Prisjetimo se!

Svakom vektoru pripada pravac na kojem vektor leži ili je s njim paralelan.

Za vektore koji leže na istom pravcu ili na nekom paralelnom pravcu kažemo da im je jednak

.

Takav pravac nazivamo pravcem nositeljem.

null

Vektori s istim pravcem nositeljem jesu kolinearni.

Da

Ne

null

Ortogonalna projekcija točaka $A$ i $B$ na pravac $p$ jest presjek pravca $p$ i pravca kroz točku $A$ (odnosno kroz točku $B$ ) koji je okomit na pravac $p .$

Pogledajte sliku i odgovorite na sljedeća pitanja.

Ortogonalna projekcija dužine $\bar{A B}$ na os $x$ jest

.
Neka je točkama

A_{1}

i

B_{1}

zadan vektor

.

\vec{A_{1} B_{1}}

\bar{A_{1} B_{1}}

null

Vektori $\vec{A B}$ i $\vec{A_{1} B_{1}}$ imaju isti smjer.

Da

Ne

null

Vektori $\vec{A B}$ i $\vec{A_{1} B_{1}}$ imaju istu duljinu.

Da

Ne

null

Vektori $\vec{A C}$ i $\vec{A_{1} B_{1}}$ jednaki su.

Da

Ne

null

Trokut $A C B$ je pravokutan pa iz trigonometrijskog omjera zaključujemo da vrijedi:

|\vec{A B}| = |\vec{A_{1} B_{1}}| \cos φ

|\vec{A_{1} B_{1}}| = |\vec{A B}| \cos φ

|\vec{A_{1} B_{1}}| = \frac{\cos φ}{|\vec{A B}|}

|\vec{A_{1} B_{1}}| = \frac{|\vec{A B}|}{\cos φ}

null

Skalarni umnožak vektora

Kutak za znatiželjne

Ortogonalna ili skalarna projekcija (oznaka: ${\vec{a}}_{\vec{b}}$ ) vektora $\vec{a}$ na vektor $\vec{b}$ ili na njegov pripadajući pravac nositelj jest vektor duljine

$|{\vec{a}}_{\vec{b}}| = |\vec{a}| \cos φ,$

pri čemu je $φ$ kut između vektora $\vec{a}$ i $\vec{b} .$

Nacrtajmo dva nekolinerana vektora: $\vec{a} = \vec{O A}$ i $\vec{b} = \vec{O B} .$ Translatirajmo ih tako da imaju zajedničku početnu točku. Ortogonalno projicirajmo vektor $\vec{a}$ na pravac nositelj vektora $\vec{b}$ i obrnuto.

Ortogonalna projekcija vektora na pravac nositelj drugog vektora. — Ortogonalna projekcija vektora

Ako $|O A_{1}|$ pomnožimo s $|O B|$ i $|O B_{1}|$ pomnožimo s $|O A|,$ dobit ćemo isti izraz: $|O A| |O B| \cos φ .$ Taj umnožak zove se skalarni umnožak vektora $\vec{a}$ i $\vec{b} .$

Skalarni umnožak

Skalarni umnožak dvaju vektora jednak je umnošku njihovih modula i kosinusa kuta između njih.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos φ$

Pomoću sljedeće interakcije istražite kako iznos skalarnog umnoška ovisi o promjeni duljine, smjera i orijentacije vektora te o kutu između vektora.

Možete pomicati završne točke oba vektora, $A$ i $B$ . Pomicanjem točke B mijenja se kut, dok se pomicanjem točke $A$ mijenja duljina vektora $\vec{a} .$ Interakcija u svakom trenutku računa njihov skalarni umnožak.

Odgovorite na sljedeća pitanja (uz pomoć interakcije).

Kako vrijednost skalarnog umnoška $\vec{a} \cdot \vec{b},$ $\vec{a} \neq \vec{0}$ i $\vec{b} \neq \vec{0}$ ovisi o kutu između vektora, $φ ?$

$φ$ je šiljasti kut	$\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| > 0$
$φ$ je pravi kut	$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$φ$ je tupi kut	$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$φ = 0$	$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

null

Što je modul vektora veći, skalarni je umnožak

.

null

Za skalarni umnožak istih vektora vrijedi: $\vec{a} \cdot \vec{a} = {|\vec{a}|}^{2} .$

Da

Ne

null

Za umnožak vektora sa samim sobom $(\vec{a} \neq \vec{0})$ vrijedi: $\vec{a} \cdot \vec{a}$

.

null

Zaključimo!

Kvadrat vektora jednak je kvadratu njegova modula (pozitivnost).

Dva vektora od kojih nijedan nije nulvektor jesu okomita ako i samo ako im je skalarani umnožak jednak nuli (okomitost).

Ako je barem jedan od vektora nulvektor, tada se pojam kuta između vektora ne definira, a skalarni je umnožak po definiciji jednak nuli.

Skalarni je umnožak komutativan (komutativnost).

Za skalarni umnožak vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Zadatak 1.

Prethodne tvrdnje zapišite matematičkim simbolima.

${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} \geq 0$
Za vektore $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ vrijedi: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
Ako je $\vec{a} = \vec{0}$ i/ili $\vec{b} = \vec{0},$ kut između vektora ne postoji i definiramo: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Istražimo

Uvjerite se pomoću prethodne interakcije da za vektore $\vec{a}$ i $\vec{b}$ i skalar $k \in R$ vrijedi svojstvo homogenosti:

$(k \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = k \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}),$ odnosno $\vec{a} \cdot (k \cdot \vec{b}) = k \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) .$

Istražite kakav je kut između vektora $\vec{a}$ i $k \vec{b}$ s obzirom na predznak skalara $k$ i u kakvoj je vezi s kutom između vektora $\vec{a}$ i $\vec{b} .$

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Prikažimo vektore pomoću koordinata u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

$\vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j},$ $\vec{b} = b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j}$

Izračunajmo njihov skalarani umnožak.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j}) \cdot (b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j})$ računamo primjenjujući najprije svojstvo

tako

da pomnožimo svaki član iz prve zagrade sa svakim članom iz druge zagrade:

\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j}) \cdot (b_{x} \vec{i} + b_{y} \vec{j}) = a_{x} \vec{i} \cdot b_{x} \vec{i} + a_{x} \vec{i} \cdot b_{y} \vec{j} + a_{y} \vec{j} \cdot b_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} \cdot b_{y} \vec{j} \end{array}

null

Koja svojstva trebamo primijeniti da bismo izraz sredili do kraja?

asocijativnost

komutativnost

okomitost vektora

distributivnost

svojstvo jediničnog vektora

svojstvo nulvektora

homogenost

null

$\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} {|\vec{i}|}^{2} + a_{x} b_{y} \vec{i} \cdot \vec{j} + b_{x} a_{y} \vec{j} \cdot \vec{i} + a_{y} b_{y} {|\vec{j}|}^{2} \end{array}$

Primijenimo sljedeće identitete kako bismo ovaj izraz sredili do kraja.

Pridružite izrazu pripadajuću vrijednost.

${\|\vec{i}\|}^{2} = {\|\vec{j}\|}^{2}$	$= 1$
$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i}$	$= 0$

null

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Skalarni umnožak dvaju vektora zadanih pomoću koordinata dobije se tako da se njihove istoimene koordinate pomnože i dobiveni umnošci zbroje.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$

Zadatak 2.

Zadani su vektori: $\vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j},$ $\vec{b} = 4 \vec{i} + 3 \vec{j} .$ Izračunajte:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$
$|\vec{a}|$
$|\vec{b}| .$
Nacrtajte vektore u koordinatnom sustavu sa zajedničkom početnom točkom te označite grafičku interpretaciju modula.

$- 2$
$\sqrt{5}$
$5$

Istražimo

Možete li iz crteža procijeniti koji kut zatvaraju vektori iz prethodnog zadatka?

Pokušajte pomoću interakcije sa skalarnim umnoškom vektora doći do točnog odgovora.

Primjer 1.

Izračunajmo kut prethodnog zadatka analitički. Za to je potrebno povezati obje formule koje smo naučili za skalarni umnožak.

Pomoću sljedeće animacije, izvedimo formulu za kut između dvaju vektora.

S obzirom na to da već imamo sva rješenja, dovoljno je koristiti se ovom formulom:

$\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{- 2}{5 \sqrt{5}} = - \frac{2 \sqrt{5}}{25} .$

Zbog negativnog kosinusa znamo da je kut veći od $90 ° .$

$φ = 100 ° 18' 17''$

Primjena skalarnog umnoška u planimetriji

Primjer 2.

U trokutu $△ A B C,$ $A (1, 3),$ $B (5, 1)$ i $C (5, 7)$ pomoću skalarnog umnoška vektora odredimo kutove trokuta.

Zadani trokut u koordinatnom sustavu

Pomoću koordinata točaka odredimo vektore između kojih je kut $α :$

$\vec{A B} = 4 \vec{i} - 2 \vec{j},$ $\vec{A C} = 4 \vec{i} + 4 \vec{j} .$

Izračunajmo njihove module:

$|\vec{A B}| = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5},$ $|\vec{A C}| = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} .$

Uz pomoć skalarnog umnoška odredimo $\cos α :$

$\begin{array}{l} \cos α = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{|\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}|} = \frac{4 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{2 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{8}{8 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \end{array}$

pa je kut $α = 71 ° 33' 54'' .$

Za kut $γ$ potrebni su nam vektori $\vec{C A}$ i $\vec{C B} .$ $\vec{C A}$ je suprotan vektoru $\vec{A C}$ pa je

$\vec{C A} = - 4 \vec{i} - 4 \vec{j},$ $\vec{C B} = - 6 \vec{j} .$

Njihovi su moduli: $|\vec{C A}| = |\vec{A C}| = 4 \sqrt{2},$ $|\vec{C B}| = \sqrt{36} = 6 .$

$\begin{array}{l} \cos γ = \frac{\vec{C A} \cdot \vec{C B}}{|\vec{C A}| \cdot |\vec{C B}|} = \frac{- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 6}{4 \sqrt{2} \cdot 6} = \frac{24}{24 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$γ = 45 °$

Treći kut dobijemo iz formule: $β = 180 ° - α - γ = 63 ° 26' 6'' .$

Zadatak 3.

Zadana su tri vrha paralelograma: $A (- 3, 2),$ $B (2, - 2),$ $C (5, 0) .$

Odredite četvrti vrh paralelograma pomoću jednakosti dvaju vektora.
Odredite vektore dijagonala, $\vec{A C}$ i $\vec{B D} .$
Ako je $S$ sjecište dijagonala, odredite vektore $\vec{S A}$ i $\vec{S D} .$
Izračunajte kut između dijagonala.

$D (0, 4)$
$\vec{A C} = 8 \vec{i} - 2 \vec{j}, \vec{B D} = - 2 \vec{i} + 6 \vec{j}$
$\vec{S A} = - \frac{1}{2} \vec{A C} = - 4 \vec{i} + \vec{j},$ $\vec{S D} = \frac{1}{2} \vec{B D} = - \vec{i} + 3 \vec{j}$
$|\vec{S A}| = \sqrt{17},$ $|\vec{S D}| = \sqrt{10},$ $\begin{array}{l} \cos φ = \frac{\vec{S A} \cdot \vec{S D}}{|\vec{S A}| \cdot |\vec{S D}|} = \frac{4 \cdot 1 + 1 \cdot 3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{170}} = \frac{7 \sqrt{170}}{170} \end{array}$

Kut između dijagonala zadanog paralelograma iznosi: $φ = 57 ° 31' 44'' .$

Primjer 3.

Dokažimo poučak o srednjici trokuta.

Trokut ABC sa srednjicom DE

Srednjica trokuta koja spaja polovišta dviju stranica trokuta paralelna je s trećom stranicom i po duljini jednaka njezinoj polovini.

Grafičko rješenje primjera 3. — Grafički prikaz rješenja

$D$ i $E$ su polovišta stranica pa po definiciji srednjice vrijedi: $\vec{D C} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ i $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C B} .$ Prema pravilu trokuta vrijedi: $\begin{array}{l} \vec{D E} = \vec{D C} + \vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{C B} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C B}) = \frac{1}{2} \vec{A B} \end{array} .$

Iz svojstva modula vektora slijedi: $|\vec{D E}| = |\frac{1}{2} \vec{A B}| = \frac{1}{2} |\vec{A B}| .$

Dokazali smo poučak o srednjici, vrijedi: $2 |D E| = |A B| .$

Zadatak 4.

Dokažite Pitagorin teorem za pravokutni trokut i poopćenje teorema za proizvoljni raznostranični trokut.

Ako je $c$ hiptenuza te $a$ i $b$ katete pravokutnog trokuta $△ A B C,$ tada vrijedi: $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
Ako je kut $γ$ pri vrhu $C$ nasuprot stranici $c$ trokuta $△ A B C,$ tada za stranice trokuta $a, b$ i $c$ vrijedi: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ .$ Provjerite vrijedi li formula za pravokutni trokut (kada je kut $γ$ pravi kut).

Do rješenja ćemo doći postupno. Najprije ponovimo i primijenimo nekoliko činjenica koje znamo o vektorima.

Kolekcija zadataka #1

U pravokutnom trokutu

△ A B C

pravi kut označavamo pri vrhu

Pripazite na veliko slovo.

pa

su stranice

a

i

b

u odnosu na kut između njih

. U kojem su odnosu stranice s obzirom na pravi kut između?

.

Pripadajući vektori

\vec{a} = \vec{C B}

i

\vec{b} = \vec{C A}

također su

U kojem su položaju (kao i pripadajuće stranice)?

.

Za okomite vektore vrijedi da je njihov skalarni umnožak jednak

Traži se rezultat riječima ili brojkom. (Pravilo umnoška okomitih vektora.)

.

null

Koja je jednakost točna s obzirom na zadane vektore sa slike?

\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}

\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}

\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}

\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}

null

Kvadriranjem prethodne jednakosti i primjenom pravila za kvadrat vektora dobije se jedna od sljedećih jednakosti. Koja?

{|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2}

{|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2}

{|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}

{|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b}

null

Iz činjenice da za sve vektore i pripadajuće dužine vrijedi $|\vec{A B}| = |A B|$ te primjenom definicije skalaranog umnoška, slijedi rješenje zadatka.

Iz jednakosti ${|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ i činjenice da je skalarni umnožak okomitih vektora jednak nuli slijedi Pitagorin teorem: ${|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} \Rightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
$\begin{array}{l} {|\vec{c}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos γ \end{array},$ što možemo zapisati i ovako: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ .$

Ovu formulu nazivamo kosinusov poučak za kut $γ$ za raznostranični trokut sa stranicama $a,$ $b$ i $c,$ pri čemu je $γ$ kut nasuprot stranice $c .$

Zadatak 5.

Izvedite analogno formulu za kosinusov poučak za kutove $a$ i $β .$

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$

Kutovi i njihova razlika prikazani na brojevnoj kružnici. — Kutovi prikazani na brojevnoj kružnici

Kutak za znatiželjne

Izvedite adicijski teorem za kosinus:

$\cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β .$

Uvedite vektore i oznake kao na slici.

$\vec{O A} = \cos α \vec{i} + \sin α \vec{j}$

Analogno odredite vektor $\vec{O B}$ te ih pomnožite skalarno po definiciji i pomoću koordinata. Izjednačite dobivene rezultate.

Zadatak 6.

Kako glasi adicijski teorem za kosinus zbroja dva kuta?

1. način: promatramo zbroj kutova na brojevnoj kružnici i provedemo analogni postupak.

2. način: zamijenimo $β$ sa $- β$ te primijenimo parnost i neparnost kosinusa i sinusa.

$\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β$

...i na kraju

Možete li sada odgovoriti na pitanje iz uvoda: kada će električni tok biti jednak nuli?

Kako se radi o skalarnom umnošku znamo da je on jednak nuli ako je kut između vektora pravi. Dakle, kroz plohu ne prolazi nijedna silnica ako je vektor jakosti električnog polja okomit na vektor površine.

Kada će biti električni tok najveći?

Kada je kut između vektora jakosti električnog polja i vektora površine jednak nuli.

Procijenite svoje znanje

Rezultat skalarnog umnoška dvaju vektora jest realni broj.

Da

Ne

null

Ako su vektori različiti od nulvektora, njihov je skalarni umnožak uvijek različit od nule.

Da

Ne

null

Odredite nepoznanicu

m

tako da vektori

\vec{a} = m \vec{i} + 4 \vec{j}

i

\vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}

budu okomiti.

m =

Izračunajte skalarni umnožak vektora i primijenite pravilo za okomitost dvaju vektora. (Skalarni umnožak vektora jednak je nuli.)

.

null

Koliko iznosi $\cos φ$ ako je $φ$ kut između vektora $\vec{m} = \frac{3}{2} \vec{i} + 2 \vec{j}$ i $\vec{n} = 6 \vec{i} - 3 \vec{j} ?$

\frac{6 \sqrt{5}}{5}

2 \sqrt{5}

\frac{2 \sqrt{5}}{25}

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

\frac{6 \sqrt{5}}{5}

null

Dopunite rečenice.

Koordinate vektora $\vec{a} = \vec{O A}$ jesu

i

vektora

\vec{b} = \vec{O B}

.

{|\vec{a}|}^{2} =

i

{|\vec{b}|}^{2} =

.

\vec{a} \cdot \vec{b} =

.

Sada ćete lako odgovoriti na pitanje u sljedećem zadatku.

null

Kut između vektora

\vec{a}

i

\vec{b}

( uputa: kut upišite u obliku

x ° y' z'',

bez razmaka) iznosi:

φ =

Provjerite jeste li točno označili stupnjeve, minute i sekunde!

.

null

7.4 Skalarni umnožak vektora

Na početku...

Prisjetimo se!

Skalarni umnožak vektora

Kutak za znatiželjne

Skalarni umnožak

Zadatak 1.

Istražimo

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Zadatak 2.

Istražimo

Primjer 1.

Primjena skalarnog umnoška u planimetriji

Primjer 2.

Zadatak 3.

Primjer 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 6.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: