Presjek skupova

Presjek skupova $A$ i $B$ je skup koji sadržava sve elemente koji pripadaju i skupu $A$ i skupu $B .$

Presjek skupova $A$ i $B$ označujemo $A \cap B .$

Matematičkim simbolima zapisujemo $A \cap B = {x : x \in A i x \in B} .$

Nacrtana su dva kruga koja se sijeku i osjenčan je presjek. Lijevi krug naziva se A, desni B, a presjek A ꓵ B. — Presjek skupova

Primjer 1.

Ivan, Matija, Ana, Jurica, Krešo, Darija, Boris, Tvrtko i Nina najbolji su prijatelji. Oni čine skup $S,$

$S={Ivan, Matija, Ana, Jurica, Krešo, Darija, Boris, Tvrtko, Nina} .$

Većina njih bavi se nekim sportom. Ivan, Krešo, Boris i Tvrtko treniraju nogomet. Nogometaši čine skup $N,$

$N = {Ivan, Krešo, Boris, Tvrtko} .$

Tenisom se bave Ivan, Ana, Jurica, Krešo, Darija i Nina. Tenisači čine skup $T,$

$T={Ivan, Ana, Jurica, Krešo, Darija, Nina}$ .

Promotrimo Vennovi dijagram koji prikazuje skupove $N$ i $T$ te njihov međusobni odnos.

Koji se prijatelji bave obama sportovima?

Prijatelji i sport

Uočimo da se dijagrami dijelom preklapaju. Razlog preklapanju jest taj što se Ivan i Krešo bave i nogometom i tenisom pa se njihova imena nalaze u zajedničkom dijelu dijagrama.

Skup sastavljen od prijatelja koji se bave i nogometom i tenisom nazivamo presjek skupova.

Pišemo $N \cap T = \{Ivan, Krešo\}$

Zadatak 1.

Razvrstaj zadane brojeve prema odgovarajućim svojstvima u Vennov dijagram. Koji su brojevi u oba skupa?

Uputa: "Klikni" na ponuđeni broj, a zatim na odgovarajuće istaknuto mjesto u dijagramu. Postupak ponovi sa svim ponuđenim brojevima.

Povećaj interaktivni prikaz

Zadatak 2.

Posij sjeme cvijeća na predviđenu gredicu. Pazi, gredice se preklapaju!

Zadatak 3.

Razvrstaj životinje na odgovarajuća mjesta u Vennovu dijagramu.

Uputa: "Klikni" na ponuđenu vrstu životinje, a zatim na odgovarajuće istaknuto mjesto u dijagramu. Postupak ponovi sa svim ponuđenim životinjama.

Povećaj interaktivni prikaz

Zanimljivost

Ako za skupove $A$ i $B$ vrijedi $A \cap B = \emptyset,$ kažemo da su skupovi $A$ i $B$ disjunktni skupovi.

Primjer 2.

Matija, Ana, Darija i Nina članovi su istoga odbojkaškog kluba. Oni čine skup $O,$

$O = \{Matija, Ana, Darija, Nina\} .$

Nogometom se bave Ivan, Krešo, Boris i Tvrtko, tj. $N = \{Ivan, Krešo, Boris, Tvrtko\}$ .

Postoji li u toj skupini osoba koja trenira i nogomet i odbojku?

Budući da je $N = \{Ivan, Krešo, Boris, Tvrtko\}$ i $O = \{Matija, Ana, Darija, Nina\},$ očito je da u skupu $S$ ne postoji osoba koja trenira i nogomet i odbojku.

Zaključujemo da je presjek skupova $N$ i $O$ skup bez elemenata (prazan skup), tj. vrijedi

$N \cap O = \emptyset .$

Vennov dijagram prikazuje dva skupa N i O koji nemaju zajedničkih elemenata (tj. koji se ne sijeku). — Disjunktni skupovi

Svojstva unije i presjeka

Primjer 5.

Zadan je skup $A = \{1, 2, 3, 4\} .$ Odredimo:

a. $A \cup A$

b. $A \cap A$

c. $A \cup \emptyset$

d. $A \cap \emptyset$

a. $A \cup A = {1, 2, 3, 4} = A$

b. $A \cap A = {1, 2, 3, 4} = A$

c. $A \cup \emptyset = {1, 2, 3, 4} = A$

d. $A \cap \emptyset = \emptyset$

Za svaki skup $A$ vrijedi:

$A \cup A = A$

$A \cap A = A$

$A \cup \emptyset = A$

$A \cap \emptyset = \emptyset$

Primjer 6.

Zadani su skupovi $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $B = \{5, 6, 7, 8\} .$

Odredimo:

a. $A \cap B$

b. $B \cap A$

c. $A \cup B$

d. $B \cup A$

a. $A \cap B = {5, 6}$

b. $B \cap A = \{5, 6\}$

c. $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

d. $B \cup A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

Očito je da unija i presjek skupova ne ovise o redoslijedu skupova, tj. da je

$A \cap B = B \cap A$ i $A \cup B = B \cup A .$

Za skupove $A$ i $B$ vrijedi:

$A \cap B = B \cap A$

$A \cup B = B \cup A$

Za uniju i presjek skupova vrijedi zakon komutativnosti.

Primjer 7.

Zadani su skupovi $A = \{2, 4, 6, 8, 10\},$ $B = \{6, 8, 10, 12, 14\}$ i $C = \{10, 12, 14, 16, 18\} .$

Odredimo:

a. $(A \cap B) \cap C$

b. $A \cap (B \cap C)$

c. $(A \cup B) \cup C$

d. $A \cup (B \cup C)$

a. $(A \cap B) \cap C = {6, 8, 10} \cap {10, 12, 14, 16, 18} = {10}$

b. $A \cap (B \cap C) = {2, 4, 6, 8, 10} \cap {10, 12, 14} = {10}$

c. $(A \cup B) \cup C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} \cup {10, 12, 14, 16, 18} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}$

d. $A \cup (B \cup C) = {2, 4, 6, 8, 10} \cup {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}$

Za skupove $A,$ $B$ i $C$ vrijedi:

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Za uniju i presjek skupova vrijedi zakon asocijativnosti.

Kutak za znatiželjne

Primjer 8.

Zadani su skupovi $A = \{1, 2, 3, 5, 7\},$ $B = \{2, 4, 6, 8\}$ i $C = \{2, 3, 4, 6, 12\} .$

Odredimo:

a. $A \cup (B \cap C)$

b. $(A \cup B) \cap (A \cup C).$

a. $A \cup (B \cap C) = {1, 2, 3, 5, 7} \cup {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$

b. $(A \cup B) \cap (A \cup C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} \cap {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$

Primjer 9.

Zadani su skupovi $A = \{1, 2, 3, 5, 7\},$ $B = \{2, 4, 6, 8\}$ i $C = \{2, 3, 4, 6, 12\} .$

Odredimo:

a. $A \cap (B \cup C)$

b. $(A \cap B) \cup (A \cap C).$

a. $A \cap (B \cup C) = {1, 2, 3, 5, 7} \cap {2, 3, 4, 6, 8, 12} = {2, 3}$

b. $(A \cap B) \cup (A \cap C) = {2} \cup {2, 3} = {2, 3}$

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

...i na kraju

Jesen u voćnjaku

Uvježbaj određivanja unije i presjeka skupova.

Projekt

Neka je $S$ skup biljaka i životinja koje žive u slatkim vodama, $M$ skup biljaka i životinja koje žive u morskoj vodi, a $K$ skup biljaka i životinja koje žive izvan vode.

Istraži postoje li presjeci skupova:

a. $S$ i $M$

b. $S$ i $K$

c. $M$ i $K .$

Ako postoje, navedi barem neki član presjeka.

Procijenite svoje znanje

Skup koji sadržava sve elemente koji pripadaju i skupu $A$ i skupu $B$ nazivamo

skupova

A

i $B$ . Taj je skup

skupa

$A$ i skupa $B$ .
Skup koji sadržava sve elemente koji pripadaju skupu $A$ ili skupu $B$ nazivamo

skupova

$A$ i $B$ .

null

Ako je $A = \{a, b, c, d\}$ i $B = \{c, d, e, f\},$ onda je:

A \cap B = {a, b, c, d, e, f}

A \cup B = {a, b, c, d, e, f}

A \subseteq B

B \subseteq A .

null

Neka je $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},$ $B = \{6, 7, 8, 9\}$ i $C = \{8, 9, 10\} .$

$\emptyset$	$B \cup C$
$\{6, 7, 8, 9, 10\}$	$A \cap C$
$\{8, 9\}$	$A \cup C$
$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$	$A \cap B$
${6, 7}$	$B \cap C$

null

Za neprazne skupove $A$ i $B$ uvijek vrijedi $A \cap B \subseteq A \cup B .$

null

Za skupove $A = \{d, o, b, a, r\},$ $B = \{o, d, l, i, č, a, n\}$ i $C = \{n, u, l, a\}$ vrijedi:

$A \cap B$
$B \cap C$
$A \cap (B \cap C)$
$A \cup (B \cap C) .$

null

Zadani su neprazni skupovi $A,$ $B$ i $C .$ Razvrstaj tvrdnje.

A \cap \emptyset = \emptyset

A \cup B \cup C = \emptyset

C \cap C = \emptyset

\emptyset \cup B = B

B \cap \emptyset = B

A \cap B \subseteq B

A \cup \emptyset = \emptyset

A \cup C = C \cup A

Uvijek istinito

Nikad istinito

null

$A \cup C$
$A \cap B \cap C$
$B \cap (A \cup C)$
$A \cup B$
$(A \cup B) \cap C$

$A \cap B \cap C$	$\{c\}$
$A \cup (B \cap C)$	$\{b, c, d, f, g, h\}$
$C \cup (A \cap B)$	$\{a, b, c, d, f\}$
$(A \cup B) \cup C$	$\{a, b, c, d, e, f, g, h\}$

$\bar{A D}$	unija dužina $\bar{B D}$ i $\bar{C E}$
$\bar{B E}$	presjek dužina $\bar{A C}$ i $\bar{E C}$
${C}$	presjek dužina $\bar{A C}$ i $\bar{B D}$
$\bar{B C}$	unija dužina $\bar{B C}$ i $\bar{A D}$
$\emptyset$	presjek dužina $\bar{A B}$ i $\bar{C D}$

1.4 Unija i presjek skupova

Na početku...

Presjek skupova

Presjek skupova

Primjer 1.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zanimljivost

Primjer 2.

Unija skupova

Unija skupova

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 4.

Unija i presjek više skupova

Primjer 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 6.

Svojstva unije i presjeka

Primjer 5.

Primjer 6.

Primjer 7.

Kolekcija zadataka #3

Kutak za znatiželjne

Primjer 8.

Primjer 9.

...i na kraju

Projekt

Procijenite svoje znanje

Uvijek istinito

Nikad istinito

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: