Matematika 3 - 9.3 Posebni položaji kružnice u koordinatnom sustavu

Na početku...

Bacite kamen u vodu. Što zamjećujete? Što se na vodi pojavilo oko mjesta gdje je kamen bačen?

Promatrajte jezero ili rijeku dok pada kiša. Što se stvara na vodi?

Valovi se šire oko središta poremećaja u obliku kružnica sa zajedničkim središtem.

Što je zajedničko pravokutnom trokutu i jednadžbi kružnice?

Pokušajmo s pomoću nekoliko pitanja pronaći odgovor.

Pomatrajte kružnicu polumjera 5 sa središtem u točki $(0, 0) .$ Na kružnici obilježimo točku A.

Kružnica sa središtem u ishodištu polumjera 5. — Kružnica

Jednadžba središnje kružnice

Točku A povežimo s ortogonalnom projekcijom točke A na os apscisa i os ordinata. Koji smo lik nacrtali?

pravokutnik

trokut

kvadrat

null

Polumjer kružnice također je

pravokutnog

trokuta. Udaljenosti ortogonalnih projekcija točke A na os apscisa i ordinata od ishodišta su

istog

tokuta.

null

Ako na polumjer kružnice r i udaljenosti ortogonalnih projekcija točke A na koordinatne osi od ishodišta x i y primijenimo Pitagorin poučak, dobit ćemo sljedeću jednakost.

r^{2} + x^{2} = y^{2}

x^{2} + y^{2} = r^{2}

r^{2} + y^{2} = x^{2}

null

Kružnica sa središtem u ishodištu

Središnja jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu jest $x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

Ponovimo!

Središnja jednadžba kružnice određena je svojim središtem $S (p, q)$ i polumjerom $r .$

${(x - p)}^{2} + {(x - q)}^{2} = r^{2}$

Uvježbajmo prepoznavanje središnje kružnice i njezinih elemenata s prikaza u koordinatnom sustavu.

Kolekcija zadataka #1

Kružnica je zadana središnjom jednadžbom ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4 .$ Središte kružnice je:

(3, 2)

(3, - 2)

(- 3, - 2) .

null

Kružnica je zadana jednadžbom ${(x + 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 8 .$ Polumjer kružnice jednak je:

8

4

2 \sqrt{2} .

null

Jednadžba kružnice sa slike je:

{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3

{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9 .

null

Jednadžba kružnice koja dodiruje koordinatne osi

Primjer 1.

Na slici su prikazane dvije kružnice koje dodiruju os apscisa. Jedna dodiruje kružnicu ispod osi apscisa, a druga iznad osi apscisa. Što možemo zaključiti? Postoji li neka veza između koordinata središta kružnice i njezina polumjera?

Dvije kružnice koje dodiruju os apscisa

Ako kružnica dodiruje os apscisa u točki D, tada je dodirna točka D od središta kružnice udaljena jednako koliko je os apscisa udaljena od

. To znači da je

jednak udaljenosti središta od osi

središta

apscisa

polumjer

null

Jednadžba kružnice koja dodiruje os apscisa

${(x - p)}^{2} + {(y \pm r)}^{2} = r^{2} .$

Zadatak 1.

Razmislite!

Kada je ordinata središta pozitivna, a kada negativna u kružnici koja dodiruje os apscisa?

Zadana je jednadžba kružnice ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 .$

U kojem se kvadrantu nalazi kružnica? Dodiruje li os apscisa odozdo ili odozgo?

Kružnica je u četvrtom kvadrantu i dodiruje os apscisa odozdo.

Primjer 2.

Pogledajmo kružnice na slici. Napišimo jednadžbe za obje kružnice.

$(x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ i ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$

Što je zajedničko objema kružnicama?

Obje kružnice dodiruju os ordinata. Udaljenost od središta kružnice do osi ordinata jednaka je polumjeru kružnice.

Dvije kružnice koje dodiruju os ordinata.

Jednadžba kružnice koja dodiruje os ordinata

${(x \pm r)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2} .$

Dvije kružnice koje dodiruju obje koordinatne osi.

Zadatak 2.

Na slici su prikazane dvije kružnice.

Što je zajedničko kružnicama?

Napišite njihove jednadžbe?

U kojim su točkama središta kružnica?

Što je zajedničko središtima?

Obje kružnice dodiruju i os apscisa i os ordinata. To znači da je udaljenost središta od dodirnih točaka s osima jednaka polumjeru.

Kružnice su zadane jednadžbama:

${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ i ${(x + 3)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 9 .$

Središta su u točkama $(2, - 2)$ i $(- 3, 3) .$

Oba su središta na pravcu $y = - x .$

Zadatak 3.

Napišite primjer jednadžbe kružnice čije je središte na pravcu $y = x .$

Središte kružnice ${(x + 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ je na pravcu $y = x .$

Jednadžba kružnice koja dodiruje obje koordinatne osi

${(x \pm r)}^{2} + {(y \pm r)}^{2} = r^{2} .$

Koncentrične kružnice

Pogledajte ponovno kružnice na vodi s fotografije s početka. Što je zajedničko svim kružnicama?

Sve imaju isto središte, ali različiti polumjer. To su KONCENTRIČNE KRUŽNICE.

Kako nacrtati koncentrične kružnice? Pogledajte i pokušajte sami.

Primjer 3.

Zadana je jednadžba kružnice ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4 .$ Odredimo jednadžbu koncentrične kružnice kojoj je polumjer tri puta veći od polumjera zadane kružnice.

Kružnica čiju jednadžbu trebamo odrediti također ima središte $(3, 4) .$ Polumjer zadane kružnice je 2.

Ako je polumjer tražene kružnice tri puta veći, tada on iznosi $6 .$

Jednadžba koncentrične kružnice je: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 36 .$

Zadatak 4.

Zadane su kružnice sa središtem u točki $(5, y)$ koja se nalazi na osi apscisa. Razlika između polumjera veće i manje kružnice jednaka je $4 .$ Manjoj je kružnici udaljenost bilo koje točke od središta kružnice jednaka $5 .$

Napišite jednadžbe obiju kružnica.

Središte kružnica je $(5, 0) .$

Polumjer manje kružnice je 5, pa računamo da je polumjer veće $9 .$

Jednadžbe koncentričnih kružnica su:

${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 25$ i ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 81 .$

...i na kraju

Otkrivanje astigmatizma pomoću koncentričnih kružnica

Na slici je prikazano nekoliko koncentričnih kružnica. Slične slike koriste se za otkrivanje astigmatizma.

Astigmatizam je stanje koje uzrokuje zakrivljenost leće oka ili rožnice. Ljudi koji nemaju astigmatizam vide sve linije jednake debljine s potpuno istim razmakom između njih. Ako pak imate astigmatizam, uočit ćete nešto nalik na dva trokuta koji imaju vrh u sredini crteža. Kako okećete glavu, tako se i ti trokuti okreću jer se astigmatizam prepoznaje pod određenim kutom.