Fizika 1 - 4.8 Zakon očuvanja mehaničke energije

Pretvorbe energije

Već smo rekli da energija u tijelu može mijenjati oblik. Do koje će pretvorbe energije doći u kamenu koji smo bacili vertikalno uvis nekom početnom brzinom dok se giba prema gore?

U početnom trenutku kamen će imati neku kinetičku energiju zbog početne brzine. Dok se kamen giba prema gornjoj točki putanje, njegova se brzina jednoliko smanjuje. Zbog toga mu se smanjuje kinetička energija. Istovremeno, povećava mu se visina u odnosu na početni položaj, a time i gravitacijska potencijalna energija. Dakle, početna kinetička energija kamena pretvara se u njegovu gravitacijsku energiju u odnosu na početni položaj.

Primjer 1.

Kamen mase $100 g$ bacimo okomito uvis početnom brzinom od $5$ ${ms}^{- 1} .$ Koliko iznosi maksimalna visina koju će dosegnuti? Koliko iznosi njegova početna kinetička energija, a koliko gravitacijska energija u odnosu na početni položaj kada dosegne najvišu točku putanje? Zanemarite otpor zraka. ( $g = 10 {ms}^{- 2}$ )

U prvom smo modulu zaključili da se kamen bačen vertikalno uvis giba jednoliko usporeno akceleracijom $g.$

Koristimo se izrazom:

$v^{2} = {v_{0}}^{2} + 2 \cdot g \cdot h .$

U najvišoj točki putanje brzina $v$ iznosi $0 {ms}^{- 1} .$

$\begin{array}{l} {(0 {ms}^{- 1})}^{2} = {(5 {ms}^{- 1})}^{2} - 2 \cdot 10 {ms}^{- 2} \cdot h \end{array}$

$20 {ms}^{- 2} \cdot h = 25 {({ms}^{- 1})}^{2}$

$h = 1.25 m$

Kinetička energija kamena u početnom položaju iznosi:

$E_{k} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

$E_{k} = \frac{1}{2} \cdot 0,1 kg \cdot {(5 {ms}^{- 1})}^{2}$

$h = 1,25 m .$

Gravitacijska potencijalna energija u najvišoj točki putanje u odnosu na početni položaj iznosi:

$E_{g p} = m \cdot g \cdot h$

$E_{g p} = 0,1 kg \cdot 10 {ms}^{- 2} \cdot 1,25 m$

$E_{g p} = 1,25 J .$

Vidimo da se ukupna mehanička energija kamena u prethodnom primjeru nije promijenila.

Vrijedi li to u svakom sustavu u kojem nema disipativnih sila? Kako djelovanje disipativne sile utječe na očuvanje mehaničke energije? Kako djelovanje disipativne sile utječe na ukupnu energiju u sustavu?

Raspravite s prijateljima u razredu o svojim pretpostavkama, a potom ih provjerite s pomoću sljedeće aktivnosti.

Proučite pretvorbe energije kada se kuglica njiše na niti i kada uteg titra na opruzi u slučaju kada djeluju samo konzervativne sile te u slučaju kada djeluje i trenje.

Što zaključujete?

Mehanička će energija biti očuvana samo onda kada nema disipativnih sila, međutim i tada je ukupna energija sustava očuvana, ali se dio mehaničke pretvara u unutarnju energiju. Općenito, u sustavu u kojem djeluju samo konzervativne sile vrijedit će zakon očuvanja mehaničke energije.

Zakon očuvanja mehaničke energije kaže da u svakom zatvorenom sustavu (sustavu u kojem djeluju samo konzervativne sile) ukupna mehanička energija pohranjena u sustavu ostaje očuvana.

Primjer 2.

Primijenimo zakon očuvanja mehaničke energije da bismo odredili visinu gornje točke putanje kamena iz prethodnog primjera. Kamen je bačen vertikalno uvis početnom brzinom od $5$ ${ms}^{- 1} .$

Kinetička energija koju kamen ima na početku gibanja jednaka je gravitacijskoj potencijalnoj energiji kamena u najvišoj točki putanje.

$E_{k} = E_{g p}$

$\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = m \cdot g \cdot h$

Budući da mase možemo kratiti, dobivamo:

$h = \frac{v^{2}}{2 \cdot g}$

$h = \frac{{(5 {ms}^{- 1})}^{2}}{2 \cdot 10 {ms}^{- 2}}$

$h = 1,25 m .$

Primjer 3.

Skejter kreće niz rampu lijevo početnom brzinom od $7$ ${ms}^{- 1} .$ Rampa je visoka $5$ $m .$ Do koje će se visine iznad rampe uzdići?

( $g = 10 {ms}^{- 2}$ )

Po zakonu očuvanja mehaničke energije ukupna energija koju skejter ima u početnom trenutku bit će jednaka ukupnoj energiji koju ima kada dosegne visinu $h .$

Ako je $E_{k 0}$ početna kinetička energija, $E_{g p 0}$ početna gravitacijska potencijalna energija u odnosu na tlo, a $E_{g p}$ gravitacijska potencijalna energija u odnosu na tlo kada je skejter u najvišoj točki, vrijedi:

$E_{k 0} + E_{g p 0} = E_{g p}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} + m \cdot g \cdot h_{0} = m \cdot g \cdot (h_{0} + h) \end{array}$

Budući da se mase krate, uvrštavamo:

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot {(7 {ms}^{- 1})}^{2} + 10 {ms}^{- 2} \cdot 5 m = 10 {ms}^{- 2} \cdot (5 m + h) \end{array}$

$h = 2,45 m .$

Uočite da taj zadatak možemo riješiti i na kraći način. Naime, gravitacijsku potencijalnu energiju gledamo uvijek u odnosu na početni položaj. Kako je na vrhu rampe gravitacijska potencijalna energija skejtera u odnosu na tlo jednaka, slijedi da će kinetička energija koju ima u početnom trenutku biti jednaka gravitacijskoj potencijalnoj energiji koju skejter na visini $h$ ima u odnosu na najvišu točku rampe.

Dakle,

$E_{k 0} = E_{g p h},$

pri čemu je $E_{k 0}$ početna kinetička energija, a $E_{g p h}$ gravitacijska potencijalna energija u odnosu na najvišu točku rampe.
Provjerite navedeno!

Primjer 4.

Oprugu konstante elastičnosti $40$ ${Nm}^{- 1}$ sabili smo lopticom mase $100$ $g$ pri čemu se opruga skupila za $10$ $cm .$ Do koje će visine, u odnosu na oprugu, odletjeti loptica kada je pustimo? Zanemarite trenje.

Elastična energija opruge pretvara se u kinetičku, a zatim gravitacijsku potencijalnu energiju loptice u odnosu na oprugu.

$\frac{1}{2} \cdot k \cdot x^{2} = m \cdot g \cdot h$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot 40 {Nm}^{- 1} \cdot 0,01 m^{2} = 0.1 kg \cdot 10 {ms}^{- 2} \cdot h \end{array}$

$h = 20 m$

U prošlom smo modulu, govoreći o količini gibanja tijela, vidjeli da pri savršeno elastičnim i savršeno neelastičnim sudarima količina gibanja ostaje očuvana. Vrijedi li to i za kinetičku energiju tijela pri sudaru? Je li ukupna kinetička energija kuglica pri savršeno elastičnom sudaru jednaka prije i nakon sudara? A pri savršeno neelastičnom sudaru? Razmislite i raspravite s prijateljima o svojim pretpostavkama, a zatim ih provjerite ponovno se koristeći interaktivnom aktivnošću.

Vidjeli smo da kod elastičnog sudara kinetička energija ostaje očuvana, dok kod neelastičnih sudara ne ostaje. Prema tome možemo reći: elastični sudar jest sudar pri kojem ukupni iznos količine gibanja i kinetičke energije ostaje očuvan. Neelastični sudar jest sudar pri kojem ukupni iznos količine gibanja ostaje očuvan, ali se dio kinetičke energije gubi u okolinu ili se pretvara u unutarnju energiju ili energiju deformacije tijela.

Riješimo zadatak:

Primjer 5.

Na kolica u mirovanju mase $20 kg$ nalete ista takva kolica brzinom od $4 {ms}^{- 1}$ te se nastavljaju zajedno gibati. Koliko se mehaničke energije pri sudaru pretvorilo u druge oblike? Zanemarite trenje između kolica i podloge.

Zbroj kinetičkih energija kolica prije sudara $E_{k 1} + E_{k 2}$ bit će jednak zbroju zajedničke kinetičke energije nakon sudara E k ' i energije pretvorene u druge oblike $Δ E .$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{2}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (m + m) \cdot {v^{'}}^{2} + Δ E \end{array}$

Da bismo riješili gornju jednadžbu, najprije treba izračunati brzinu kolica nakon neelastičnog sudara.

$m \cdot v_{1} + m \cdot v_{2} = 2 \cdot m \cdot v^{'}$

$\begin{array}{l} 20 kg \cdot 0 {ms}^{- 1} + 20 kg \cdot 4 {ms}^{- 1} = 2 \cdot 20 kg \cdot v^{'} \end{array}$

$v^{'} = 2 {ms}^{- 1}$

Kada brzinu uvrstimo u gornju jednadžbu, dobijemo:

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot 20 kg \cdot {(0 {ms}^{- 1})}^{2} + \frac{1}{2} \cdot 20 kg \cdot {(4 {ms}^{- 1})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (20 kg + 20 kg) \cdot {(2 {ms}^{- 1})}^{2} + Δ E \end{array}$

$Δ E = 80 J .$

Kutak za znatiželjne

Podsjetite se što smo u jedinici Kosi hitac govorili o kosom hicu, a zatim zamislite sljedeću situaciju.

Ispaljujemo kuglicu pod različitim kutovima u odnosu na horizontalnu podlogu te se ona giba bez otpora zraka dok ne udari ponovno u tlo. Odgovorite na sljedeća pitanja:

Do kojih pretvorbi energije dolazi tijekom leta kuglice?

U kojim je dijelovima putanje maksimalna kinetička, a u kojim je dijelovima maksimalna gravitacijska potencijalna energija? Obrazložite.

Ovisi li ukupna energija kuglice o brzini kojom je izbačena? Obrazložite.

Ovisi li ukupna energija kuglice o kutu pod kojim je izbačena u odnosu na horizontalnu podlogu?

Skicirajte dijagrame ovisnosti kinetičke, gravitacijske potencijalne i ukupne energije kuglice o vremenu za kuglicu u kosom hicu.

Kutak za znatiželjne

Na stol visok $h_{0} = 1 m$ postavljena je kosa podloga kao na slici. Duljina je kosine $l = 60 cm,$ a visina joj je $h = 30 cm .$ Na vrh kosine postavimo malo tijelo koje počinje kliziti. Na kojoj će horizontalnoj udaljenosti od stola tijelo na kraju putanje udariti u pod? Masa tijela iznosi $200 g .$ Između tijela i kosine te tijela i površine stola na kojem je kosina trenje je zanemarivo.

Riješite zadatak primjenjujući:

Newtonove zakone
Zakon očuvanja mehaničke energije.

4.8 Zakon očuvanja mehaničke energije

Na početku...

Pretvorbe energije

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.9 Energetska učinkovitost i održivost