Petra i Matko slažu kockice. Odlučili su, koristeći samo 3 jednake kockice, složiti što više različitih građevina. Pogledajte što su sve složili!
Jesu li sve ove građevine zaista međusobno različite?
Neke od građevina su zapravo jednake, samo su postavljene drukčije, tj. vidljive su s različitih strana. Primjerice, jednake su građevine na slici:
Što je zajedničko svim ovim građevinama?
Sve ove građevine zauzimaju jednak prostor, 3 jedinice (3 jedinične kocke). Kažemo da sve ove građevine imaju isti volumen.
Sva tijela zauzimaju određeni prostor. Mjera zauzetog prostora naziva se volumen ili obujam tijela.
Obujam ili volumen tijela je broj jediničnih kocaka koje potpuno popunjavaju tijelo.
Osnovna mjerna jedinca za volumen je kubni metar ( 1 m31 m3).
Kubni metar je volumen kocke kojoj je brid duljine 1 metar.
Uz osnovne mjerne jedinice, postoje veće i manje jedinice za mjerenje volumena. Od većih spominjemo kubni kilometar (oznaka
km3), a od manjih kubmi decimetar (oznaka
dm3), kubni centimetar (oznaka
cm3) i kubni milimetar (oznaka
mm3).
U sljedećoj su tablici navedene veze među mjernim jedinicama za volumen.
1 m3=1 000 dm3 |
1 m3=1 000 000 cm3 |
1 m3=1 000 000 000 mm3 |
1 dm3=1 000 cm3 |
1 dm3=1 000 000 mm3 |
1 cm3=1 000 mm3 |
1 km3=1 000 000 000 m3 |
Za volumen tekućine kao mjernu jedinicu najčešće upotrebljavamo litru, te manje mjerne jedinice ‒ decilitar, centilitar i mililitar.
Prisjeti se
1 l = 1 dm3
Primjer 1.
Preračunajmo iz većih u manje mjerne jedinice za volumen.
13 m3 u kubne decimetre
2.7 dm3 u kubne centimetre
0.6 dm3 u kubne milimetre
15.5 cm3 u kubne milimetre
0.25 km3 u kubne metre
13 m3=13·1000=13 000 dm3
2.7 dm3=2.7·1000 =2 700 cm3
0.6 dm3=0.6·1 000 000=600 000 mm3
15.5 cm3=15.5·1000=15 500 mm3
0.25 km3=0.25·1 000 000=250 000 m3
Primjer 2.
Preračunajmo iz manjih u veće mjerne jedinice za volumen.
472 cm3 u kubne decimetre
6 250 dm3 u kubne metre
3 425 mm3 u kubne decimetre
469 750 m3 u kubne kilometre
54 258 700 mm3 u kubne decimetre
472 cm3=472:1 000=0.472 dm3
6 250 dm3=6 250:1 000=6.25 m3
3 425 mm3=3 245:1 000 000=0.003425 dm3
469 750 m3=469 750:1 000 000 000=0.00046975 km3
54 258 700 mm3=54 258 700:1 000 000=54.2587 dm3
Odaberi ispravne jednakosti.
Dopuni jednakosti.
Kocka je geometrijsko tijelo omeđeno sa šest sukladnih (jednakih) kvadrata koje nazivamo stranama kocke.
Kocka, uz šest strana, ima 8 vrhova i 12 bridova.
Duljine svih bridova kocke međusobno su jednake.
Istražimo
Istraži kako volumen kocke ovisi o duljini njezina brida
Volumen ili obujam kocke jednak je broju jediničnih kocaka koje ju potpuno ispunjavaju.
Volumen kocke s bridom duljine 1 cm iznosi 1 cm3.
Volumen kocke s bridom duljine a računamo prema formuli V=a·a·a, što kraće zapisujemo V=a3.
Primjer 3.
Izračunajmo volumen kocke s bridom duljine:
a) a=4 cm,
b) a=0.7 dm.
a) Uvrštavanjem zadanog podatka u izraz
V=a3=a·a·a
, dobivamo
V=43=4·4·4, tj.
V=64 cm3.
b) Uvrštavanjem zadanog podatka u izraz
V=a3=a·a·a
, dobivamo
V=0.73=0.7·0.7·0.7, tj.
V=0.343 dm3.
Koliki je volumen kocke s bridom duljine a=1 dm?
Kvadar je geometrijsko tijelo omeđeno s tri para međusobno sukladnih (jednakih) pravokutnika koje nazivamo stranama kvadra.
Kvadar, uz šest strana, ima
8 vrhova i
12 bridova.
Istražimo
Istraži kako volumen kvadra ovisi o duljinama njegovih bridova. Jedinične kockice "primi" za crvenu točku i posloži ih jednu do druge (bez preklapanja i praznog prostora) dok ne "napuniš" kvadar.
Volumen ili obujam kvadra jednak je broju jediničnih kocaka koje ga potpuno ispunjavaju.
Volumen kvadra s bridovima duljine a, b i c računamo prema formuli V=a·b·c. Dakle, volumen kvadra jednak je umnošku duljina triju bridova koji se sastaju u istom vrhu.
Primjer 4.
Izračunajmo volumen kvadra s bridovima duljine a=4 cm, b=6 cm, c=1 dm.
Nakon ujednačavanja mjernih jedinica ( a=4 cm, b=6 cm, c=10 cm), zadane podatke uvrštavamo u izraz (formulu) V=a·b·c,
Uvrštavanjem nalazimo da je V=4·6·10, tj. da je V=240 cm3.
Primjer 5.
Volumen nekog kvadra iznosi 35.2 dm3, a duljine njegovih bridova su a=32 cm i b=2.5 dm. Kolika je duljina brida c?
Uvrstimo li zadane podatke (nakon ujednačavanja mjernih jedinica) u izraz za računanje volumena kvadra V=a·b·c, dobit ćemo:
35 200=32·25·c, odnosno 32 500=800·c.
Rješavanjem ove jednadžbe (sjeti se: nepoznati faktor nalazimo tako da umnožak podijelimo poznatim faktorom) dobivamo da je
c=35 200:800=44 cm.
U akvarij u obliku kvadra s bridovima duljine
a=40 cm,
b=3 dm i
c=2.5 dm uliveno je
18 l vode. Do koje se visine podigla razina vode u akvariju? Koliko bi litara vode još stalo do vrha tog akvarija?
(Napomena:
c je visina akvarija).
Volumen tog akvarija je
V=40·30·25=30 000 cm3, tj. u njega stane
30 l vode.
Površina dna tog akvarija je 40·30=1 200 cm2 pa uvrštavanjem u formulu za volumen kvadra V=a·b·c dobivamo da su visina vode h i volumen ulivene vode povezani jednadžbom 18 000=1 200·h. Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je visina vode u akvariju h=18 000:1 200=15 cm.
Količinu vode koja bi još stala u akvarij možemo izračunati na dva načina.
I. način ‒ Ako je volumen akvarija 30 l, a u njemu je već 18 l vode, u akvarij stane još 12 l vode.
II. način ‒ Ako je akvarij pun do visine od
15 cm, do ruba akvarija ima još
25-15=10 cm. Volumen vode koja još stane u akvarij jednak je
1 200 ·10=12 000 cm3=12 dm3=12 l.