Na početku...

Za početak jedinice, pogledaj animaciju u kojoj osobni vozač Janko vozi gospođu Šteficu u posjet prijateljima i odgovori na postavljena pitanja.

Kada se $1$ h i $10$ minuta pretvori u razlomak, dobije se $1 \frac{1}{6}$ h.

Zbroji se vrijeme koje je vozač proveo vozeči po gradu i van grada:

$2 \frac{1}{5} + 3 \frac{1}{6} = \frac{11}{5} + \frac{19}{6} = \frac{66 + 95}{30} = \frac{161}{30} = 5 \frac{11}{30}$ h.

Vozač je na putu proveo $5 \frac{11}{30}$ h.

Zbroji se i vrijeme kada je vozač čekao gospođu Šteficu:

$1 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{6} = \frac{5}{3} + \frac{7}{6} = \frac{10 + 7}{6} = \frac{17}{6} = 2 \frac{5}{6}$ h.

Vozač je čekajući proveo $2 \frac{5}{6}$ h.

Potom se zbroji vrijeme koje je vozač proveo na putu i čekajući:

$5 \frac{11}{30} + 2 \frac{5}{6} = \frac{161}{30} + \frac{17}{6} = \frac{161 + 85}{30} = \frac{246}{30} = \frac{41}{5} = 8 \frac{1}{5}$ h.

Gospođa Štefica treba vozaču platiti uslugu obavljenu za $8 \frac{1}{5}$ h.

Kako ga plaća $80$ kn po satu, ukupno vrijeme koje je vozač radio za gospođu Šteficu treba pomnožiti sa cijenom jednog sata:

$8 \frac{1}{5} \cdot 80 = \frac{41}{5} \cdot 80 = 41 \cdot 16 = 656$ kn

Vozač je zaradio $656$ kn.

Za računanje vremena, koje bi vozač proveo na putu, treba zbrojiti sva pojedinačna vremena. Prije zbrajanja potrebno je pretvoriti sve sate u minute ili pretvoriti jedan sat i $10$ minuta u razlomak.

Ako nas zanima iznos koji je zaradio vozač pri vožnji, potrebno je pomnožiti ukupan broj sati proveden u vožnji s iznosom koji vozač zaradi za jedan sat ( $80$ $kn$ ).

Za rješavanje takvog i njemu sličnih problema, potrebno je najprije naučiti računati s razlomcima, a potom i primijeniti naučeno u raznim praktičnim situacijama koje ćeš susresti i u ovoj jedinici.

Dio cjeline

Pokušaj odgonetnuti koji razlomak čini dio koje cjeline.

Pronađi parove.

$\frac{3}{4}$ od $20$	$14$
$\frac{1}{4}$ od $56$	$15$
$\frac{2}{3}$ od $36$	$24$

Pomoć:

Prisjeti se kako "od" u matematičkom jeziku znači puta!

Postupak:

Pomnoži razlomak s cijelim brojem pored njega, no ne zaboravi najprije skratiti sve što se skratiti može!

Mjerne jedinice

Razlomcima se često prikazuje i dio cjeline izražene mjernom jedinicom. Pri rješavanju takvog tipa zadataka najprije procijeni rješenje, potom riješi i provjeri je li rezultat smislen.

Primjer 1.

Koliko je lipa:

a) $\frac{1}{10}$ kn

b) $\frac{1}{5}$ kn

c) $\frac{17}{25}$ kn?

Prisjeti se: $1$ kn = $100$ lp.

a) $\frac{1}{10}$ kn = $\frac{1}{10} \cdot 100 = 10$ lp

b) $\frac{1}{5}$ kn = $\frac{1}{5} \cdot 100 = 20$ lp

c) $\frac{17}{25}$ kn = $\frac{17}{25} \cdot 100 = 17 \cdot 4 = 68$ lp

Kolekcija zadataka #1

Koliko je centimetara:

a) $\frac{1}{5} m$

b) $\frac{17}{20} m$

c) $\frac{7}{4} m ?$

Prisjeti se: $1 m = 100 cm .$

a) $\frac{1}{5} m = \frac{1}{5} \cdot 100 = 20 cm$

b) $\frac{17}{20} m = \frac{17}{20} \cdot 100 = 17 \cdot 5 = 85 cm$

c) $\frac{7}{4} m = \frac{7}{4} \cdot 100 = 7 \cdot 25 = 175 cm$

Koliko je grama:

a) $\frac{1}{2} kg$

b) $\frac{7}{8} kg$

c) $\frac{73}{25} kg ?$

Prisjeti se: $1 kg = 1 000 g .$

a) $\frac{1}{2} kg = \frac{1}{2^{1}} \cdot 1000^{500} = 500 g$

b) $\frac{7}{8} kg = \frac{7}{8^{1}} \cdot 1000^{125} = 7 \cdot 125 = 875 g$

c) $\frac{73}{25} kg = \frac{73}{25^{1}} \cdot 1000^{40} = 73 \cdot 40 = 2920 g$

Koliko je sati:

a) $\frac{1}{4}$ dana

b) $\frac{3}{8}$ dana

c) $\frac{7}{12}$ dana?

Prisjeti se: $1$ dan= $24 h .$

a) $\frac{1}{4}$ dana = $\frac{1}{4} \cdot 24 = 6 h$

b) $\frac{3}{8}$ dana = $\frac{3}{8} \cdot 24 = 9 h$

c) $\frac{7}{12}$ dana = $\frac{7}{12} \cdot 24 = 7 \cdot 2 = 14 h$

Geometrija

Razlomci se mogu naći i u geometrijskim zadacima. Pri rješavanju takvih zadataka bitno je znati osnovne formule za, primjerice, opseg i površinu geometrijskih likova. Ako se i ne možeš prisjetiti formule, skiciraj zadani geometrijski lik i možda ti skica pomogne u tome.

Primjer 2.

Izračunaj opseg i površinu kvadrata kome je stranica duljine $5 \frac{1}{4} m .$

Kvadrat

Označi zadanu stranicu s $a :$ $a = 5 \frac{1}{4} m = \frac{21}{4} m$

Prema formuli za opseg pravokutnika $o = 4 \cdot a$ vrijedi: $o = 4 \cdot \frac{21}{4} = 21 m .$

Prema formuli za površinu pravokutnika $p = a \cdot a$ vrijedi: $p = \frac{21}{4} \cdot \frac{21}{4} = \frac{441}{16} = 27.5625 m^{2} .$

Kolekcija zadataka #2

Kolika je duljina stranice romba kome je opseg $14 \frac{1}{8} cm ?$

Prisjeti se kako je formula za opseg romba: $o = 4 \cdot a .$

Duljinu stranice $a$ dobit ćeš ako opseg podijeliš s $4 : a = o : 4 .$

Budući da je zadan $o = 14 \frac{1}{8},$ vrijedi: $a = 14 \frac{1}{8} : 4 = \frac{113}{8} : 4 = \frac{113}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{113}{32} = 3 \frac{17}{32} cm .$

Duljina osnovice jednakokračnog trokuta je $2 \frac{3}{5} cm .$ Kolika je duljina kraka, ako je opseg tog trokuta $7 \frac{3}{4} cm ?$

Prisjeti se kako je formula za opseg jednakokračnog trokuta $o = a + 2 b .$

Iz zadatka je poznato da je $a = 2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} cm$ i $o = 7 \frac{3}{4} = \frac{31}{4} cm,$ a $b$ se traži.

Prema formuli imamo sljedeće.

$\begin{array}{l} \frac{31}{4} = \frac{13}{5} + 2 b \\ 2 b = \frac{31}{4} - \frac{13}{5} \\ 2 b = \frac{155 - 52}{20} \\ 2 b = \frac{103}{20} / : 2 \\ b = \frac{103}{40} \\ b = 2 \frac{23}{40} cm \end{array}$

Pretvorimo li $b$ u decimalni broj: $b = 2.575 cm .$

Duljina kraka je $2.575 cm .$

Jedna stranica pravokutnika duljine je $3 \frac{1}{5} cm .$ Površina pravokutnika je $20 {cm}^{2} .$ Koliki je njegov opseg?

Prisjeti se formula za opseg i površinu pravokutnika: $o = 2 a + 2 b$ i $p = a \cdot b .$

Najprije treba odrediti duljinu stranice $b .$ Nju možeš izračunati ako duljinu stranice pravokutnika $a = 3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5} cm$ uvrstiš u formulu za površinu pravokutnika:

$\begin{array}{l} \frac{16}{5} \cdot b = 20 / \cdot \frac{5}{16} \\ b = \frac{20 \cdot 5}{16} \\ b = \frac{25}{4} \\ b = 6 \frac{1}{4} cm \end{array}$

Uvrsti duljine stranica u formulu za opseg pravokutnika:

$\begin{array}{l} o = 2 \cdot \frac{16}{5} + 2 \cdot \frac{25}{4} = \frac{32}{5} + \frac{25}{2} = \frac{32 \cdot 2 + 25 \cdot 5}{10} = \frac{64 + 125}{10} = \frac{189}{10} = 18.9 cm \end{array} .$

Problemski zadaci

U problemskim zadacima zadanim riječima, najprije treba pročitati zadatak s razumijevanjem, ako treba i više puta, a potom prevesti standardni jezik u matematički.

Primjer 3.

Zbroji zbroj brojeva $\frac{2}{7}$ i $\frac{2}{9}$ s njegovim umnoškom.

Zbroj brojeva $\frac{2}{7}$ i $\frac{2}{9}$ je $\frac{2}{7} + \frac{4}{9},$ umnožak brojeva $\frac{2}{7}$ i $\frac{2}{9}$ je $\frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} .$

Potrebno je zbrojiti zbroj i umnožak spomenutih brojeva (pri zapisivanju koristi zagrade):

$\begin{array}{l} (\frac{2}{7} + \frac{4}{9}) + \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} + \frac{8}{63} = \frac{18 + 28}{63} + \frac{8}{63} = \frac{46}{63} + \frac{8}{63} = \frac{54}{63} = \frac{6}{7} \end{array} .$

Kolekcija zadataka #3

Zbroj brojeva $\frac{7}{8}$ i $\frac{1}{4}$ pomnožen s razlikom brojeva $\frac{2}{5}$ i $\frac{1}{15}$ jednak je

\frac{5}{4},

Pokušaj ponovno riješiti zadatak!

\frac{6}{7},

Pokušaj ponovno riješiti zadatak!

\frac{3}{8},

Bravo!

\frac{1}{2} .

Pomoć:

Kada se zadatak zapiše u matematičkom obliku, dobije se:

$(\frac{7}{8} + \frac{1}{4}) \cdot (\frac{2}{5} - \frac{1}{15})$

Količnik brojeva $\frac{3}{4}$ i $\frac{3}{5}$ umanjen njihovim umnoškom daje:

\frac{1}{2},

Razmisli!

\frac{2}{3},

Razmisli!

\frac{3}{4},

Razmisli!

\frac{4}{5} .

Bravo!

Pomoć:

Zadatak najprije prevedi u matematički oblik: $\frac{3}{4} : \frac{3}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} .$

null

Razlomci u svakodnevici

Pri rješavanju razlomaka u zadacima iz svakodnevnog života, potrebno je najprije dobro pročitati zadatak, ako treba i više puta. Potom zapisati što je zadano i odlučiti koje računske operacije pri rješavanju koristiti, a tek nakon toga prionuti na rješavanje zadataka. Kada završiš s rješavanjem, osvrni se na rješenje i pogledaj ima li tvoje rješenje smisla.

Primjer 4.

Farmaceutkinja izrađuje sirup za kašalj. Planira ga uliti u boce obujma $\frac{5}{8}$ litara. Kada je završila s pripremom, dobila je $15$ litara sirupa. Koliko boca će joj trebati kako bi prelila sirup?

Kemičarka, ilustracija

Obujam boca je $\frac{5}{8}$ litara, a obujam sirupa je $15$ litara.

Ona mora RASPODIJELITI sirup u boce, dakle, moraš PODIJELITI ukupan obujam sirupa s obujmom jedne boce.

Farmaceutkinji će biti potrebno $15 : \frac{5}{8} = 15 \cdot \frac{8}{5} = 3 \cdot 8 = 24$ boce sirupa.

Kolekcija zadataka #4

Noa je u naslijeđe dobio zemljište površine $12 \frac{2}{5} ha .$ Četvrtinu površine zemljišta planira pretvoriti u polje. Na petini zemljišta planira iskopati jezero, a dvadesetpetinu površine zemlje pretvorit će u kuću i dvorište. Na ostatku zemlje će posaditi šumu.

Površina zemljišta, koju planira pretvoriti u polje, je

m^{2},

jezero bi se trebalo prostirati na

m^{2},

kuća i dvorište na

m^{2} .

12 4000

2 4800

15 5000

Pomoć:

Prisjeti se kako je $1 ha = 1 0000 m^{2} .$

Pritom je $12 \frac{2}{5} ha = 62 0000 m^{2} .$

Potrebno je pomnožiti sve razlomke s $62 0000 m^{2}$ kako bi se dobile površine određenih dijelova zemljišta.

null

Luna je pretrčala $3$ kruga po $2 \frac{1}{2} km,$ a Lea $5$ krugova po $\frac{3}{4} km .$

Najprije procijeni, a zatim izračunaj koja je pretrčala više.

Više je pretrčala:

Luna,

Bravo!

Lea.

Razmisli!

Pomoć:

Pomnoži broj krugova s njihovom duljinom. Usporedi dobivene razlomke.

Postupak:

Luna je pretrčala $3 \cdot 2 \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7 \frac{1}{2} km,$ a Lea $5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} km .$

Projekt

Pronađi razlomke u svojoj svakodnevici i o njima napiši matematičku priču. Osmisli je, ilustriraj i riješi te prikaži u obliku prezentacije ili plakata.

...i na kraju

Razlomci su svuda oko nas. Kako bismo ih bolje razumjeli i primijenili u svakodnevici, trebali bismo čim više vježbati računske operacije s razlomcima i zadatke s njihovom primjenom u matematici. Jedan korak bliže tome bit ćeš nakon rješavanja zadataka u ovoj jedinici, ali i nakon procjene znanja koja se nalazi ispod ovog teksta.

Procijenite svoje znanje

\frac{2}{7}

21

jednake su

Unesi brojčani odgovor!

Pomoć:

Upotrijebi množenje!

null

\frac{4}{5}

105

jednake su

Unesi brojčani odgovor!

Pomoć:

Upotrijebi množenje!

null

Najprije procijeni, a zatim upari jednake vrijednosti.

$\frac{16}{125} km$	$12 800 cm$
$\frac{3}{20} m$	$16 000 cm$
$\frac{150}{4} dm$	$375 cm$
$\frac{4}{25} km$	$15 cm$

Pomoć:

Prisjeti se kako je $1 km = 100 000 cm,$ $1 m = 1 000 cm,$ $1 dm = 10 cm .$

null

Najprije procijeni, a zatim upari jednake vrijednosti.

$\frac{7}{125} t$	$56 kg$
$\frac{17}{250} t$	$68 kg$
$\frac{21}{200} t$	$105 kg$

Pomoć:

Prisjeti se kako je $1 t = 1 000 kg .$

null

Ana planira pretrčati stazu duljine

2 km

350 m .

Do sada je pretrčala

\frac{15}{47}

staze, što je jednako

Unesi brojčani odgovor!

m .

Pomoć:

Potrebno je pronaći koliko je $\frac{15}{47} \cdot 2350 .$

null

Ako razred na izletu šetajući prijeđe

4 km

1 \frac{2}{3} h,

tada

1 km

prijeđu za

Unesi brojčani odgovor!

minuta.

Pomoć:

Potrebno je $1 \frac{2}{3} h$ podijeliti s $4 .$ Rezultat se dobije u satima. Kako bi se sate pretvorilo u minute, potrebno je rješenje pomnožiti sa $60 .$

null

Mjesečni prihodi obitelji Horvat su $12 000$ kn. $\frac{1}{8}$ prihoda potroše za stanarinu, $\frac{3}{10}$ za režije, $\frac{2}{5}$ prihoda potroše za hranu, $\frac{1}{8}$ na gorivo, a $\frac{1}{20}$ na izlete i putovanja.

Procijeni, bez računanja, za koji izdatak potroše najviše novca.

Najviše novca potroše na

stanarinu,

Razmisli!

režije,

Razmisli!

hranu

Bravo!

gorivo,

Razmisli!

izleti i putovanja.

Razmisli!

Pomoć:

Procijeni koji je razlomak najveći.

null

Tri biciklista krenula su na biciklijadu. Nakon $45$ minuta prvi biciklist prešao je $\frac{2}{5}$ rute, drugi $\frac{5}{9}$ rute, a treći $\frac{1}{3}$ rute. Procijeni koji je od njih najbliže cilju?

Najbliži cilju je

Upiši slovima ili brojkom prvi, drugi ili treći

biciklist.

Pomoć:

Procijeni koji je od ponuđenih razlomaka najveći.

null

5.3 Primjena računanja s razlomcima

Na početku...

Dio cjeline

Mjerne jedinice

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Geometrija

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Problemski zadaci

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #3

Razlomci u svakodnevici

Primjer 4.

Kolekcija zadataka #4

Projekt

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: