Matematika 3 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Bazna stanica mobilnog signala ima domet $10$ kilometara. Putujemo iz točke koja je $5$ kilometra sjevernije i $10$ kilometra zapadnije od bazne stanice do točke koja je $5$ kilometra sjevernije i $12$ kilometra istočnije od bazne stanice. Koliko ćemo kilometara voziti u dometu te bazne stanice? Ako vozimo brzinom od $60$ kilometara na sat, koliko ćemo vremena biti u dometu te bazne stanice?

Pogledajmo grafički prikaz kretanja automobila i dometa predajnika (odašiljača).

Domet odašiljača – grafički prikaz — Domet odašiljača - grafički prikaz

Automobil će biti u dometu odašiljača od točke $C$ do točke $D .$ Da bismo odredili koordinate tih točaka, potrebno je izračunati presjek pravca i kružnice. Odredimo ga.

Jednadžba pravca glasi $y = 5$ (pravac usporedan s osi $x$ ).

Jednadžba kružnice glasi $x^{2} + y^{2} = 100$ (središnja kružnica polumjera $10$ ).

Presjek pravca i kružnice dobijemo rješavajući sustav linearne i kvadratne jednažbe. Uvrstimo li u kvadratnu jednadžbu $y = 5,$ dobijemo $x^{2} + 5^{2} = 100,$ iz čega dobijemo dva rješenja za $x .$
$x_{1,2} = \pm 5 \sqrt{3} .$ Zato je udaljenost od točke $C$ do točke $D$ jednaka $d = 10 \sqrt{3} km .$

S obzirom na to da je $t = \frac{s}{v},$ dobijemo $t = \frac{10 \sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$ Vrijeme približno iznosi $0.28868 h,$ što je $17 \min$ i $19 s .$

Presjek pravca i kružnice

Istražimo

Mijenjajte kružnicu i pravac te pratite u kakvom su odnosu pravac i kružnica. Što se događa s udaljenosti središta kružnice do pravca i polumjerom kružnice?

Pravac i kružnica mogu imati jednu, dvije ili nijednu zajedničku točku.

Sekanta kružnice

Pravac koji siječe kružnicu u dvjema točkama naziva se sekanta. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca manja od polumjera kružnice.

Presjek pravca i kružnice – 2 točke — Presjek pravca i kružnice - 2 točke

Tangenta kružnice

Pravac koji dodiruje kružnicu u samo jednoj točki naziva se tangenta kružnice. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca jednaka polumjeru kružnice.

Presjek pravca i kružnice – 1 točka — Presjek pravca i kružnice - 1 točka

Pravac i kružnica se ne sijeku ako je udaljenost središta kružnice od pravca veća od polumjera kružnice.

Presjek pravca i kružnice – 0 točaka — Presjek pravca i kružnice - 0 točaka

Posebno nam je zanimljiva situacija kada je pravac tangenta na kružnicu, tj. pravac i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku.

Prikažemo li pravac u obliku $y = k x + l$ i kružnicu ${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2},$ tada je udaljenost pravca od središta kružnice jednaka $d = \frac{|q - k p - l|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

Pravac $y = k x + l$ bit će tangenta na kružnicu ${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2}$ ako vrijedi $\frac{|q - k p - l|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = r,$ što možemo zapisati kao ${(q - k p - l)}^{2} = r^{2} (1 + k^{2}) .$

Primjer 1.

Odredimo odsječak na osi $y$ ( $l$ ) tako da pravac $y = \frac{1}{2} x + l$ bude tangenta na kružnicu ${(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 5 .$

Tangente na kružnicu

Iz uvjeta da je $d = r$ slijedi $\frac{|- 3 - \frac{1}{2} \cdot (- 3) - l|}{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}}} = \sqrt{5} .$
Rješavanjem te jednadžbe dolazimo do kvadratne jednadžbe $l^{2} + 3 l - 4 = 0$ čija rješenja su $l_{1} = 1$ i

$l_{2} = - 4 .$

Dobili smo dva pravca s istim koeficijentom smjera koji su tangente kružnice.

Normala na kružnicu

Pravac koji prolazi diralištem tangente i okomit je na nju.

Primjer 2.

Odredimo jednadžbu tangente na kružnicu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ u njezinoj točki $T (5, - 2) .$

Određivanje tangente pomoću normale

Da bismo odredili tangentu, može nam pomoći normala.

Središte kružnice je točka $S (1, 1),$ normala prolazi kroz točku $T (5, - 2)$ pa je koeficijent smjera normale $k_{n} = \frac{- 2 - 1}{5 - 1} = - \frac{3}{4} .$ Tangenta je okomita na normalu, $k_{t} \cdot k_{n} = - 1,$ zato je $k_{t} = \frac{4}{3} .$ Tangenta prolazi kroz $T (5, - 2)$ pa ćemo jednadžbu dobiti iz $y + 2 = \frac{4}{3} (x - 5) .$

Jednadžba tangente je $y = \frac{4}{3} x - \frac{26}{3} .$

Provedemo li taj postupak općenito, dobit ćemo jednadžbu tangente na kružnicu

{(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2}

u njezinoj točki

T_{0} (x_{0}, y_{0})

Jednadžba tangente kružnice u njezinoj točki

Jednadžba tangente na kružnicu ${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2}$ u njezinoj točki $T_{0} (x_{0}, y_{0})$ glasi $(x_{0} - p) (x - p) + (y_{0} - q) (y - q) = r^{2} .$

Zadatak 1.

Odredite jednadžbu tangente na kružnicu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ u njezinoj točki $T (5, 4) .$

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{32}{3}$

A što je s krugom? Kako ćemo krug prikazati u kordinatnom sustavu?

Primjer 3.

Prikažimo u kordinatnom sustavu skup točaka prikazan nejednadžbom $x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 8 \leq 0 .$

Jednadžba $x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 8 = 0$ predstavlja kružnicu sa središtem u točki $S (- 4, - 1)$ i polumjerom $r = 3 .$ S obzirom na to da tražimo točke kordinatnog sustava kojima je vrijednost lijeve strane manja od $0$ ili jednaka $0,$ rješenje će biti sve točke kruga (uključujući i kružnicu).

Unutrašnjost kruga

Geometrijske konstrukcije

Geometrijske konstrukcije su dio geometrije u ravnini koji geometrijske probleme rješavaju konstruktivnom metodom. Osnovni elementi u konstrukcijama su točke, pravci i ravnine. Ako se za konstrukcije koristi samo jednobridno ravnalo (samo jedna strana ravnala) i šestar, govorimo o euklidskim konstrukcijama.

Koraci geometrijskih konstrukcija

U izvođenju geometrijskih konstrukcija prolazimo sljedeće korake:

1. analiza problema

2. konstrukcija

3. dokaz

4. rasprava.

Primjer 4.

Za nacrtanu kružnicu, koristeći se nekim od digitalnih alata, ili šestarom i ravnaloom, odredite središte kružnice.

Analiza:

Da bismo odredili nepoznato središte, potrebno je konstruirati simetrale dviju tetiva.

Konstrukcija:

1. Upotrebom ravnala povucite bilo koje dvije tetive.

2. Za svaku tetivu konstruirajte simetrale dužina.

3. Sjecište simetrala je središte kružnice.

Dokaz:

Simetrale tetiva prolaze središtem kružnice jer su trokuti $△ A B S$ i $△ C D S$ jednakokračni $|S A| = |S B| = |S C| = |S D| = r .$

Rasprava:

Rješenje je jedinstveno, svaka kružnica ima jedinstveno središte.

Konstrukcija središta 1

Konstrukcija središta 2

Konstrukcija središta 3

Zadatak 2.

Neka je zadana kružnica sa središtem u točki $S .$ Konstruirajte tangentu na kružnicu u točki $A$ te kružnice.

Uputa: Tangenta je okomita na dužinu koja spaja središte i točku na kružnici.

Konstrukcija tangente u točki na kružnici

Zadatak 3.

Konstruirajte tangente na kružnicu sa središtem u točki $S,$ iz točke $P$ koja leži izvan kružnice.

Spojimo li središte kružnice i točku koja se nalazi izvan kružnice, dobit ćemo dužinu $\bar{S P} .$ Simetrala te dužine prolazi kroz točku $M .$ Sada konstruiramo jednakokračni trokut $△ A M S .$ Spojnica $\bar{A P}$ leži na tangenti kružnice. Kao dokaz trebamo dokazati da je kut kod vrha $A$ pravi. To se može lako izračunati iz zbroja kutova jednakokračnih trokutova $△ A M S$ i $△ A M P .$

Konstrukcija tangente iz točke izvan kružnice

Zanimljivost

Apolonije iz Perge (262. pr. Krista – 190. pr. Krista) bio je grčki matematičar. Kao i većina Euklidovih sljedbenika bavio se geometrijom te je poznat po nadimku "veliki geometar". U svojemu glavnom djelu Elementi konika u $15$ knjiga temeljito je geometrijski obradio teoriju presjeka stošca i ravnine. Uz njegovo ime vezuje se nakoliko matematičkih pojmova: Apolonijeva kružnica, Apolonijeva mreža i Apolonijev problem.

Projekt

Apolonijev problem glasi: "Konstruirajte sve kružnice u ravnini koje dodiruju tri zadane kružnice." Taj se problem može podijeliti u deset jednostavnijih problema. Potražite koji su to pa pokušajte riješiti barem neke od njih. Konstrukciju kružnice kroz tri zadane točke već ste naučili.

...i na kraju

Za kraj razmislite u kojem položaju mogu biti dvije kružnice i kako će izgledati njihove zajedničke tangente te koliko će zajedničkih tangenata imati.

Zajedničke tangente dviju kružnica 1

Zajedničke tangente dviju kružnica 2

Zajedničke tangente dviju kružnica 3

Zajedničke tangente dviju kružnica 4

Zajedničke tangente dviju kružnica 5