1.1 Cijeli brojevi

Pozitivni i negativni cijeli brojevi

Pažljivo pročitaj opis prije razvrstavanja.

dubina

razina niža od razine mora

broj tvojih godina

temperature ispod nule

broj GB memorije računala

iznos ušteđenog novca

novčani dug

godine prije Kristova rođenja

visina planine

Pozitivni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi

Pomoć:

Negativnim cijelim brojevima prikazujemo: temperaturu nižu od $0°\mathrm{C},$ novčani dug ili posudbu, točke na Zemlji koje su ispod razine mora, etaže zgrada koje su ispod razine zemlje...

null

Opisu pridruži odgovarajući broj.

Nadmorska visina Osijeka je $90\mathrm{m}$ .	$90$
Mislav živi na drugom katu.	$-90$
Riba pliva na dubini od $2\mathrm{m}$ .	$2$
Ana duguje bratu $90$ kn.	$-2$
Starogrčki matematičar Euklid rođen je u IV. st.pr.Kr.	$-4$​

Pomoć:

Pomoć potraži rješavajući prethodnu aktivnost.

null

Nula nije ni pozitivan ni negativan broj.

Negativan broj ima predznak minus.

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Odnos skupova $\mathrm{N}$, ${\mathrm{N}}_{\mathrm{0}}$ i $\mathrm{Z}$ prikazan je Vennovim dijagramima.

Odaberi točnu tvrdnju.

Svaki cijeli broj ujedno je i prirodni broj.

Svaki prirodni broj ujedno je i cijeli broj.

Nula nije cijeli broj.

Pomoć:

Prisjeti se koji brojevi čine skup cijelih brojeva.

null

Koji zapisi opisuju istinitu situaciju?

$5\in \mathrm{Z}$

$0\notin \mathrm{N}$

$0.4\in \mathrm{Z}$

$-8\in \mathrm{N}$

$0\in \mathrm{Z}$

Pomoć:

Vennovi dijagrami prikazuju odnos brojevnih skupova. Svaki prirodni broj pripada skupu $\mathrm{Z},$ no obrnuta tvrdnja nije istinita. Samo pozitivni cijeli brojevi ujedno su i elementi skupa $\mathrm{N}.$

null

Skup prirodnih brojeva je

elementčlanpodskup skupa

cijelih brojeva.

null

null

Tvrdnju: Skup prirodnih brojeva podskup je skupa cijelih brojeva - matematičkim simbolima pišemo

$\mathrm{N\subseteq Z}$

$\mathrm{N\in Z}$

$\mathrm{Z\subseteq N}$

Prouči odnos skupova prikazan Vennovim dijagramima.

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Istražimo

Istraži nazive i oznake brojevnih skupova drugih govornih područja (engleskog, njemačkog, francuskog, talijanskog, španjolskog...). Postoje li razlike u odnosu na hrvatski jezik?

Brojevni pravac

Primjer 1.

Na koji bismo način brojeve iz uvodnog zadatka mogli smjestiti na brojevni pravac?

Pogledaj video, provjeri točnost svoje ideje i nauči nešto novo.

Apsolutna vrijednost broja

Udaljenost broja od nule na brojevnom pravcu naziva se apsolutna vrijednost broja. Znak $\left|a\right|$ čita se: "apsolutna vrijednost broja $a$" ili "udaljenost broja $a$ od nule".

Suprotni broj

Brojevi $a$ i $-a$ suprotni su brojevi. Suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti, a različite predznake. Na brojevnom pravcu suprotni su brojevi smješteni simetrično u odnosu na nulu.

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2

Točki  $A$ na brojevnom pravcu pridružen je broj

.

Točki  $B$ na brojevnom pravcu pridružen je broj

.

Točki  $C$ na brojevnom pravcu pridružen je broj

.

null

Spoji parove.

Broju $8$ suprotan je broj	$-8$
Broj suprotan broju $6$ je	$8$
$\left|-6\right|=$	$6$
$\left|8\right|=$	$-6$

Pomoć:

Pogledaš li još jednom video, nećeš imati nedoumica oko odgovora na postavljena pitanja.

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Uspoređivanje cijelih brojeva

Primjer 2.

Usporedi brojeve:

a)  $21$ i  $-15$ 

b)  $-15$ i  $-8$ 

Za oba slučaja skiciraj brojevni pravac i prikaži zadane brojeve.

Pomoć: Veći je broj onaj koji predstavlja višu temperaturu (toplije).

Rješenje

a) $21>-15$

b) $-15<-8$

Od dva cijela broja, veći je onaj koji je na brojevnom pravcu više desno,

Kolekcija zadataka #3

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Dopuni rečenice.
Svaki

cijeli

broj manji je od nule.
Nula je manja od svakog

cijelog

broja.

null

null

Poredaj brojeve po veličini, od najvećeg prema najmanjem.

• $-20$
• $-13$
• $38$
• $20$
• $0$

null

null

Odaberi točne odgovore.

$-21>-14$

$-16>-18$

$-46<-25$

$-8<-10$

Pomoć:

Zamisli ili nacrtaj brojevni pravac. Od dva cijela broja veći je onaj koji je više desno na brojevnom pravcu.

Ili zamisli da se radi o temperaturi zraka: manji broj predstavlja nižu temperaturu (hladnije je), a veći broj predstavlja višu temperaturu (toplije je).

null

Odredi sve cijele brojeve manje od broja $2.$

Rješenje

To su brojevi: $1,$ $0,$ $-1,$ $-2,$ $-3,$ $....$

---

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Primjer 3.

Prethodni zadatak može se zadati i na sljedeći način:

Odredi sve brojeve $x$ za koje vrijedi: $x<\mathrm{2},$  $x\in \mathrm{Z}.$

Rješenje zapiši skupovnim zapisom.

Rješenje

Kolekcija zadataka #4

1. 1
2. 2
3. 3

Prema dnevnom hidrološkom izvještaju 3. listopada 2019. godine vodostaj rijeke Drave kod Donjeg Miholjca bio je  $-64\mathrm{cm},$ a kod Osijeka  $-115\mathrm{cm}.$ U kojem je gradu rijeka Drava toga dana imala niži vodostaj?

Rješenje

Vrijedi  $-115<-64$ pa zaključujemo da je vodostaj rijeke Drave bio niži kod Osijeka.

---

Zadane su četiri jednostavne nejednadžbe i njihova rješenja u skupu cijelih brojeva prikazana skupovnim zapisom. Svakoj jednadžbi pridruži odgovarajuće rješenje.

$x>-1$	$x\in \left\{...-2, -1\right\}$
$x\ge -1$	$x\in \left\{-1, 0,1...\right\}$
$x<-1$	$x\in \left\{0, 1, 2...\right\}$
$x\le -1$	$x\in \left\{...-3, -2\right\}$

Pomoć:

Uz brojevni pravac jednostavnije ćeš riješiti zadatak.

null

Prikazana je vremenska prognoza za tri dana. Plava boja označava noćne, a crvena dnevne temperature.

Koji će dan u gorskom dijelu Hrvatske biti najhladniji?

U kojem dijelu Hrvatske će u subotu noćna temperatura biti najviša?

Rješenje

U gorskom dijelu Hrvatske najhladnije će biti u subotu.

Noćna subotnja temperatura bit će najviša u unutrašnjosti Dalmacije.

Razmisli, je li ovo očekivana prognoza s obzirom na geografska područja Hrvatske? 

---

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak