4.8 Osnosimetrično i centralnosimetrično preslikavanje skupova točaka u ravnini

Što ću naučiti?

nacrtati i konstruirati osnosimetričnu i centralnosimetričnu sliku jednostavnih ravninskih likova
prepoznati centralnosimetrične i osnosimetrične likove
odrediti os/centar simetrije osnosimetričnog/centralnosimetričnog lika

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Osna simetrija
Konstrukcija osnosimetričnih likova
Centralna simetrija
...i na kraju
Procjena znanja

Na početku...

U videoisječku je prikazano preslikavanje koje nazivamo osna simetrija. Jedna strana leptira preslikala se u drugu preko (u videoisječku) istaknutog pravca.

Konstrukcija osnosimetričnih likova

Neka je u ravnini zadan pravac $p$ i točka $A$ koja mu ne pripada. Točkom $A$ nacrtamo okomicu na pravac $p$ (Slika 1.). Ta okomica siječe pravac $p$ u točki $A_{1} .$ Kružnica sa središtem u točki $A_{1},$ koja prolazi točkom $A,$ siječe nacrtanu okomicu u točki $A'$ (Slika 2.).

Budući da točke $A$ i $A'$ pripadaju istoj kružnici sa središtem u točki $A_{1},$ zaključujemo da je $|A A_{1}| = |A_{1} A'| .$ Dakle, točka $A_{1}$ je polovište dužine $\bar{A A'},$ a pravac $p$ (os simetrije) simetrala je te dužine.

Primjer 2.

Konstruirajmo osnosimetrične slike točaka $A$ , $B$ i $C$ s obzirom na pravac $p$ kao os simetrije.

Osnosimetrična slika točke

U sljedećem videoisječku možeš pogledati rješenje primjera.

Osnosimetrična slika točke je točka.

Ako se točka nalazi na osi simetrije, ona se osnom simetrijom preslikava sama na sebe.

Ako želimo konstruirati osnosimetričnu sliku dužine, trokuta, četverokuta, kruga ili nekoga drugoga geometrijskog lika, dovoljno je odrediti osnosimetrične slike važnih točaka tog lika. Kad je o dužini riječ, to su njezine krajnje točke, kod trokuta i četverokuta to su njegovi vrhovi, a kod kruga središte i jedna točka kružnice.

Primjer 3.

Odredimo osnosimetričnu sliku dužine $\bar{A B}$ s obzirom na os simetrije $p .$

Osnosimetrična slika dužine

Rješenje primjera pronađi u sljedećem videoisječku.

Osnosimetrična slika dužine je dužina jednake duljine.

Pravci a i p koji se sijeku — Osnosimetrična slika pravca

Zadatak 2.

Odredimo osnosimetričnu sliku pravca $a$ s obzirom na os simetrije $p .$

Rješenje zadatka pronađi u videoisječku.

Primjer 4.

Odredi osnosimetričnu sliku trokuta $A B C$ s obzirom na pravac $p .$

Nacrtajmo iz točke $A$ okomicu na pravac $p$ te njezino sjecište s pravcem označimo s $A_{1},$ a zatim šestarom prenesimo duljinu dužine $\bar{A A_{1}}$ od točke $A_{1}$ na suprotnu stranu polupravca. Time smo dobili osnosimetričnu sliku točke $A,$ tj. točku $A' .$

Jednak postupak ponavljamo za točku $C .$

Točka $B$ nalazi se na osi simetrije te se preslikava u samu sebe.

Trokut $A' B' C'$ osnosimetrična je slika trokuta $A B C .$

Konstrukcija osnosimetrične slike trokuta ABC s obzirom na os simetrije p — Osnosimetrična slika trokuta

Osnosimetrična slika geometrijskog lika je lik sukladan (jednak) početnom.

Zadatak 3.

Odredi osnosimetričnu sliku trokuta s obzirom na istaknuti pravac. Pritom će ti pomoći mreža kvadratića i činjenica da su točka i njezina osnosimetrična slika jednako udaljene od osi simetrije.