Matematika 5 - 5.1 Pojam i prikazivanje razlomaka

Na početku...

U životu si često čuo izraze poput ovih koji se spominju u animaciji. U ovoj jedinici naučit ćeš što oni točno znače i kako se prikazuju.

00:00

Na slici je prikazana jabuka koja je rezanjem podijeljena na dva jednaka dijela. Svaki od tih dijelova naziva se polovica jabuke.

Matematički to zapisujemo $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ te čitamo jedna polovina.

Polovine jabuke jedne crvene jabuke koje se nalaze na zelenim listovima — Polovine jabuke

Na slici je prikazan kolač koji je rezanjem podijeljen na osam jednakih dijelova. Svaki od tih dijelova naziva se osmina kolača.

Matematički to zapisujemo $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ te čitamo jedna osmina.

Crni kolač posipan šećerom u prahu i na vrhu je štapić cimeta. Lijevo od kolača nalaze se 3 vilice, a desno od kolača su grane od drveta. — Kolač

U nekom paketiću bile su tri lizalice. Tri prijateljice podijelile su ih pravedno, tako da svaka dobije jednak broj lizalica. Svaka je na taj način dobila jednu od triju lizalica.

Matematički to zapisujemo $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ te čitamo jedna trećina.

Ruke drže lizalive. Dvije su crveno-roze, a jedna je žuta. — Lizalice

Na slici su prikazana tri jednaka mafina. Dva od triju jednakih mafina ukrašena su cvijećem.

Matematički to zapisujemo $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ te čitamo dvije trećine.

3 muffina na pladnju ukrašena šlagom i bombončićima. Na pladnju se nalaze i ružice, dok su pored pladnja bijeli kolačići. — Muffini

Brojeve kao što su $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{8},$ $\frac{1}{8},$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ nazivamo razlomcima.

Kako čitamo razlomke?

Razlomak	Čitanje razlomka
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$	jedna polovina
$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$	jedna trećina
$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$	jedna četvrtina
$\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$	jedna petina
$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$	jedna šestina
$\frac{5}{8}$ $\frac{5}{8}$	pet osmina

Razlomkom iskazujemo dio cjeline.

Primjer 1.

Nacrtajmo kvadrat i obojimo jednu polovinu kvadrata.

Kvadrat je potrebno podijeliti na dva jednaka dijela, a zatim obojiti jedan od tih dijelova. Neka od mogućih rješenja prikazana su slikama.

Podjela 4 kvadrata na dva jednaka dijela. Prvi kvadrat je podijeljen okomito po sredini, drugi je podijeljen vodoravno po sredini, treći je podijeljen po dijagonali, a četvrti je okomito podijeljen nepravilnom crtom. — Kvadrat

Prikazivanje razlomaka sjenčanjem dodatno istraži pomoću sljedećeg apleta.

Kolekcija zadataka #1

Jedno cijelo ima

četvrtine.

null

Jedno cijelo ima

sedmina.

null

Razlomak

\frac{7}{9}

$\frac{7}{9}$ čita se sedam

null

Razlomak

\frac{5}{13}

$\frac{5}{13}$ čita se pet

null

Koji je dio cjeline osjenčan?

Slike kruga i pravokutnika podijeljene na jednake dijelove i s nekim dijelovima osjenčanim.

tri osmine

dvije petine

pet sedmina

tri četvrtine

null

Poveži odgovarajuće parove.

$\frac{3}{7}$ $\frac{3}{7}$	tri sedmine
$\frac{5}{11}$ $\frac{5}{11}$	pet jedanaestina
$\frac{5}{7}$ $\frac{5}{7}$	pet sedmina
$\frac{9}{11}$ $\frac{9}{11}$	devet jedanaestina
$\frac{5}{9}$ $\frac{5}{9}$	pet devetina

null

Brojnik razlomka pokazuje koliko dijelova promatramo.

Nazivnik razlomka pokazuje na koliko jednakih dijelova dijelimo cjelinu.

Razlomak 1/5. Broj 1 nalazi se iznad crte i strelica nam označava da se radi o brojniku. Ispod broja 1 nalazi se crta i strelica nam označava da se radi o razlomačkoj crti. Broj 5 nalazi se ispod crte i strelica nam označava da se radi o nazivniku. — Razlomak

Kolekcija zadataka #2

Likovi podjeljeni na četiri dijela. Jedna od slika nije pravilno podijeljena na četvrtine.

Lik označen slovom

nije pravilno podijeljen na četvrtine.

Pomoć:

Dijelovi trebaju biti jednaki!

null

Od $20$ $20$ učenika nekog petog razreda $3$ $3$ učenika nose slušno pomagalo. Koji dio učenika ima oštećenje sluha?

\frac{20}{3}

$\frac{20}{3}$

\frac{20}{23}

$\frac{20}{23}$

\frac{3}{20}

$\frac{3}{20}$

\frac{3}{23}

$\frac{3}{23}$

null

Četiri litre sirupa od bazge pretočeno je u $5$ $5$ jednakih boca. Koliko se litara sirupa od bazge nalazi u svakoj boci?

\frac{4}{5}

$\frac{4}{5}$

\frac{5}{4}

$\frac{5}{4}$

\frac{4}{9}

$\frac{4}{9}$

\frac{5}{9}

$\frac{5}{9}$

null

Primjer 2.

Petra i Mihaela provode kišni dan u kući. Osmislile su igru. Nacrtale su sljedeće polje na koje s udaljenosti od $2 m$ $2 m$ moraju baciti novčić. Ako se novčić zaustavi na žutom polju, Petra osvaja bod, a ako se zaustavi na plavom polju, Mihaela osvaja bod. Koji je dio ploče obojen žutom, a koji plavom bojom? Je li igra pravedna? Objasni.

Polje za igru

Žutom bojom obojeno je tri osmine, a plavom bojom pet osmina ploče. Igra nije pravedna jer je dio koji je obojen žutom bojom manji od dijela obojenog plavom bojom.

Primjer 3.

Maja je svoj rođendan proslavila sa svojim roditeljima, bratom, bakom i djedom. Njezinu rođendansku tortu razrezali su na osam jednakih dijelova. Svatko od njih na proslavi je pojeo po jedan komad torte. Prije spavanja Maja je pojela još dva komada torte.

Koji je dio torte na proslavi pojeo svaki od njih?

Koji su dio torte na proslavi pojeli zajedno?

Koji je dio torte ostao nakon proslave?

Koji je dio torte Maja pojela prije spavanja?

Koji je dio torte ostao nakon što je Maja otišla na spavanje?

Čokoladna torta

Svaki od njih na proslavi je pojeo po $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ torte.
Zajedno su na proslavi pojeli $\frac{6}{8}$ $\frac{6}{8}$ torte.
Nakon proslave ostale su $\frac{2}{8}$ $\frac{2}{8}$ torte.
Maja je prije spavanja pojela još $\frac{2}{8}$ $\frac{2}{8}$ torte.
Nakon što je Maja otišla na spavanje, ostalo je $\frac{0}{8},$ $\frac{0}{8},$ tj. sva je torta pojedena.

Dijagram kućnih ljubimaca. Prvi ljubičasti stupac označava odabir psa i stupac ide do broja 4. Drugi stupac označava odabir mačke i ide do broja 2. — Dijagram odabira kućnih ljubimaca

Zadatak 1.

Leova obitelj glasovala je za kućnog ljubimca kojeg žele nabaviti. Prikupljeni podatci prikazani su dijagramom.

Koji je udio članova obitelji glasovao za psa, a koji za mačku? Odgovore iskaži riječima i razlomkom.

Za psa je glasovalo četiri šestine ili $\frac{4}{6}$ $\frac{4}{6}$ članova obitelji dok je za mačku glasovalo dvije šestine ili $\frac{2}{6}$ $\frac{2}{6}$ članova obitelji.

Razlomci i dijeljenje

Primjer 4.

Učiteljica Branka ima malu čokoladu. Koji će dio čokolade dobiti svako dijete ako je pravedno podijeli na:

a) dvoje djece

b) četvero djece

c) osmero djece?

Čokolada

a) Ako čokoladu pravedno podijeli na dvoje djece, svako će dijete dobiti $1 : 2,$ $1 : 2,$ tj. $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ (jednu polovinu) čokolade.

b) Ako čokoladu pravedno podijeli na četvero djece, svako će dijete dobiti $1 : 4,$ $1 : 4,$ tj. $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ (jednu četvrtinu) čokolade.

c) Ako čokoladu pravedno podijeli na osmero djece, svako će dijete dobiti $1 : 8,$ $1 : 8,$ tj. $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ (jednu osminu) čokolade.

U prethodnom je primjeru moguće primijetiti da smo jednu čokoladu dijelili na dvoje djece te smo dobili da je $1 : 2 = \frac{1}{2} .$ $1 : 2 = \frac{1}{2} .$

Na isti smo način pokazali da je $1 : 4 = \frac{1}{4}$ $1 : 4 = \frac{1}{4}$ i $1 : 8 = \frac{1}{8} .$ $1 : 8 = \frac{1}{8} .$

Zaključujemo da razlomci predstavljaju računsku operaciju dijeljenja.

Količnik dvaju prirodnih brojeva $a$ $a$ i $b$ $b$ možemo prikazati u obliku razlomka $\frac{a}{b} .$ $\frac{a}{b} .$

Primjer 5.

Napišimo u obliku količnika:

a) $\frac{2}{5}$ $\frac{2}{5}$

b) $\frac{5}{11}$ $\frac{5}{11}$

c) $\frac{0}{5}$ $\frac{0}{5}$

d) $\frac{7}{1}$ $\frac{7}{1}$

e) $\frac{13}{13}$ $\frac{13}{13}$

a) $\frac{2}{5} = 2 : 5$ $\frac{2}{5} = 2 : 5$

b) $\frac{5}{11} = 5 : 11$ $\frac{5}{11} = 5 : 11$

c) $\frac{0}{5} = 0 : 5 = 0$ $\frac{0}{5} = 0 : 5 = 0$

d) $\frac{7}{1} = 7 : 1 = 7$ $\frac{7}{1} = 7 : 1 = 7$

e) $\frac{13}{13} = 13 : 13 = 1$ $\frac{13}{13} = 13 : 13 = 1$

Ako je brojnik razlomka jednak $0,$ $0,$ taj je razlomak jednak nuli.

Svaki prirodan broj možemo napisati u obliku razlomka kojemu je nazivnik jednak broju $1 .$ $1 .$

Ako je brojnik razlomka jednak nazivniku, onda je taj razlomak jednak $1 .$ $1 .$

Primjer 6.

Napišimo u obliku razlomka:

a) $6 : 11$ $6 : 11$

b) $4 : 7$ $4 : 7$

c) $0 : 6$ $0 : 6$

a) $6 : 11 = \frac{6}{11}$ $6 : 11 = \frac{6}{11}$

b) $4 : 7 = \frac{4}{7}$ $4 : 7 = \frac{4}{7}$

c) $0 : 6 = \frac{0}{6} = 0$ $0 : 6 = \frac{0}{6} = 0$

Zadatak 2.

Razvrstaj razlomke.

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$

\frac{15}{3}

$\frac{15}{3}$

\frac{17}{17}

$\frac{17}{17}$

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

\frac{6}{1}

$\frac{6}{1}$

\frac{6}{2}

$\frac{6}{2}$

\frac{101}{101}

$\frac{101}{101}$

\frac{0}{105}

$\frac{0}{105}$

\frac{0}{19}

$\frac{0}{19}$

\frac{7}{1}

$\frac{7}{1}$

jednak broju $1$ $1$

jednak broju $0$ $0$

jednak prirodnom broju većem od $1$ $1$

Pomoć:

Prisjeti se koju računsku operaciju (radnju) predstavljaju razlomci.

null

Zadatak 3.

Ako je brojnik razlomka jednak

0,

$0,$ taj je razlomak jednak

null

Svaki prirodni broj možemo napisati u obliku razlomka kojemu je nazivnik jednak broju

null

Ako je brojnik razlomka jednak nazivniku, onda je taj razlomak jednak

null

Kolekcija zadataka #3

Ako broj

7

$7$ prikažemo u obliku razlomka s brojnikom

42,

$42,$ nazivnik tog razlomka bit će

null

Ako broj

5

$5$ prikažemo u obliku razlomka s nazivnikom

15,

$15,$ brojnik tog razlomka bit će

null

Ako broj

4

$4$ prikažemo u obliku razlomka s brojnikom

4,

$4,$ nazivnik tog razlomka bit će

null

Primjer 7.

Odredimo koliko je:

a) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ od $12$ $12$ mjeseci

b) $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ od $60$ $60$ minuta

c) $\frac{5}{8}$ $\frac{5}{8}$ od $200 m .$ $200 m .$

a) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ od $12$ $12$ mjeseci $= 12 : 3 = 4$ $= 12 : 3 = 4$ mjeseca

b) $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ od $60$ $60$ minuta $= (60 : 4) \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45$ $= (60 : 4) \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45$ minuta

c) $\frac{5}{8}$ $\frac{5}{8}$ od $200 m=(200 : 8) \cdot 3 = 25 \cdot 5 = 125 m$ $200 m=(200 : 8) \cdot 3 = 25 \cdot 5 = 125 m$

Zadatak 4.

Dopuni.

$\frac{1}{4} m =$ $\frac{1}{4} m =$

$cm$ $cm$
$\frac{3}{5} km =$ $\frac{3}{5} km =$

$m$ $m$
$\frac{4}{5} dm =$ $\frac{4}{5} dm =$

$cm$ $cm$
$\frac{7}{25} dm =$ $\frac{7}{25} dm =$

$mm$ $mm$

null

Zadatak 5.

Dopuni.

$\frac{1}{2} h =$ $\frac{1}{2} h =$

$\min$ $\min$
$\frac{1}{4} h =$ $\frac{1}{4} h =$

$\min$ $\min$
$\frac{2}{3} h =$ $\frac{2}{3} h =$

$\min$ $\min$
$\frac{3}{5} h =$ $\frac{3}{5} h =$

$\min$ $\min$

null

Kolekcija zadataka #4

Petar je imao $60 kn .$ $60 kn .$ Potrošio je $\frac{2}{5}$ $\frac{2}{5}$ tog novca.

Petar je potrošio

kn .

$kn .$ Ostalo mu je

kn .

$kn .$

Pomoć:

Potrošio je $(60 : 5) \cdot 2$ $(60 : 5) \cdot 2$ kn.

Postupak:

Potrošio je $(60 : 5) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24 kn .$ $(60 : 5) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24 kn .$ Ostalo mu je $60 - 24 = 36 kn .$ $60 - 24 = 36 kn .$

Leonarda je imala $24$ $24$ bombona. Pojela je $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ bombona.

Ostalo joj je

bombona.

Pomoć:

Ako je pojela $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ bombona, ostalo joj je $\frac{5}{8}$ $\frac{5}{8}$ bombona.

Postupak:

Pojela je $(24 : 8) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ $(24 : 8) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ bombona. Ostalo joj je $24 - 9 = 15$ $24 - 9 = 15$ bombona.

Zadatak se može riješiti i tako da se gleda udio bombona koji joj je preostao, a to je $\frac{5}{8}$ $\frac{5}{8}$ bombona.

Ostalo joj je $(24 : 8) \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$ $(24 : 8) \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$ bombona.

Tomica je imao $300 kn .$ $300 kn .$ Potrošio je $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$ novca.

Ostalo mu je

kn .

$kn .$

Pomoć:

Ostala mu je $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ novca.

Postupak:

$(300 : 6) \cdot 1 = 50 kn$ $(300 : 6) \cdot 1 = 50 kn$

Ostalo mu je 50 kn.

Ekvivalentni razlomci

Primjer 8.

Ana i Slavica naručile su dvije pizze, jednu s četiri vrste sira, a drugu miješanu. Pizzu s četiri vrste sira razrezale su na $4$ $4$ jednaka dijela, a miješanu na $8$ $8$ jednakih dijelova. Obojenim dijelovima iskazan je dio pizze koji su pojele. Koje je pizze ostalo više? Objasni svoj odgovor.

Pizze

Ostalo je $\frac{2}{8}$ $\frac{2}{8}$ pizze s četiri vrste sira te $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ miješane. Veličine preostalih dijelova jednake su te zaključujemo da je ostala jednaka količina obje pizze.

U prethodnom primjeru mogli smo primijetiti da je $\frac{2}{8} = \frac{1}{4} .$ $\frac{2}{8} = \frac{1}{4} .$ Takve razlomke nazivamo ekvivalentnim razlomcima.

Ekvivalentni razlomci određuju jednake dijelove cjeline.

Zanimljivost

Uoči: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6},$ $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6},$ $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6},$ $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6},$ $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$ $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$

Drugi razlomak dobiven je tako da su i brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnoženi s istim prirodnim brojem.

Taj se postupak naziva proširivanje razlomka.

Primjer 9.

Primjeri parova ekvivalentnih (jednakovrijednih) razlomaka:

prvi razlomak drugi razlomak

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{6}$ $\frac{3}{6}$

$\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{4}{6}$ $\frac{4}{6}$

$\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{12}{20}$ $\frac{12}{20}$

$\frac{9}{12}$ $\frac{9}{12}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$

$\frac{35}{42}$ $\frac{35}{42}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$

$\frac{24}{54}$ $\frac{24}{54}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{4}{9}$

prvi razlomak	drugi razlomak
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$	$\frac{3}{6}$ $\frac{3}{6}$
$\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$	$\frac{4}{6}$ $\frac{4}{6}$
$\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$	$\frac{12}{20}$ $\frac{12}{20}$
$\frac{9}{12}$ $\frac{9}{12}$	$\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$
$\frac{35}{42}$ $\frac{35}{42}$	$\frac{5}{6}$ $\frac{5}{6}$
$\frac{24}{54}$ $\frac{24}{54}$	$\frac{4}{9}$ $\frac{4}{9}$

Zanimljivost

Uoči: $\frac{9}{12} = \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4},$ $\frac{9}{12} = \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4},$ $\frac{35}{42} = \frac{35 : 7}{42 : 7} = \frac{5}{6},$ $\frac{35}{42} = \frac{35 : 7}{42 : 7} = \frac{5}{6},$ $\frac{24}{54} = \frac{24 : 6}{54 : 6} = \frac{4}{9} .$ $\frac{24}{54} = \frac{24 : 6}{54 : 6} = \frac{4}{9} .$

Drugi razlomak dobiven je tako da su i brojnik i nazivnik prvog razlomka podijeljeni s istim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Taj se postupak naziva skraćivanje razlomka.

Zadatak 6.

Koristeći se apletom, zadaj si razlomak te napiši barem $3$ $3$ njemu ekvivalentna razlomka.

Kolekcija zadataka #6

Jedna osmina ima

četvrtine.

Pomoć:

Pri rješavanju zadatka koristi se apletom iz zadatka 6.

null

Jedna šestina ima

osamnaestine.

Pomoć:

Pri rješavanju zadatka koristi se apletom iz zadatka 6.

null

Dvije petine imaju

desetine.

Pomoć:

Pri rješavanju zadatka koristi se apletom iz zadatka 6.

null

...i na kraju

Ponovi osnovno o razlomcima otkrivajući skrivene mjere koje nedostaju u tajnom receptu za rapsku tortu.

Sestre benediktinke u samostanu sv. Andrije svoj tajni recept za rapsku tortu, po kojem je njihova kuhinja nadaleko poznata, brižno čuvaju kao jedno od svojih najvećih blaga. Njihova glavna kuharica, koja jedina zna sve sastojke recepta, započela je s pripremom rapske torte za nadolazeće slavlje, no primila je važan poziv i hitno je morala otići. Ostalim sestrama ostavila je tajnu recepturu skrivenu u tragovima.

Istraži što je sve skriveno u kuhinji i pomozi sestrama otkriti tajni recept da bi mogle dovršiti tortu.

Povećaj interaktivni prikaz

Ako želiš možeš odigrati igru memorije. Upari razlomak i njegov odgovarajući slikovni prikaz.

Povećaj interaktivni prikaz

Na početku...

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Kolekcija zadataka #2

Primjer 2.

Primjer 3.

Zadatak 1.

Razlomci i dijeljenje

Primjer 4.

Primjer 5.

Primjer 6.

Zadatak 2.

jednak broju 11<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 1 </mn> </math>

jednak broju 00<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 0 </mn> </math>

jednak prirodnom broju većem od 11<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 1 </mn> </math>

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka #3

Primjer 7.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #4

Ekvivalentni razlomci

Primjer 8.

Zanimljivost

Primjer 9.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #5

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka #6

...i na kraju

jednak broju $1$ $1$

jednak broju $0$ $0$

jednak prirodnom broju većem od $1$ $1$