $|O V_{1}| = 1,$ dobijemo da je $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} .$

Uočite slične trokute $△ O V T$ i $△ O V_{1} T_{1} .$ Pogledajmo omjer $|T V| : |O V| = |T_{1} V_{1}| : |O V_{1}| .$ S obzirom na to da je $|T V| = \cos α,$ $|O V| = \sin α,$ $|V_{1} T_{1}| = ctg α$ i $|O V_{1}| = 1,$ dobijemo da je $ctg α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

$tg α \cdot ctg α = \frac{\sin α}{\cos α} \cdot \frac{\cos α}{\sin α} = 1$

Za svaki realan broj $t$ za koji su definirane funkcije tangens i kotangens vrijedi: $tg t = \frac{\sin t}{\cos t},$ $ctg t = \frac{\cos t}{\sin t},$ $tg t \cdot ctg t = 1 .$

Primjer 2.

Ako je $\sin t = \frac{4}{5},$ $t$ iz 2. kvadranta, odredite $tg t .$

$\begin{array}{l} tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin t}{\pm \sqrt{1 - \sin^{2} t}} = \frac{\frac{4}{5}}{\pm \sqrt{1 - {(\frac{4}{5})}^{2}}} = \frac{\frac{4}{5}}{\pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}}} = \frac{\frac{4}{5}}{\pm \sqrt{\frac{9}{25}}} = \frac{\frac{4}{5}}{\pm \frac{3}{5}} = \pm \frac{4}{3} \end{array}$

Da bismo odredili predznak, sjetimo se kakvi su predznaci tangensa u 2. kvadrantu. Budući da je tangens negativan u 2. kvadrantu, rješenje je $- \frac{4}{3} .$

Zadatak 3.

Ako je $\cos t = - \frac{7}{25},$ $t$ iz 3. kvadranta, koliki je $ctg t ?$

$ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{- \frac{7}{25}}{\pm \sqrt{1 - {(- \frac{7}{25})}^{2}}} = \pm \frac{7}{24}$

U 3. kvadrantu kotangens je pozitivan.

$ctg t = \frac{7}{24} .$

...i na kraju

Koje je grafičko rješenje postavljenog zadatka?

$tg t = \frac{3}{4}, \sin t > 0$

$tg t = \frac{1}{2}, \cos t < 0$

$ctg t = - \frac{1}{2}, \sin t > 0$

$ctg t = \frac{3}{4}, \cos t > 0$

4.3 Definicije funkcija tangens i kotangens

Na početku...

Definicija funkcije tangens

Istražimo

Tangens

Zanimljivost

Funkcija tangens

Definicija funkcije kotangens

Istražimo

Kotangens

Funkcija kotangens

Istražimo

Zadatak 1.

Istražimo

Izradi vježbu

Primjer 1.

Zadatak 2.

Veza trigonometrijskih funkcija

Primjer 2.

Zadatak 3.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

$+$

$-$

$+$

$-$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: