Na temelju crteža iz uvodnog zadatka zaključili smo da razlomci
14 i
28 imaju istu vrijednost pa vrijedi
14=28.
Kojim računskim postupkom, bez crtanja, možemo od 14 dobiti 28?
I brojnik i nazivnik možemo pomnožiti brojem
2.
Pišemo 1·24·2=28.
Možemo se koristiti i nešto drukčijim zapisom u kojemu se ljepše vidi zadani razlomak 1·24·2=28.
Opisani postupak nazivamo proširivanje razlomka.
Proširivanje razlomka
Proširiti razlomak znači pomnožiti i brojnik i nazivnik istim brojem različitim od nule.
Proširivanjem se vrijednost razlomka ne mijenja.
Želimo li razlomke međusobno usporediti, zbrojiti ili oduzeti oni moraju imati jednake nazivnike.
Primjer 1.
Proširi razlomke 14, 32, 53 i 56 tako da im svima nazivnik bude 12.
Ako je zadan nazivnik proširenog razlomka (u ovom slučaju
12), potrebno je samo otkriti broj s kojim proširujemo koji razlomak. Prvi razlomak tako ćemo proširiti s
3 jer je
4·3=12, drugi sa
6 jer je
2·6=12, treći s
4 jer je
3·4=12, a posljednji s
2 jer je
6·2=12.
1·34·3=312,
3·62·6=1812,
5·43·4=2012,
5·26·2=1012
Primjer 2.
Zapiši razlomke 38 i 56 tako da imaju isti nazivnik.
Da bismo zadane razlomke zapisali s istim nazivnikom, ili možemo reći – sveli ih na isti nazivnik – moramo prvo odrediti koji će broj biti taj nazivnik. U prethodnom zadatku rekli smo da taj nazivnik treba biti višekratnik nazivnika zadanih razlomaka.
Tražimo višekratnik brojeva 8 i 6. Najjednostavnije je odrediti najmanji zajednički višekratnik, što označavamo s V(8,6).
Možemo to učiniti brzim usmenim postupkom.
3·38·3=9245·46·4=2024.
Primjer 3.
Svedi na isti nazivnik razlomke 524 i 736.
Najmanji zajednički višekratnik nazivnika ponovno možemo naći nabrajanjem višekratnika broja 36 (jer je veći od drugog nazivnika). Oni koji su spretniji s množenjem i dijeljenjem dvoznamenkastih brojeva, brzo će otkriti da je traženi broj – broj 72, jer vrijedi:
2·36=723·24=72.
V(24,36)=72
Svedimo ih proširivanjem na isti nazivnik:
5·324·3=15727·236·2=1472.
Pri određivanju zajedničkog nazivnika razlomcima najjednostavnije je odrediti upravo najmanji zajednički nazivnik, a to možemo učiniti na više načina:
1. uzastopnim nabrajanjem višekratnika (kao što je opisano u rješenju primjera 1.)
2. rastavljanjem nazivnika na faktore (ne nužno proste)
3. primjenom postupka s crtom ili
4. napamet.
U animaciji koja slijedi možeš vidjeti kako se, već poznatim postupcima, može odrediti najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.
Pri svođenju razlomaka na isti nazivnik najjednostavnije je odrediti najmanji zajednički višekratnik zadanih nazivnika.
Najmanji zajednički višekratnik
Najmanji zajednički višekratnik neka dva broja je najmanji broj koji je djeljiv zadanim brojevima.
Pri ocjenjivanju pisanih provjera znanja učitelji vrlo često zapisuju bodove na način: ostvareni bodovi / mogući broj bodova, npr.
4/5, što bi značilo da je od
5 mogućih bodova učenik ostvario
4 boda. Matematičari bi rekli da je taj učenik ostvario
45 mogućih bodova.
Kako izračunati postotak riješenosti u situacijama kada se nazivnik, odnosno mogući broj bodova, ne može proširiti na broj 100, naučit ćeš u modulu Računanje s razlomcima.
Istražimo
Ako su a,b∈N i broj a je djelitelj broja b, odredi D(a,b) i V(a,b).
Rješenje ćeš naslutiti nakon dovoljnog broja riješenih primjera.
Istražimo
Ako su a,b∈N i a i b su relativno prosti brojevi, odredi D(a,b) i V(a,b).
Ponovimo.