Fizika 2 - 3.8 Spajanje kondenzatora

Paralelan spoj kondenzatora

Kako bismo upoznali osnovna svojstva paralelnog spoja kondenzatora, pogledajmo videosnimku simulacije.

Izvor:
PhET Interactive Simulations
University of Colorado Boulder
https://phet.colorado.edu

Paralelni spoj kondenzatora

Očitajmo vrijednosti veličina koje se mjere tijekom animacije. Na izvor napona spojen je kondenzator kapaciteta $C_{1} = 10^{- 13} F.$

Izvor napona je postavljen na vrijednost $1,5 V .$ Očitavanjem s pomoću voltmetra pad napona na kondenzatoru iznosi $U_{1} = 1,5 V.$

Koliko iznosi očekivana i izmjerena količina naboja na kondenzatoru?

$Q_{1} = 1,5 \cdot 10^{- 13} C$

Spojimo paralelno drugi kondenzator kapaciteta $C_{2} = 10^{- 13} F$ .

Koliko iznose očitana količina naboja i kapacitet?

$Q = 3 \cdot 10^{- 13} C$

$C = 2 \cdot 10^{- 13} F$

Koliki su padovi napona na svakom od kondenzatora spojenih paralelno?

$U_{1} = U_{2} = 1,5 V$

Povećamo kapacitet drugog kondenzatora spojenog u paralelu na $C_{2} = 2 \cdot 10^{- 13} F.$

Koliko sada iznose očitani količina naboja i kapacitet?

$Q = 4,5 \cdot 10^{- 13} C$

$C = 3 \cdot 10^{- 13} F$

Spojimo tri kondenzatora u paralelu. Vrijednosti njihovih kapaciteta su:

$C_{1} = 10^{- 13} F$

$C_{2} = 2 \cdot 10^{- 13} F$

$C_{3} = 3 \cdot 10^{- 13} F .$

Očitani količina naboja i kapacitet iznose

$Q = 9 \cdot 10^{- 13} C$

$C = 6 \cdot 10^{- 13} F.$

Što se događa s ukupnom količinom naboja kada se dva, odnosno tri kondenzatora spoje paralelno?

Ne mijenja se.

Poveća se dva, odnosno tri puta.

Ukupna količina naboja jednaka je zbroju količina naboja na pojedinim kondenzatorima spojenim paralelno.

null

Što na osnovi prethodne animacije možemo zaključiti o očitanoj vrijednosti kapaciteta kondenzatora spojenih paralelno?

Vrijednost kapaciteta je dva puta veća.

Vrijednost kapaciteta je tri puta veća.

Vrijednost kapaciteta jednaka je zbroju kapaciteta kondenzatora spojenih paralelno.

null

Ovu vrijednost kapaciteta imao bi jedan kondenzator koji bismo spojili umjesto paralelno spojenih kondenzatora. Radi se o nadomjesnom, ekvivalentnom ili, kako se najčešće naziva, ukupnom kapacitetu paralelno spojenih kondenzatora.

Bitno svojstvo paralelnog spoja kondenzatora je da su svi kondenzatori spojeni između točaka jednakih potencijala. Padovi napona na svakom od kondenzatora jednaki su.

Količina naboja koja je očitana odgovarala bi količini naboja na kondenzatoru ekvivalentnog kapaciteta.

Površina ploča kondenzatora kapaciteta $C_{1}$ iznosi $S_{1},$ a površina ploča kondenzatora kapaciteta $C_{2}$ je $S_{2} .$ Razmaci između ploča su jednaki i iznose .

Spojimo ova dva pločasta kondenzatora paralelno $d .$

Razmaci između ploča ne mijenjaju se, a površine ploča se zbrajaju.

Paralelno spajanje kondenzatora - obrazloženje

Kapaciteti pojedinih kondenzatora su

$C_{1} = ε \frac{S_{1}}{d}$ i $C_{2} = ε \frac{S_{2}}{d} .$

Kapacitet kondenzatora s površinom ploča jednakoj

$S = S_{1} + S_{2}$ iznosi $C = ε \frac{S_{1} + S_{2}}{d} .$

Kapacitet se može izraziti kao

$C = ε \frac{S_{1}}{d} + ε \frac{S_{2}}{d}$ ili

$C = C_{1} + C_{2} .$

Ukupni (nadomjesni ili ekvivalentni) kapacitet paralelno spojenih kondenzatora jednak je zbroju kapaciteta svakog pojedinog kondenzatora u paralelnom spoju.

Kondenzatori se spajaju u paralelan spoj tako da se međusobno posebno spoje sve ploče s pozitivnim nabojem, a posebno ploče s negativnim nabojem.

Najjednostavniji slučaj paralelnog spoja kondenzatora jest spoj u kojemu su paralelno spojena samo dva kondenzatora, kao što je prikazano na slici.

Označimo s $C$ ukupni kapacitet paralelnog spoja kondenzatora. Na kondenzatoru kapaciteta $C_{1}$ nalazi se količina naboja $Q_{1},$ a na kondenzatoru kapaciteta $C_{2}$ količina naboja $Q_{2} .$ Pritom su oba kondenzatora spojena na isti izvor i imaju jednak napon $U .$

Količine naboja pohranjene na kondenzatorima su:

$Q_{1} = C_{1} U$ i $Q_{2} = C_{2} U .$

Ukupna količina naboja paralelno spojenih kondenzatora jednaka je zbroju količina naboja na svakom kondenzatoru.

$Q = Q_{1} + Q_{2}$

Taj zbroj se može napisati i kao:

$C U = C_{1} U + C_{2} U .$

Podijelimo dobiveni izraz sa naponom $U$ i dobijemo:

$C = C_{1} + C_{2} .$

Kod paralelno spojenih kondenzatora kapaciteti svih kondenzatora u spoju zbrajaju se.

$C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + . . .$

Serijski spoj kondenzatora

Na osnovi videosnimke simulacije opisat ćemo osnovna svojstva serijskog spoja kondenzatora.

Izvor:

PhET Interactive Simulations
University of Colorado Boulder
https://phet.colorado.edu

Licenca: CC BY 4.0

Serijski spoj kondenzatora

Na snimci animacije očitajte ukupne kapacitete i pohranjene količine naboja za slučajeve da je na izvor napona spojen jedan kondenzator, zatim da su spojena dva kondenzatora u seriju i u zadnjem slučaju da su tri kondenzatora spojena u seriju s izvorom napona. Napon izvora je u svim slučajevima $1,5 V .$

Rezultati vaših očitavanja trebali bi se naći u tablici s rješenjima.

$C_{1} / 10^{- 13} F$	$C_{2} / 10^{- 13} F$	$C_{3} / 10^{- 13} F$	$C / 10^{- 13} F$	$Q / 10^{- 13} C$	$U_{1} / V$	$U_{2} / V$	$U_{3} / V$
$1$	$-$	$-$	$1$	$1$	$1,5$	$-$	$-$
$1$	$1$	$-$	$0,5$	$0,75$	$0,75$	$0,75$	$-$
$1$	$1$	$1$	$0,33$	$0,5$	$0,5$	$0,5$	$0,5$
$1$	$2$	$3$	$0,55$	$0,82$	$0,818$	$0,409$	$0,273$

Na osnovi očitanih rezultata, što zaključujete o ukupnom ili nadomjesnom kapacitetu serijski spojenih kondenzatora?

Jednak je zbroju kapaciteta kondenzatora spojenih u seriju.

Manjeg je iznosa od kapaciteta kondenzatora spojenog u seriju koji je najmanjeg iznosa.

Vrijednost ukupnog kapaciteta jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti kapaciteta pojedinih kondenzatora spojenih u seriju.

Reciporočna vrijednost ukupnog kapaciteta jednaka je recipročnoj vrijednosti zbroja kapaciteta kondenzatora spojenih serijski.

Recipročna vrijednost ukupnog kapaciteta jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti kapaciteta kondenzatora spojenih serijski.

null

Očitana pohranjena količina naboja je:

količina naboja koju je pohranio svaki od kondenzatora

količina naboja koja odgovara zbroju količina naboja što ju je svaki od kondenzatora pohranio u serijskom spoju.

količina naboja koju bi pohranio zamjenski ili nadomjesni kondenzator

jednaka trećini količine naboja koju je pohranio jedan od kodenzatora u danom serijskom spoju

null

Zbroj padova napona na svakom od kondenzatora u serijskom spoju odgovara naponu

null

Neka su pločasti kondenzatori kapaciteta $C_{1}$ i $C_{2}$ spojeni serijski. Površine ploča obaju kondenzatora su jednake i iznose $S .$ Razmak između ploča kapaciteta $C_{1}$ iznosi $d_{1},$ a ploče kondenzatora kapaciteta $C_{2}$ međusobno su razmaknute za $d_{2} .$

Kod serijskog spajanja dvaju kondenzatora unutarnje ploče kondenzatora nisu spojene na izvor napona i njihov ukupni naboj je nula. Na vanjskim pločama naboj je induciran (električna influencija). Kondenzatori spojeni u seriju nose jednaku količinu naboja.

Razmak između ploča kondenzatora kapaciteta ekvivalentnog onome koji imaju dva kondenzatora spojena u seriju, jednak je zbroju razmaka ploča pojedinih serijski spojenih kondenzatora $d = d_{1} + d_{2} .$

Serijsko spajanje kondenzatora - obrazloženje

Kapaciteti pločastih kondenzatora iznose

$C_{1} = ε \frac{S}{d_{1}}$ i

$C_{2} = ε \frac{S}{d_{2}}$ .

Ekvivalentni kapacitet je

$C = ε \frac{S}{d}$

ili

$C = ε \frac{S}{d_{1} + d_{2}} .$

Recipročna vrijednost kapaciteta je

$\frac{1}{C} = \frac{1}{ε} \cdot \frac{d_{1} + d_{2}}{S}$

$\frac{1}{C} = \frac{1}{ε} \cdot \frac{d_{1}}{S} + \frac{1}{ε} \cdot \frac{d_{2}}{S} .$

Slijedi

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} .$

Recipročna vrijednost ukupnog (nadomjesnog ili ekvivalentnog) kapaciteta serijski spojenih kondenzatora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti kapaciteta svakog pojedinog kondenzatora u serijskom spoju.

Kondenzatori su spojeni serijski tako da je ploča jednog kondenzatora, koji na sebi nosi pozitivan naboj, spojena s pločom drugog kondenzatora, koji na sebi ima negativan naboj.

Takav raspored polariteta naboja događa se spontano, a ta pojava poznata je pod nazivom električna influencija i o njoj smo učili u jedinici 3.1 i 3.2.

Zbog toga oba kondenzatora sadrže jednaku količinu naboja. Općenito, na svakom će kondenzatoru u serijskom spoju naboj biti jednak, bez obzira na broj kondenzatora u spoju.

Zbog različitih kapaciteta kondenzatora $C_{1}$ i $C_{2}$ na njima se uspostave naponi

$U_{1} = \frac{Q}{C_{1}}$ i $U_{2} = \frac{Q}{C_{2}}$ .

Ukupni napon kod serijski spojenih kondenzatora jednak je zbroju napona kondenzatora koji čine spoj. U slučaju spoja dvaju kondenzatora vrijedi $U = U_{1} + U_{2} .$

Budući da je $U = \frac{Q}{C,}$ taj zbroj se može napisati kao $\frac{Q}{C} = \frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}}$ ili u jednostavnijem obliku

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}},$

što daje formulu za izračun ukupnog kapaciteta dvaju serijski spojenih kondenzatora.

Recipročna vrijednost ukupnog kapaciteta kod serijskog spoja kondenzatora jednaka je zbroju pojedinačnih recipročnih vrijednosti kapaciteta svakog kondenzatora u spoju.

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + . . .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Odredite ukupni kapacitet spoja na slici a. i b. ako je

$C_{1} = C_{2} = 100 p F,$

$C_{3} = C_{4} = 200 n F .$

Ukupni kapacitet ovako spojenih kondenzatora je:

$C = 150 p F$
Ukupni kapacitet kondenzatora spojenih na ovakav način je:

$C = 150 p F$

Zadatak 2.

Pet kondenzatora jednakih kapaciteta spojeno je u mješoviti spoj. Kada se takav spoj priključi na izvor napona od $120 V,$ kroz njega potekne količina naboja od $2 m C .$ Odredite kapacitet svakog kondenzatora u spoju.

Prvo treba izračunati ukupan kapacitet cijelog spoja

$C_{uk} = \frac{Q}{U}$

$C_{u k} = \frac{2 \cdot 10^{- 3} C}{120 V}$

$C_{u k} = 1,67 \cdot 10^{- 5} F$

Budući da je prema shemi spoja ukupni kapacitet:

$\frac{1}{C_{u k}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C + \frac{C}{2}} + \frac{1}{C}$

$\frac{1}{C_{u k}} = \frac{2}{C} + \frac{2}{3 C}$

$\frac{1}{C_{u k}} = \frac{8}{3 C}$

$C_{uk} = \frac{3}{8} C .$

proizlazi kako je:

$C = \frac{8}{3} C_{u k}$

$C = \frac{8}{3} \cdot 1,67 \cdot 10^{- 5} F$

$C = 4,44 \cdot 10^{- 5} F.$

Zatvori

Jedan od mnogobrojnih načina detekcija razine tekućine u spremniku je s pomoću kapacitivnog pretvornika razine.
U toj metodi se na osnovi promjene kapaciteta mjernog postava kontrolira razina tekućine. Kapacitet ovisi o dielektričnoj konstanti i dimenzijama.
Postoje izvedbe za mjerenje razine vodljivih tekućina i za mjerenje razine dielektričnih tekućina. Za dielektrične tekućine obje elektrode mogu biti uronjene u tekućinu. Pojednostavnjeni shematski prikaz metode prikazan je na slici.

Indikator razine tekućine - shematski prikaz

Kako možemo s pomoću kondenzatora kontrolirati razinu tekućine?

Kapacitet kondenzatora - između ploča je zrak

Pogledajmo što se događa s kapacitetom pločastog kondenzatora kada se između njegovih ploča mijenja razina tekućine.

Kada se između ploča kondenzatora nalazi zrak, njegov kapacitet iznosi $80 pF .$

Postavimo ploče okomito u posudu s transformatorskim uljem relativne permitivnosti $4 .$ Odredite ekvivalentne kapacitete za dane situacije povećanja razine ulja između ploča kondenzatora. Od elemenata koje možete upotrijebiti na raspolaganju su vam dva kondenzatora i dvije spojne žice. Odaberite odgovarajuće vrijednosti kapaciteta kondenzatora. Smjestite potrebne elemente unutar okvira i spojite. Odaberite vrijednost ekvivalentnog kapaciteta. Provjerite točnost rješenja. Pokrenite interakciju kako biste pristupili rješavanju.

Zadatak 3.

Ploče kondentatora su razmaknute $5 mm,$ a između njih je zrak. Kada se ploče kondenzatora vertikalno urone polovicom svoje površine u tekuće dielektrično sredstvo relativne permitivnosti $3,$ kapacitet tog kondenzatora se poveća. Na koju udaljenost bi ploče tako uronjenog kondenzatora trebalo razmaknuti kako bi mu kapacitet bio jednak onom prije uranjanja u sredstvo?

Kada se ploče kondenzatora urone u sredstvo, ukupni kapacitet tog kondenzatora jednak je zbroju kapaciteta dijela kondenzatora u zraku i dijela kondenzatora u sredstvu.

Onaj dio koji je u zraku, ima kapacitet:

$C_{1} = ε_{0} \frac{\frac{S}{2}}{d_{1}},$

a dio koji je u sredstvu, ima kapacitet:

$C_{2} = ε_{0} ε_{r} \frac{\frac{S}{2}}{d_{2}} .$

Ukupni kapacitet tako uronjenog kondenzatora je:

$C = C_{1} + C_{2}$

Iz uvjeta postavljenog u zadatku kako kapacitet kondenzatora u zraku mora biti jednak onom kod napola uronjenog kondenzatora dobijemo:

$C_{zrak} = C$

$ε_{0} \frac{S}{d} = ε_{0} \frac{S}{2 d_{1}} + ε_{0} ε_{r} \frac{S}{2 d_{1}} .$

Ta formula se podjeli sa $S$ i $ε_{0}$ te se uz malo preinake dobije:

$d_{1} = \frac{1}{2} d (1 + ε_{r}) .$

Uvrštavanjem podataka dobije sa razmak na koji treba postaviti ploče. On iznosi $1 cm$ .

Kutak za znatiželjne

Zašto se uopće kondenzatori spajaju serijski ili paralelno?

Pogledajte neke primjere primjene spajanja kondenzatora.

Mjerenje količine naboja pomoću mjernog pojačala

Ulaz mjernog pojačala je kondenzator kapaciteta $C_{p} .$ Ako se želi odrediti količina naboja $Q_{x}$ na kondenzatoru kapaciteta $C_{x,}$ spojimo ovaj kondenzator paralelno s kondenzatorom kapaciteta $C_{p}$ .

Spajanje kondenzator - primjena — Spajanje kondenzatora- primjena

Naboji se preraspodjeljuju na kondenzatore $Q_{x} = Q_{x} ´ + Q_{p} ´$

Pad napona na kondenzatorima jednak je $U_{x} = U_{p}$ te je

$\frac{Q_{x} ´}{C_{x}} = \frac{Q_{p} ´}{C_{p}},$ odnosno omjer je naboja jednak

$\frac{Q_{x} ´}{Q_{p} ´} = \frac{C_{x}}{C_{p}} .$

Da bi naboj $Q_{p} ´$ koji mjerno pojačalo registrira bio približno jednak naboju $Q_{x},$ mora biti ispunjen uvjet $Q_{p} ´ ≪ Q_{x} .$ To je slučaj kada je $C_{p} ≫ C_{x} .$

Tada je $Q_{p} ´ \approx Q_{x} .$ Mjerno pojačalo kojim se mjeri količina naboja mora dakle imati vrlo velik ulazni kapacitet.

Kapacitivno djelilo napona

Uređaji za mjerenje napona ne mogu mjeriti proizvoljno velike napone. U praksi se često primjenjuje serijski spoj kondenzatora s pomoću kojih se visoki napon dijeli tako da se manji napon može mjeriti.

Izrazimo ekvivalentni kapacitet dvaju serijski spojenih kondenzatora.

$\begin{array}{l} \frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1} \cdot C_{2}} \Rightarrow C = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}} \end{array}$

Naponi na pojedinim kondenzatorima u serijskom spoju i na ekvivalentnom kondenzatoru su:

$U_{1} = \frac{Q}{C_{1}},$ $U_{2} = \frac{Q}{C_{2}},$ $U = \frac{Q}{C} .$

Odredimo omjere napona $\frac{U_{1}}{U_{2}},$ $\frac{U_{1}}{U}$ i $\frac{U_{2}}{U} :$

$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$

$\frac{U_{1}}{U} = \frac{C}{C_{1}} = \frac{\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}}{C_{1}} = \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$

$\frac{U_{2}}{U} = \frac{C}{C_{2}} = \frac{\frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}}{C_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} .$

Manji napon je na kondenzatoru većeg kapaciteta.

3.8 Spajanje kondenzatora

Na početku...

Paralelan spoj kondenzatora

Serijski spoj kondenzatora

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju