Na početku...

Matko je s roditeljima preselio u novi stan čiji je tlocrt prikazan na slici.

tlocrt stana
6 m x 5 m x 4 m x 7 m — Tlocrt stana

Kolika je površina tog stana?

Tlocrt stana nije pravilnog oblika, zapravo je on u obliku pravokutnika iz kojega je "izrezan" drugi pravokutnik, točnije - kvadrat.

Površinu tog stana možemo odrediti na više načina. Najjednostavniji je nacrtati tlocrt stana u kvadratnoj mreži, a zatim prebrojiti kvadratiće koji se nalaze na slici unutar "zidova".

Tlocrt istog tog stana u kvadratnoj mreži — Tlocrt stana u kvadratnoj mreži

Budući da površina svakog kvadratića odgovara jediničnoj površini, tj. površini od $1 m^{2},$ prebrojavanjem kvadratića dobivamo da je površina tog stana $38 m^{2} .$

Površinu takvog lika možemo izračunati primjenjujući formule za površinu pravukutnika i kvadrata. U ovoj ćeš jedinici naučiti računati površine kvadrata i pravokutnika, ali i drugih likova koji se mogu rastaviti na kvadrate i pravokutnike.

Mjerne jedinice za površinu

Osnovna mjerna jedinica za površinu je kvadratni metar (četvorni metar).

Podsjetimo se manjih i većih mjernih jedinica i njihovih međusobnih odnosa.

$1 {km}^{2} = 1 000 000 m^{2}$

$1 m^{2} = 100 {dm}^{2}$

$1 m^{2} = 10 000 {cm}^{2}$

$1 m^{2} = 1 000 000 {mm}^{2}$

$1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2}$

$1 {dm}^{2} = 10 000 {mm}^{2}$

$1 {cm}^{2} = 100 {mm}^{2}$

Primjer 1.

Preračunajmo u manje mjerne jedinice.

a) $2 {km}^{2}$ u kvadratne metre

b) $3.4 m^{2}$ u kvadratne centimetre

c) $0.2 {dm}^{2}$ u kvadratne centimetre

d) $1.2 {cm}^{2}$ u kvadratne milimetre

e) $7 {dm}^{2}$ u kvadratne milimetre

a) $2 {km}^{2} = 2 \cdot 1 000 000 = 2 000 000 m^{2}$

b) $3.4 m^{2} = 3.4 \cdot 10 000 = 34 000 {cm}^{2}$

c) $0.2 {dm}^{2} = 0.2 \cdot 100 = 20 {cm}^{2}$

d) $1.2 {cm}^{2} = 1.2 \cdot 100 = 120 {mm}^{2}$

e) $7 {dm}^{2} = 7 \cdot 10 000 = 70 000 {mm}^{2}$

Primjer 2.

Preračunajmo u veće mjerne jedinice.

a) $1 400 m^{2}$ u kvadratne kilometre

b) $155 {cm}^{2}$ u kvadratne metre

c) $60 {cm}^{2}$ u kvadratne decimetre

d) $245 {dm}^{2}$ u kvadratne metre

e) $74 {mm}^{2}$ u kvadratne decimetre

a) $1 400 m^{2} = 1 400 : 1 000 000 = 0.0014 {km}^{2}$

b) $155 {cm}^{2} = 155 : 10 000 = 0.0155 m^{2}$

c) $60 {cm}^{2} = 60 : 100 = 0.6 {dm}^{2}$

d) $245 {dm}^{2} = 245 : 100 = 2.45 m^{2}$

e) $74 {mm}^{2} = 74 : 10 000 = 0.0074 {dm}^{2}$

Primijeni preračunavanje mjernih jedinica i riješi zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Preračunaj mjerne jedinice za površinu.

$36 520 m^{2} =$

${dm}^{2}$
$3 625 {cm}^{2} =$

$m^{2}$
$365.2 {mm}^{2} =$

${cm}^{2}$

null

Odaberi odgovarajuću mjernu jedinicu tako da vrijede jednakosti.

$32.5 {cm}^{2} = 3 250$

null

$4.16 {cm}^{2} = 0.0416$

null

$487 {dm}^{2} = 4.87$

null

$6.357 {mm}^{2} = 635.7$

null

Koja je mjerna jedinica najprikladnija za mjerenje navedenih površina? Spoji parove.

stan	$m^{2}$
ljudski nokat	${mm}^{2}$
ploha radnog stola	${cm}^{2}$
otisak dječje cipele	${km}^{2}$
površina Hrvatske	${dm}^{2}$

null

Površina lika

Primjer 3.

List je otpao sa stabla i pao na pod. Koliku je površinu prekrio?

Kako odrediti njegovu površinu?

List

Da bismo odredili površinu lista možemo ga nacrtati na papiru na kojemu je iscrtana kvadratna mreža, a zatim prebrojiti kvadratiće koji prekrivaju list.

Tri kvadratne mreže. Prvi kvadrat se sastoji od 9 manjih kvadratića, drugi kvadrat se sastoji od 36 manjih kvadratića, treći kvadrat se sastoji od 144 manja kvadratića. — Tri kvadratne mreže

Površinu lika možemo odrediti kao broj jediničnih kvadratića koji potpuno prekrivaju taj lik.

List u mreži kvadratića (mreža iz rješenja Primjera 3) — List u mreži kvadratića

Istražimo

Koja će mreža biti prikladnija za određivanje površine lista?

Je li moguće točno odrediti površinu lista?

Je li moguće točno odrediti površinu lista?

Naravno da nije jer rubovi lista nisu ravne linije pa ne možemo točno prebrojiti jedinične kvadratiće. Što su duljine stranica kvadrata u mreži veće, to je površina nepreciznije određena (pogreška je veća).

Opseg i površina likova u kvadratnoj mreži

Primjer 6.

Izračunajmo opseg i površinu zemljišta čiji je tlocrt nacrtan u kvadratnoj mreži. Duljini stranice kvadrata na slici odgovara udaljenost od $2,5 m$ u prirodi.

Površina zemljišta u kvadratnoj mreži

Opseg lika jednak je zbroju duljina svih njegovih stranica. Prebrojimo broj stranica kvadrata koji omeđuju lik.

Površina zemljišta u kvadratnoj mreži. Zemljište se sastoji od 16 kvadratića. Lijeva strana zemljišta vodi kroz 3 kvadratića, zatim ide u desno kroz dva kvadrata, zatim gore kroz dva kvadrata pa lijevo kroz dva kvadrata. Nakon toga ide dolje kroz dva kvadrata, desno kroz jedan kvadrat, dolje kroz dva kvadrata, lijevo kroz tri kvadrata, dolje kroz jedan kvadrat i onda lijevo kroz dva kvadrata da se spoji cijelo zemljište. — Određivanje površine zemljišta 1

Lik je omeđen s $2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 = 20$ stranica kvadrata, a svaka od njih je duljine $2.5 m .$ Dakle, opseg je tog lika $20 \cdot 2.5 = 50 m .$

Površinu lika odredit ćemo na nekoliko različitih načina.

1. način: prebrojavanje kvadrata

površina zemljišta u kvadratnoj mreži — Površina zemljišta u kvadratnoj mreži

Površina lika je $16$ kvadrata, a površina svakog kvadrata je $2.5 \cdot 2.5 = 6.25 m^{2} .$

Površina zemljišta je $p = 16 \cdot 6.25 = 100 m^{2} .$

2. način: "pakiranjem"

U donjem desnom kutu spojili su zemljište i označili kao p1. U gornjem desnom kutu spojili su zemljište i označili kao p2. U gornjem lijevom kutu spojili su zemljište i označili kao p3. — Određivanje površine zemljišta 2

Promotrimo li sliku, uočit ćemo da je lik "upakiran" u veći kvadrat sa stranicama duljine $5 \cdot 2.5 m = 12.5 m .$ Površina tog kvadrata je $12.5 \cdot 12.5 = 156.25 m^{2} .$

Da bismo izračunali površinu zemljišta, trebamo od površine kvadrata oduzeti površine triju pravokutnika (na slici su označene s $p_{1},$ $p_{2}$ i $p_{3}$ ).

Površina prvog pravokutnika je $p_{1} = (3 \cdot 2.5) \cdot 2.5 = 18.75 m^{2} .$

Površina drugog pravokutnika je $p_{2} = 2.5 \cdot (2 \cdot 2.5) = 12.5 m^{2} .$

Površina trećeg pravokutnika (zapravo kvadrata) je $p_{3} = (2 \cdot 2.5) \cdot (2 \cdot 2.5) = 25 m^{2} .$

Ukupna površina tog zemljišta je $p = 156.25 - 18.75 - 12.5 - 25 = 100 m^{2} .$

3. način: "razrezivanjem" (vertikalno)

određivanje površine zemljišta 3
Vertikalno smo spojili zemljišta i umjesto jednog, dobili smo 3 (p1, p2 i p3). — Određivanje površine zemljišta 3

Promotrimo li sliku, uočit ćemo da je lik "razrezan" na tri pravokutnika.

Da bismo izračunali površinu zemljišta, trebamo izračunati površinu svakoga od njih, a zatim dobivene površine trebamo zbrojiti.

Površina prvog pravokutnika je $p_{1} = (2 \cdot 2.5) \cdot (3 \cdot 2.5) = 37.5 m^{2} .$

Površina drugog pravokutnika je $p_{2} = (2 \cdot 2.5) \cdot (4 \cdot 2.5) = 50 m^{2} .$

Površina trećeg pravokutnika je $p_{3} = 2.5 \cdot (2 \cdot 2.5) = 12.5 m^{2} .$

Ukupna površina tog zemljišta je $p = 37.5 + 50 + 12.5 = 100 m^{2} .$

4. način: "razrezivanjem" (horizontalno)

određivanje površine zemljišta 4
Horizontalno smo spojili zemljišta i umjesto jednog, dobili smo 3 (p1, p2 i p3). — Određivanje površine zemljišta 4

Promotrimo li sliku, uočit ćemo da je lik "razrezan" na tri pravokutnika.

Da bismo izračunali površinu zemljišta, trebamo izračunati površinu svakoga od njih, a zatim dobivene površine trebamo zbrojiti.

Površina prvog pravokutnika je $p_{1} = (2 \cdot 2.5) \cdot 2.5 = 12.5 m^{2} .$

Površina drugog pravokutnika je $p_{2} = (5 \cdot 2.5) \cdot (2 \cdot 2.5) = 62.5 m^{2} .$

Površina trećeg pravokutnika (zapravo kvadrata) je $p_{3} = (2 \cdot 2.5) \cdot (2 \cdot 2.5) = 25 m^{2} .$

Ukupna površina tog zemljišta je $p = 12.5 + 62.5 + 25 = 100 m^{2} .$

Kolekcija zadataka #3

Promotri slike, izračunaj opsege i površine nacrtanih likova pa riješi sljedeće zadatke.

Likovi u kvadratnoj mreži
Imena likova su početna slova abecede. Prvi lik sastoji se od 8 kockica (ima oblik slova T okrenut na desnu stranu). Drugi do njega sastoji se od 7 kockica (ima oblik slova H). Treći po redu sastoji se od 7 kockica (nalikuje malom slovu t okrenut na drugu obrnutu stranu). Krajnji lik sastoji se od 8 kockica (nalikuje na malo slovo f). — Likovi u kvadratnoj mreži

Opseg lika A je

jediničnih

dužina, a njegova je površina

jediničnih

kvadratića.

null

Opseg lika B je

jediničnih

dužina, a njegova je površina

jediničnih

kvadratića.

null

Jednake opsege imaju likovi

a jednake površine likovi

Likovi

imaju

jednake opsege i jednake površine.

null

Opsezi likova A i D razlikuju se za

jedinice,

pri čemu veći opseg ima lik

null

Određivanje duljine nepoznate stranice pravokutnika

Primjer 7.

Površina nekog pravokutnika je $34.2 {cm}^{2},$ a duljina jedne stranice tog pravokutnika je $a = 9.5 cm .$ Kolika je duljina druge stranice tog pravokutnika?

Površinu pravokutnika sa stranicama duljine $a$ i $b$ računamo prema formuli $p = a \cdot b .$ Uvrštavanjem zadanih podataka dobit ćemo jednadžbu $34.2 = 9.5 \cdot b,$ što možemo zapisati u uobičajenom obliku $9.5 \cdot b = 34.2 .$ Rješavanjem te jednadžbe (dijeljenjem umnoška s poznatim faktorom), dobit ćemo da je duljina druge stranice $b = 3.6 cm .$

Primjer 8.

Površina kvadrata sa stranicom duljine $a$ iznosi $64 {cm}^{2} .$ Kolika je duljina njegove stranice? Koliki je opseg tog kvadrata?

Površinu kvadrata sa stranicama duljine $a$ računamo prema formuli $p = a \cdot a .$ Uvrštavanjem zadanog podatka dobit ćemo jednadžbu $a \cdot a = 64 .$

Da bismo riješili tu jednadžbu, moramo odrediti broj koji pomnožen sam sa sobom (kvadriran) daje $64 .$ Jedini takav broj je $8,$ što znači da je duljina stranice kvadrata $a = 8 cm .$

Opseg tog kvadrata je $4 \cdot 8 = 32 cm .$

Zadatak 3.

Površina pravokutnika je $120 {cm}^{2} .$ Spoji parove stranica takvih pravokutnika.

$3 dm$	$48 mm$
$32 mm$	$2.5 cm$
$48 cm$	$37.5 cm$
$25 cm$	$4 cm$

null

Zadatak 4.

Kvadrat i pravokutnik imaju jednake površine. Opseg kvadrata je $60 cm,$ a duljina jedne stranice pravokutnika je $2.5 dm .$

Duljina stranice kvadrata je

cm,

a njegova površina

{cm}^{2} .

Duljina druge stranice pravokutnika je

cm,

a njegov opseg je

cm .

Pomoć:

Duljina stranice kvadrata četiri puta je manja od njegovog opsega, stoga iz opsega kvadrata možeš izračunati duljinu njegove stranice. Nakon toga, izračunaj površinu kvadrata. Ta je površina ujedno i površina pravokutnika. Nakon što odrediš površinu pravokutnika, duljinu nepoznate stranice možeš odrediti dijeljenjem površine s duljinom zadane stranice. (Ne zaboravi zadanu duljinu stranice pravokutnika izraziti u centimetrima ili površinu pravokutnika u kvadratnim decimetrima.)

null

...i na kraju

Za kraj istraži koliko pravokutnika, s cjelobrojnim duljinama stranica u centimetrima, možeš nacrtati ako je površina pravokutnika $36 {cm}^{2} .$ Koji od tih pravokutnika ima najmanji opseg?

Koliko će biti mogućih rješenja ako duljine stranica ne moraju biti cjelobrojne? Objasni svoj odgovor.

Procijenite svoje znanje

Dopuni jednakosti.

2.4 m^{2} =

{dm}^{2},

45 155 m^{2} =

{km}^{2} .

null

Odaberi odgovarajuću mjernu jedinicu.

$2.7 {cm}^{2} = 270$

3 400 {cm}^{2} = 0.34

null

Kolika je površina kvadrata sa stranicom duljine $23 mm ?$

46 mm

92 mm

529 {mm}^{2}

12 167 {mm}^{2}

null

Površina pravokutnika sa stranicama

a = 45 mm

b = 2.6 cm

iznosi

{cm}^{2} .

null

Površina pravokutnika je $720 {cm}^{2} .$ Spoji parove stranica takvih pravokutnika.

$0.8 dm$	$18 cm$
$4 dm$	$6 dm$
$1.2 dm$	$1.6 dm$
$45 cm$	$9 dm$

null

Površina nekog pravokutnika je

30.75 {cm}^{2},

a njegova je širina

37.5 mm .

Duljina tog pravokutnika iznosi

cm .

null

Kolika je površina lika na slici?

Stranice su duge: 6x3x4.5x6x3x4.5x6x4.5 metara

110.25 m^{2}

76.50 m^{2}

33.75 m^{2}

60.75 m^{2}

null

Igralište u parku je u obliku pravokutnika sa stranicama duljine $24 m$ i $16 m .$ Oko igrališta izgrađena je staza širine $2 m .$ Staza je popločena pločama u obliku kvadrata sa stranicom duljine $0.5 m .$ Dopuni rečenice.

Površina igrališta je

m^{2} .

Površina staze oko igrališta iznosi

m^{2} .

Za popločivanje potrošeno je

komada

pločica.

null

lik A
lik B
lik C
lik D

7.3 Površina kvadrata i pravokutnika

Na početku...

Mjerne jedinice za površinu

Primjer 1.

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #1

Površina lika

Primjer 3.

Istražimo

Površina pravokutnika i kvadrata

Primjer 4.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Primjer 5.

Kolekcija zadataka #2

Opseg i površina likova u kvadratnoj mreži

Primjer 6.

Kolekcija zadataka #3

Određivanje duljine nepoznate stranice pravokutnika

Primjer 7.

Primjer 8.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: