Matematika 5 - 4.3 Susjedni i vršni kutovi

Kut

Promotri animaciju.

Zamislimo pod kao ravninu.

Prag, prikazan polupravcem $a,$ nije se pomicao. Donji rub vrata, prikazan polupravcem $b,$ zakretao se oko točke u kojoj se spaja prag s donjim rubom vrata.

Na taj je način nastao dio ravnine koji nazivamo kut.

Još jedanput promotri nastajanje kuta.

Vidimo da kut nastaje iz dvaju polupravaca sa zajedničkom početnom točkom tako da se jedan od polupravaca zakreće oko početne točke. Dio ravnine između tih dvaju polupravaca, uključujući te polupravce, određuje kut.

Kut

Kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima sa zajedničkom početnom točkom, uključujući sve točke tih polupravaca. Ta se početna točka naziva vrh kuta, a polupravci su krakovi kuta.

Primjer 1.

Na slici su nacrtana dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom. Koliko kutova određuju ta dva polupravca?

Broj kutova - zadatak

Dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom određuju dva kuta.

Dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom (rješenje). — Broj kutova - rješenje

S obzirom na to da dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom određuju dva kuta, važno je označiti kut na koji mislimo (u zadatku ili u njegovu rješenju) te ga zato ističemo lukom (dijelom kružnice).

Ako luk nije nacrtan, promatramo manji od tih dvaju kutova.

Kut imenujemo s pomoću njegovih krakova (polupravaca) i vrha kuta.

Nacrtani kut označujemo $∡ a V b$ ili $∡ b V a .$

Kut možemo imenovati i s pomoću točaka na krakovima kuta i vrha kuta.

Nacrtani kut označujemo $∡ A V B$ ili $∡ B V A .$ (Srednja točka oznake je vrh kuta.)

Promotri sliku.

Koji su kutovi prikazani na slici?

∡ A E C

∡ B C E

∡ D E C

∡ D E A

∡ D A E

null

Primjer 2.

Koje točke pripadaju kutu $∡ a V b,$ a koje mu ne pripadaju.

Kut aVb

Točke $V,$ $D,$ $E,$ $H$ i $F$ pripadaju kutu $∡ a V b,$ a točke $C$ i $G$ mu ne pripadaju.

Mjerenje i crtanje kutova

Veličinu kuta mjerimo s pomoću kutomjera.

Veličinu kuta nazivamo još i mjera kuta.

Kutomjeri

Mjerna jedinica za veličinu kuta je kutni stupanj ( $1 °$ ).

Jedan kutni stupanj ima $60$ kutnih minuta, a jedna kutna minuta $60$ kutnih sekunda.

$\begin{array}{l} 1 ° = 60' \\ 1' = 60 " \\ 1 ° = 3 600 " \end{array}$

Promotri sliku.

3 kutomjera i specifični kutovi — Kutomjer i specifični kutovi

Pravi kut je kut kojemu je veličina $90 ° .$

Ispruženi kut je kut kojemu je veličina $180 ° .$

Puni kut je kut kojemu je veličina $360 ° .$

Šiljasti kut je kut kojemu je veličina manja od $90 ° .$

Tupi kut je kut kojemu je veličina veća od $90 °,$ a manja od $180 ° .$

Izbočeni kut je kut kojemu je veličina veća od $180 °,$ a manja od $360 ° .$

Zapamti vrste kutova s pomoću apleta.

Kut kojemu je veličina $180 °$ naziva se

.

Kut kojemu je mjera

90 °

naziva se

.

Kut kojemu je veličina

360 °

naziva se

.

Kut kojemu je veličina manja od

90 °

naziva se

.

Kut kojemu je veličina veća od

180 °,

a manja od

360 °

naziva se

.

Kut kojemu je veličina veća od

90 °,

a manja od

180 °

naziva se

.

null

Primjer 3.

Pogledaj kako se mjere kutovi s pomoću kutomjera.

Primjer 4.

Pogledaj kako se crtaju kutovi s pomoću kutomjera.

Zadatak 2.

Uvježbaj mjerenje kutova.

Primjer 5.

Preračunajmo.

a) $12 °$ u kutne minute

b) $5'$ u kutne sekunde

c) $4 ° 3'$ u kutne sekunde

a) $12 ° = 12 \cdot 60' = 720'$

b) $5' = 5 \cdot 60 " = 300 "$

c) $4 ° 3' = 4 \cdot 3 600 " + 3 \cdot 60 " = 14 400 " + 180 " = 14 580 "$

Primjer 6.

Preračunajmo.

a) $360'$ u stupnjeve

b) $25 200 "$ u stupnjeve

a) $360' = (360 : 60) ° = 6 °$

b) $25 200 " = (25 200 : 3 600) ° = 7 °$

Veličinu (mjeru) kuta $∡ a V b$ označujemo $|∡ a V b| .$

Veličinu kutova možemo označavati i slovom grčke abecede.

Često oznaku veličine kuta slovom grčke abecede poistovjećujemo s oznakom samoga kuta. U tom slučaju umjesto $|∡ a V b| = α$ pišemo $∡ a V b = α .$

Prvih nekoliko slova čitamo:

$α$ – alfa

$β$ – beta

$γ$ – gama

$δ$ – delta.

Imenovanje kuta grčkim alfabetom — Imenovanje kuta - alfabet

Sukuti ili susjedni kutovi

Na primjer vlati trave prikazuju se sukuti. — Sukuti - kontekst

Susjedni kutovi ili sukuti

Dva kuta koji imaju jedan zajednički krak, a drugi su im krakovi suprotni polupravci istoga pravca nazivamo susjednim kutovima ili sukutima. Zbroj veličina susjednih kutova iznosi $180 ° .$

Primjer 7.

Izračunajmo veličinu kuta $β$ kojemu sukut $α$ ima veličinu:

a) $56 °$

b) $112 ° 14'.$

a) $β = 180 ° - 56 ° = 124 °$

b) Prisjeti se, $1 ° = 60' .$

$β = 180 ° - 112 ° 14' = 179 ° 60' - 112 ° 14' = 67 ° 46'$

Zadatak 3.

Uvježbaj određivanje veličine sukuta zadanog kuta koristeći se sljedećim apletom.

Zadatak 4.

Kut $α$ i $β$ su sukuti.

Označi sve tvrdnje koje mogu biti istinite.

Jedan od njih je tupi, a drugi šiljasti kut.

Jedan od njih je pravi, a drugi šiljasti kut.

Oba su kuta prava.

Oba su kuta šiljasta.

null

Promotri sljedeću animaciju. Koliki je zbroj veličina prikazanih kutova?

Suplementarni kutovi

Dva kuta kojima je zbroj veličina $180 °$ nazivamo suplementarni kutovi.

Zadatak 5.

Dva su sukuta uvijek suplementarna.

Da

Ne

null

Dva suplementarna kuta uvijek su sukuti.

Da

Ne

null

Postupak:

Zbroj dva suplementarna kuta mora biti $180 °,$ ali oni ne moraju dijeliti zajednički krak.

Ako je veličina kuta

α = 56 °,

tada je veličina njegova suplementarnog kuta

β =

° .

null

Ako je veličina kuta

α = 25 ° 44',

tada je veličina njegova suplementarnog kuta

β =

°

' .

Pomoć:

Prisjeti se, $180^{°} = 179^{°} 60^{'} .$

null

Primjer 8.

Dva su kuta suplementarna pri čemu je jedan tri puta veći od drugog. Kolike su veličine tih kutova?

Sukuti, 3 alfa i alfa

$\begin{array}{l} α + 3 \cdot α = 180 ° \\ 4 \cdot α = 180 ° \\ α = 180 ° : 4 \\ α = 45 ° \end{array}$

$45 ° \cdot 3 = 135 °$

Veličina manjeg kuta je $45 °,$ a većeg $135 ° .$

Vršni kutovi

Kraci škara određuju četiri kuta.

Parovi nastalih kutova koji imaju zajednički vrh i zajednički krak su susjedni kutovi (zajedno daju ispruženi kut).

Parovi nastalih kutova koji imaju zajednički vrh, ali nemaju zajednički krak međusobno su jednakih veličina. Takve kutove nazivamo vršni kutovi.

Vršni kutovi

Vršni kutovi su kutovi jedakih veličina koji dijele zajednički vrh, a kraci su im suprotni polupravci istog pravca.

Primjer 9.

Odredimo veličinu kuta $α .$

Vršni kut zadanog kuta

Kut $α$ vršni je kut istaknutog kuta te je i njegova veličina $55 ° .$

Kolekcija zadataka #2

Odredi veličine nepoznatih kutova na slici.

α =

° .

β =

° .

γ =

° .

Pomoć:

Vršni kutovi su jednakih veličina. Zbroj veličina dvaju susjednih kutova je $180 ° .$

null

Veličina kuta

α

iznosi

° .

Pomoć:

Zbroj veličina triju prikazanih kutova je $180 ° .$

null

Veličina kuta

α

iznosi

°,

veličina kuta

β

iznosi

°,

a veličina kuta

γ

iznosi

° .

Pomoć:

Vršni kutovi su jednakih veličina. Zbroj veličina dvaju susjednih kutova je $180 ° .$

null

...i na kraju

Za kraj možeš se poigrati procjenom veličine kutova. Pri rješavanju primijeni znanje o sukutima i vršnim kutovima.

Povećaj interaktivni prikaz

4.3 Susjedni i vršni kutovi

Na početku...

Kut

Kut

Primjer 1.

Primjer 2.

Vrste kutova

Kolekcija zadataka #1

Pravi kut

Ispruženi kut

Šiljasti kut

Tupi kut

Puni kut

Izbočeni kut

Zadatak 1.

Mjerenje i crtanje kutova

Primjer 3.

Primjer 4.

Zadatak 2.

Primjer 5.

Primjer 6.

Sukuti ili susjedni kutovi

Susjedni kutovi ili sukuti

Primjer 7.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Suplementarni kutovi

Zadatak 5.

Primjer 8.

Vršni kutovi

Vršni kutovi

Primjer 9.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju