5.3 Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju

Lorentzova sila

Na vodič kojim teče struja i nalazi se u magnetskom polju, to polje djeluje magnetskom, odnosno Ampereovom silom.

Električna struja kod vodiča je usmjereno gibanje slobodnih elektrona. Na električki nabijenu česticu koja se giba u magnetskom polju, polje djeluje Lorentzovom silom.

U odabranom, na slici uvećanom detalju vodiča kojim teče električna struja, duljine $\mathrm{\Delta }l,$ nalazi se N elektrona koji za vrijeme $\mathrm{\Delta }t$ prođu kroz poprečni presjek površine $S$ vodiča. Ukupna količina naboja koji u vremenu $\mathrm{\Delta }t$ prolazi kroz površinu $S$ je $\mathrm{\Delta }Q=Ne.$ Na vodič, kao i na elektrone, tada djeluje magnetska sila.​

Izvod izraza za Lorentzovu silu

$F=BI\mathrm{\Delta }l$

$F=B\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}\mathrm{\Delta }l$

$F=B\frac{Ne}{\mathrm{\Delta }t}\mathrm{\Delta }l$

$F=BNev,$

gdje je   $F$  ukupna sila kojom se djeluje na svih $\mathrm{N}$ nosilaca električne struje. Sila na pojedini naboj je Lorentzova sila.

$F_L=\frac{F}{N}$

$F_L=eBv$

Smjer djelovanja Lorentzove sile određuje se s pomoću pravila desne ruke. Ispruženi prsti desne ruke pokazuju smjer magnetskih silnica, palac pokazuje smjer brzine. Smjer vektora sile kojom magnetsko polje djeluje na pozitivno nabijenu česticu okomito izlazi iz dlana.

Primjeri međusobnih odnosa vektora magnetske indukcije, brzine i sile prikazani su na slici. Sva tri vektora su međusobno okomita za slučaj pozitivnog i negativnog naboja.

Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju

Pogledajte u animaciji kako se giba nabijena čestica naboja  $Q=e$ i mase $m$, koja uleti brzinom $v$ okomito na silnice magnetskog polja indukcije $B.$​

Vektor brzine okomit je na smjer djelovanja sile, a čestica s nabojem koja se giba pravocrtno i uleti okomito na silnice magnetskog polja u to polje, ondje će se nastaviti gibati po kružnoj stazi. Na slici je primjer gibanja negativno nabijene čestice koja je uletjela okomito u homogeno magnetsko polje usmjereno u ravninu crteža.

Smjer sile određuje se spomenutim pravilom desne ruke. Ulogu centripetalne sile ovdje ima Lorentzova sila. 

Za čestice s nabojem koje kruže u magnetskom polju može se odrediti ​polumjer kruženja na sljedeći način:

$F_{cp}=F_L$

$\frac{m{v}^2}{r}=QvB.$

$r=\frac{mv}{QB}$ 

Vrijeme ophoda može se dobiti iz formule za brzinu jednolikog kruženja:

$v=\frac{2r\pi }{T}.$

Iz te formule slijedi kako je period:

$T=\frac{2r\pi }{v}.$

Uvrštavajući u nju formulu za polumjer kruženja dobije se vrijeme ophoda.

  $T=\frac{2\pi m}{QB}$

Slijedi kako je frekvencija periodične promjene smjera električnog polja u ubrzivaču nabijenih čestica, koji nazivamo ciklotron, dana izrazom

  $f=\frac{QB}{2\pi m}.$

 Tu frekvenciju nazivamo ciklotronska frekvencija.

Ciklotron

U području nuklearne fizike i fizike čestica koriste se snopovi visoko energetskih čestica (elektroni, protoni, ioni). Osim u fizici, snopovi čestica vrlo velikh brzina koriste se i za istraživanja u kemiji i biologiji, a primjenjuju se i u medicini, mikroelektronici.

Ciklotron je uređaj u kojem se čestice za vrijeme ubrzavanja električnim poljem kreću po kružnim ili spiralnim stazama zbog djelovanja magnetskim poljem.

Između polova jakog elektromagneta nalazi se vakumska komora u kojoj su smještene dvije šuplje metalne elektrode u obliku slova D. D-elektrode su spojene na izvor visokofrekventnog izmjeničnog napona.

U središtu komore nalazi se ionski izvor. Ciklotron radi tako da električno polje nabijenu česticu dodatno ubrzava pri svakom prolazu između D-elektroda. Naboji se zbog sve veće brzine, pri svakom prijelazu iz jedne u drugu elektrodu gibaju stazom sve većeg polumjera.

Razmotrimo što će se dogoditi ako u magnetsko polje uleti naboj pod nekim kutom između $0°$ i $90°$ u odnosu na silnice tog magnetskog polja.

Gibanje čestice je rezultanta dvaju gibanja: komponenta brzine okomita na smjer silnica uvjetuje kruženje čestice, a istovremeno paralelna komponenta brzine određuje jednoliko gibanje po pravcu paralelno silnicama. Sastavljanjem tih gibanja nastaje gibanje čestice po putanji u obliku spirale čija je os paralelna silnicama.

Vektor brzine rastavlja se na komponentu koja je paralelna sa silnicama magnetskog polja i komponentu koja je okomita na silnice. Iznos Lorentzove sile može se izračunati kao:

$F_L=Q{v}_{\perp }\mathrm{B.}$

Ako naboj uleti pod nekim kutom između $0°$ i $90°$ u udnosu na silnice magnetskog polja, iznos Lorentzove sile određuje se formulom:

$F_L=QvBsin\phi .$   

Radi se ustvari o tzv. vektorskom produktu:

$\stackrel{\to }{F_L}=Q\stackrel{\to }{v}\times \stackrel{\to }{B}.$

Zadatak 1.

Kako biste dva puta povećali polumjer putanje u prethodnoj animaciji, pokrenite sljedeću animaciju i odaberite u padajućim izbornicima treba li izabrati čestice manje ili veće mase ili čestice drukčijeg naboja. Pogledajte što se događa ako promijenite brzinu čestice. Također možete promijeniti iznos i smjer magnetske indukcije.

Zadatak 2.

Svaki od crteža prikazuje pozitvno (crvena) ili negativno (plava) nabijenu česticu koja se giba brzinom $v$ kroz magnetsko polje indukcije $B.$ Odredite za svaki od slučajeva A, B, C i D smjer sile kojom polje djeluje na česticu i uzrokuje njezin otklon.

​A. slučaj: iz ravnine crtanja gore u ravninu crtanja lijevodesno dolje nema otklona
B. slučaj: desno nema otklona gore u ravninu crtanja lijevo iz ravnine crtanja dolje
C. slučaj: nema otklona gore dolje u ravninu crtanja lijevo iz ravnine crtanjadesno
D. slučaj: gore u ravninu crtanja dolje iz ravnine crtanjadesno lijevo nema otklona  

null

null

Primjer 1.

Elektron se giba stalnom brzinom $\mathrm{2,1}·{10}^7 \mathrm{m/s}$ i ulazi u homogeno magnetsko polje indukcije $\mathrm{0,018}\mathrm{T}.$

1. ​Odredite polumjer kružne staze koju opisuje elektron gibajući se magnetskim poljem.
2. Odredite centripetalno ubrzanje elektrona.
   

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Ako nabijene čestice nalete koso s obzirom na smjer silnica homogenog magnetskog polja staza će im biti spiralna.

Razmotrimo što se događa sa nabijenom česticom ako nalijeće koso u nehomogenom magnetsko polje.

Na slici su prikazana dva trenutna pložaja čestice koja se giba u nehomogenom magnetskom polju.

Obrazložite zašto se pri gibanju čestice iz područja slabijeg u područje jačeg magnetskog polja polumjer putanje čestice smanjuje.

Ispišite crtež i nacrtajte za dva označena položaja čestice Lorentzovu silu.

Kada čestica dođe do mjesta gdje se silnice znantno zgušnjavaju, magnetsko polje djeluje poput zrcala. Ono reflektira česticu nazad, u područje slabijeg magnetskog polja.

Obrazložite ovaj učinak magnetskog zrcala.

Kutak za znatiželjne

Ako uspostavimo magnetsko polje prikazano na slici nabijena čestica može ostati zarobljena unutar takvog polja.

Objasnite načelo magnetske boce.

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Geomagnetska boca

Na Zemlju neprestano nalijeće velik broj brzih nabijenih čestica. Uglavnom se radi o protonima i elektronima. Veći dio tih čestica dolazi u obliku solarnog vjetra sa površine Sunca, a manji dio stiže iz svemira. Čestice koje dolaze iz svemira nazivamo kozmičkim zračenjem. Ove čestice međudjeluju sa česticama u atmosferi a rezultat toga je ˝pljusak˝ različitih novih nabijenih čestica.

U visokim slojevima atmosfere geomagnetsko polje Zemlje djeluje na nabijene čestice. One bivaju uhvaćene u divovsku geomagnetsku bocu i gibaju se po zakrivlejnoj spirali duž magnetskih silnica. Kada se čestice približe magnetskom polu reflektiraju se i duž silnica se gibaju prema suprotnom polu.

Najviše čestica bit će uhvaćeno u dva područja u geomagnetskom polju Zemlje. Ta područja se nazivaju Van Allenovim pojasevima. Unutarnji pojas se nalazi oko 3000 km iznad površine Zemlje, a vanjski oko 16000 km iznad površine Zemje. Ova područja su nalik ljuskama glavice luka. Znatan dio kozmičkih čestica ipak pristiže do površine Zemlje, posebno na polovima. Zašto?

Polarna svjetlost

Polarna svjetlost (aurora) je svjetlosna pojava u obliku lukova, korona, pruga, zavjesa  koja se često vidi noću u polarnim predjelima.

Što je uzrok ovoj neobičnoj svjetlosnoj pojavi?

Elektroni zarobljeni u geomagnetskoj boci pri spuštanju prema magnetskom polu sudaraju se s molekulama i atomima u atmosferi, a koji pritom emitiraju svjetlost.

 Koju boju svjetlosti emitiraju kisikovi atomi pri sudarima sa elektronima u atmosferi?

crvenu

žutu

zelenu

 plavu

 ljubičastu

null

null

Koju boju svjetlosti emitiraju dušikove molekule pri sudarima sa elektronima u atmosferi?

 crvenu

 žutu

 zelenu

 plavu

 ljubičastu

null

null

Izradi vježbu

Eksperimentalni zadatak

Sastavite eksperimentalni postav prema slici.

Magnet u obliku diska postavite u osgovarajuću plastičnu posudicu.

Od malo deblje aluminijske folije izrežite dvije elektrode i savinite ih u obliku slova L. Možete upotrijebiti aluminijsku folijsku posudu za hranu. Elektrode stavite u malo veću plastičnu posudu ili kadicu.

Posudicu sa magnetom postavite na elektrode kako je prikazano na crtežu. Bitno je da se elektrode međusobno ne dodiruju.

Sipajte nešto soli u posudu.

Napunite posudu s vodom, tako da razina vode bude desetak milimetara iznad magneta . Kapnite malo tinte u blizini magneta.

Povežite polove baterije sa elektrodama.

Opišite svoja opažanja? Obrazložite svoja opažanja.

Što se događa ako zamijenite polaritet na elektrodama? Previdite što slijedi ako prekrenete magnet. Potvrdite i eksperimentalno svoja prdviđanja.

Pokušajte sastaviti jednostavno plovilo koje bi se pogonilo na osnovu opažene pojave.

Samostalno istražite MHD pogon (magnetohidrodinamički) pogon.

Kutak za znatiželjne

Jedna od najizazovnijih grana fizike i znanosti općenito je fizika elementarnih čestica. Proučite na internetu gdje se i kako elementarne čestice proučavaju, kako se proizvode, zašto se ubrzavaju i zašto se sudaraju. Načinite izvješće o najvećim ubrzivačima današnjice koji se nalaze u laboratorijima CERN-a.

Nakon  što ste proučili osnovno o najvećim ubrzivačima današnjice pokušajte odgovoriti na ova pitanja:

• Zašto ubrzivači moraju biti tako velikih dimenzija?
  
• Zašto se čestice ubrzavaju kružno?
  
• Zašto se ubrzivač nalazi 100m ispod površine zemlje?
  
• Zašto čestice moraju imati tako velike energije?
  
• Zašto eksperemniti traju toliko godina?​