x
Učitavanje

7.4 Volumen kocke i kvadra

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica

Na početku...

Petra i Matko slažu kockice. Odlučili su, koristeći samo 3 jednake kockice, složiti što više  različitih građevina. Pogledajte što su sve složili!

Građevine od 3 kockice
Na slici je 9 građevina od 3 kockice. Prva u jednoj liniji ima 3 kockice. Durga je u obliku polegnutog slova L, treća je u obliku uspravnog slova L, četvrta je u obliku polegnutog slova L, peta je u obliku uspravnog slova L, šesta je u obliku uspravnog slova L, sedma je u obliku polegnutog slova L, osma je uspravna i deveta je polegnuta linija od 3 kockice.

Zadatak 1.

Jesu li sve ove građevine zaista međusobno različite?

Neke od građevina su zapravo jednake, samo su postavljene drukčije, tj. vidljive su s različitih strana. Primjerice, jednake su građevine na slici:

Građevine od 3 kockice - jednake
Građevine od 3 kockice - jednake. 
1. Polegnute u jednoj liniji (dvije)
2. U obliku slova L, polegnute (3)
3. U obliku slova L, uspravne (3)

Zadatak 2.

Što je zajedničko svim ovim građevinama?

Sve ove građevine zauzimaju jednak prostor, 3 jedinice (3 jedinične kocke). Kažemo da sve ove građevine imaju isti volumen.


Volumen (obujam)

Sva tijela zauzimaju određeni prostor. Mjera zauzetog prostora naziva se volumen ili obujam tijela.

Geometrijska tijela
Geometrijska tijela, valjak, kvadar, kocka, stožac i piramida.

Obujam ili volumen tijela je broj jediničnih kocaka koje potpuno popunjavaju tijelo.

Osnovna mjerna jedinca za volumen je kubni metar ( 1 m31 m3).

Kubni metar je volumen kocke kojoj je brid duljine 1 metar.

Uz osnovne mjerne jedinice, postoje veće i manje jedinice za mjerenje volumena. Od većih spominjemo kubni kilometar (oznaka km3), a od manjih kubmi decimetar (oznaka dm3), kubni centimetar (oznaka cm3) i kubni milimetar (oznaka mm3).

U sljedećoj su tablici navedene veze među mjernim jedinicama za volumen.

1 m3=1 000 dm3 
1 m3=1 000 000 cm3 
1 m3=1 000 000 000 mm3 
1 dm3=1 000 cm3 
1 dm3=1 000 000 mm3 
1 cm3=1 000 mm3 
1 km3=1 000 000 000 m3 

Za volumen tekućine kao mjernu jedinicu najčešće upotrebljavamo litru, te manje mjerne jedinice ‒ decilitar, centilitar i mililitar.

Prisjeti se 1 l = 1 dm3 

Primjer 1.

Preračunajmo iz većih u manje mjerne jedinice za volumen.

13 m3 u kubne decimetre

2.7 dm3 u kubne centimetre

0.6 dm3 u kubne milimetre

15.5 cm3 u kubne milimetre

0.25 km3 u kubne metre

13 m3=13·1000=13 000 dm3

2.7 dm3=2.7·1000 =2 700 cm3

0.6 dm3=0.6·1 000 000=600 000 mm3

15.5 cm3=15.5·1000=15 500 mm3

0.25 km3=0.25·1 000 000=250 000 m3 


Primjer 2.

Preračunajmo iz manjih u veće mjerne jedinice za volumen.

472 cm3 u kubne decimetre

6 250 dm3 u kubne metre

3 425 mm3 u kubne decimetre

469 750 m3 u kubne kilometre

54 258 700 mm3 u kubne decimetre

472 cm3=472:1 000=0.472 dm3

6 250 dm3=6 250:1 000=6.25 m3

3 425 mm3=3 245:1 000 000=0.003425 dm3

469 750 m3=469 750:1 000 000 000=0.00046975 km3

54 258 700 mm3=54 258 700:1 000 000=54.2587 dm3 


Zadatak 3.

Odaberi ispravne jednakosti.

null
null

Zadatak 4.

Dopuni jednakosti.

4.5 cm3=
mm3.
null
null
0.4 cm3=
dm3.
null
null
4 500 cm3=
dm3.
null
null

Volumen kocke

Kocka je geometrijsko tijelo omeđeno sa šest sukladnih (jednakih) kvadrata koje nazivamo stranama kocke.

Kocka
kocka

Kocka, uz šest strana, ima 8 vrhova i 12 bridova.

Duljine svih bridova kocke međusobno su jednake.

Istražimo

Istraži kako volumen kocke ovisi o duljini njezina brida

Volumen ili obujam kocke jednak je broju jediničnih kocaka koje ju potpuno ispunjavaju.

Volumen kocke s bridom duljine 1 cm iznosi 1 cm3.

Kocke s bridom 1, 2 i 3
Kocke s bridom 1, 2 i 3. Prva kocka je najmanja, druga je malo veća dok je treća najveća.

Volumen kocke s bridom duljine a računamo prema formuli V=a·a·a, što kraće zapisujemo V=a3.

Primjer 3.

Izračunajmo volumen kocke s bridom duljine:

a) a=4 cm,

b) a=0.7 dm.

a) Uvrštavanjem zadanog podatka u izraz  V=a3=a·a·a , dobivamo V=43=4·4·4, tj. V=64 cm3.

b) Uvrštavanjem zadanog podatka u izraz  V=a3=a·a·a , dobivamo V=0.73=0.7·0.7·0.7, tj. V=0.343 dm3.


Zadatak 5.

Koliki je volumen kocke s bridom duljine a=1 dm?

null
null

Zadatak 6.

U kutiju oblika kocke s bridom duljine 4 dm slažu se manje kocke, s bridom duljine 5 cm. Na dno te kutije možemo složiti najviše
manje
kutije. U veliku kutiju stane ukupno
malih
kutija.
Ako je u veliku kutiju već složeno 145 malih kutija, do polovine ukupnog broja treba dodati još
malih
kutija.
null
null

Volumen kvadra

Kvadar  je geometrijsko tijelo omeđeno s tri para međusobno sukladnih (jednakih) pravokutnika koje nazivamo stranama kvadra.

Kvadar
kvadar

Kvadar, uz šest strana, ima 8 vrhova i 12 bridova.

Istražimo

Istraži kako volumen kvadra ovisi o duljinama njegovih bridova. Jedinične kockice "primi" za crvenu točku i posloži ih jednu do druge (bez preklapanja i praznog prostora) dok ne "napuniš" kvadar.

Volumen ili obujam kvadra jednak je broju jediničnih kocaka koje ga potpuno ispunjavaju.

Jedinična kocka i kvadar 3 x 2 x 4
jedinična kocka i kvadar 3 x 2 x 4

Volumen kvadra s bridovima duljine a, b i c računamo prema formuli V=a·b·c. Dakle, volumen kvadra jednak je umnošku duljina triju bridova koji se sastaju u istom vrhu.

Primjer 4.

Izračunajmo volumen kvadra s bridovima duljine a=4 cm, b=6 cm, c=1 dm.

Nakon ujednačavanja mjernih jedinica ( a=4 cm, b=6 cm, c=10 cm), zadane podatke uvrštavamo u izraz (formulu) V=a·b·c,

Uvrštavanjem nalazimo da je V=4·6·10, tj. da je V=240 cm3.


Primjer 5.

Volumen nekog kvadra iznosi 35.2 dm3, a duljine njegovih bridova su a=32 cm  i b=2.5 dm. Kolika je duljina brida c?

Uvrstimo li zadane podatke (nakon ujednačavanja mjernih jedinica)  u izraz za računanje volumena kvadra V=a·b·c, dobit ćemo:

35 200=32·25·c, odnosno   32 500=800·c.

Rješavanjem ove jednadžbe (sjeti se: nepoznati faktor nalazimo tako da umnožak podijelimo poznatim faktorom) dobivamo da je c=35 200:800=44 cm.


Zadatak 7.

U akvarij u obliku kvadra s bridovima duljine a=40 cm,  b=3 dm i c=2.5 dm uliveno je 18 l  vode. Do koje se visine podigla razina vode u akvariju? Koliko bi litara vode još stalo do vrha tog akvarija? (Napomena: c je visina akvarija).

Volumen tog akvarija je V=40·30·25=30 000 cm3, tj. u njega stane 30 l  vode.

Površina dna tog akvarija je 40·30=1 200 cm2 pa uvrštavanjem u formulu za volumen kvadra V=a·b·c  dobivamo da su visina vode  h i volumen ulivene vode povezani jednadžbom 18 000=1 200·h. Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je visina vode u akvariju h=18 000:1 200=15 cm.

Količinu vode koja bi još stala u akvarij možemo izračunati na dva načina.

I. način ‒ Ako je volumen akvarija 30 l, a u njemu je već 18 l vode, u akvarij stane još 12 l vode.

II. način ‒ Ako je akvarij pun do visine od 15 cm, do ruba akvarija ima još 25-15=10 cm. Volumen vode koja još stane u akvarij jednak je 1 200 ·10=12 000 cm3=12 dm3=12 l.


...i na kraju

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh