Sukladni likovi

Sukladni likovi

U matematici za potpuno jednake likove kažemo da su sukladni likovi. Oznaka za sukladne likove je $≅$ , a čitamo ju "je sukladan".

Dvije sukladne pahuljice, dvije slične pahuljice i dvije pahuljice koje nisu ni slične ni sukladne. — Sukladni i slični likovi

Zanimljivost

Ako su likovi istog oblika i jednake veličine, onda u matematici kažemo da su sukladni. Ako su likovi istog oblika, ali nisu jednake veličine, u matematici kažemo da su slični. Ako likovi nisu istog oblika, onda nisu ni sukladni ni slični. Više o sličnim likovima možeš doznati u

DOS-u Matematika 7.

Zanimljivo je da u prirodi ne postoje dvije potpuno jednake pahuljice, kao ni primjerice dva jednaka otiska prsta.

Razmisli koje se dužine mogu posve preklopiti te spoji parove takvih dužina sa slike.

$\bar{E F}$	$\bar{I J}$
$\bar{C D}$	$\bar{K L}$
$\bar{A B}$	$\bar{G H}$

Pomoć:

Dužine koje možemo posve preklopiti su dužine jednakih duljina.

Promisli i dopuni rečenice. Likovi koji se

posve preklopiti su sukladni.

Pomoć:

Prouči pažljivo početak ove jedinice.

Dužine koje su

duljine su

dužine.

jednake

sukladne

Pomoć:

Dužine jednakih duljina mogu se posve preklopiti.

Praktična vježba

Nacrtaj kutomjerom na tvrđem papiru dva kuta iste veličine i još jedan kut drukčije veličine od prva dva. Izreži precizno te kutove. Preklopi izrezane kutove. Koje kutove možeš posve preklopiti ako zamisliš da je papir beskonačan?

Što možeš iz toga zaključiti?

Kutovi koji se mogu posve preklopiti su jednakih veličina.

Da

Točno! Kutovi koji imaju istu mjeru mogu se potpuno preklopiti.

Ne

Kutovi koji se mogu posve preklopiti imaju istu veličinu, u suprotnom ih ne bismo mogli posve preklopiti.

Pomoć:

Izvedi pokus koji je predložen prije odgovora na pitanje.

null

Kutovi

veličina su

kutovi.

sukladni

jednakih

Pomoć:

Napravi pokus koji je predložen prije pitanja.

null

Razmisli i spoji parove sukladnih dužina i likova sa slike. Dužine i likovi su označeni brojevima radi lakšeg snalaženja. Nakon toga zapiši svoje zaključke dopunjavajući ponuđene rečenice.

$8$	$4$
$5$	$11$
$3$	$9$
$6$	$7$
$2$	$12$
$1$	$10$

Pomoć:

Prouči ovu jedinicu od početka.

Postupak:

Razmisli o duljinama dužina te o položaju, obliku i veličini likova na slici.

Likovi su

ako

imaju isti

i

istu

.

Sukladni likovi ne moraju biti iste

,

ne moraju biti u istom

i

ne moraju imati iste

.

Pomoć:

Razmisli o duljinama, boji i oznakama dužina na slici s dužinama, te o položaju, obliku i veličini likova na slici s likovima. Također razmisli i o smislenosti rečenice koju na kraju trebaš dobiti.

Sukladni trokuti

Nacrtana su dva trokuta i označene odgovarajuće stranice. Lijevom trokutu je lije stranica najdulja, gornja najkraća, a desna je srednja. Desnom trokutu je desna stranica najkraća, donja najdulja, a gornja je srednja. — Odgovarajuće stranice trokuta

Kako se mogu usporediti dva trokuta? Usporedit ćemo ih koristeći se njihovim stranicama i kutovima. Stranice mogu biti odgovarajuće, pri čemu mislimo na stranice dva trokuta koje su npr. obje najkraće, srednje ili najdulje u svom trokutu. Kutovi trokuta mogu biti odgovarajući pri čemu mislimo na kutove dva trokuta koji su npr. oba najmanji, srednji ili najveći u svom trokutu. Nasuprot odgovarajućih stranica nalaze se odgovarajući kutovi, i obrnuto, nasuprot odgovarajućih kutova nalaze se odgovarajuće stranice dva trokuta. Tvrdnja proizlazi iz odnosa stranica i kutova u trokutu, o čemu je bilo govora u jedinici 2.3 ovog modula.

Što misliš koji su trokuti sa slike sukladni?

△ A B C

i

△ G H I

Razmisli možeš li ta dva trokuta preklopiti.

△ A B C

i

△ D E F

Bravo!

△ D E F

i

△ G H I

Razmisli možeš li ta dva trokuta preklopiti.

Pomoć:

Duljine stranica zaokruži na jednu decimalu i zapiši u cm. Zatim nacrtaj ta tri trokuta na tvrđem papiru, izreži ih, preklopi i uvjeri se u ispravnost svog odgovora.

null

Praktična vježba

Nacrtaj šestarom i ravnalom trokute iz gornjeg primjera na tvrđem papiru. Duljine stranica zaokruži na jednu decimalu i nacrtaj u $cm .$ Izreži ih i pokušaj preklopiti. Koja dva trokuta se mogu preklopiti? Koji su trokuti sukladni? Što primjećuješ kod sukladnih trokuta?

Sukladnim trokutima stranice su

i kutovi

.

jednakih veličina

jednakih duljina

Pomoć:

Pogledaj trokute i razmisli.

null

Zapišimo definiciju sukladnosti trokuta.

Sukladni trokuti

Dva su trokuta sukladna ako su im stranice jednakih duljina i kutovi jednakih veličina.

Vrlo je jednostavno odrediti parove odgovarajućih stranica i kutova ako trokute ispravno zapišemo. Trokut $A B C$ s prethodne slike sukladan je trokutu $D E F,$ pišemo $△ A B C ≅ △ D E F$ jer su kutovi pri vrhu $A$ i pri vrhu $D$ srednji po veličini, kutovi pri vrhu $B$ i pri vrhu $E$ najmanji, a kutovi pri vrhu $C$ i pri vrhu $F$ najveći.

Zapis sukladnih trokuta iz kojeg se vide odgovarajući kutovi i stranice — Zapis sukladnih trokuta

Kolekcija zadataka #1

Koji je zapis pravilan za sukladne trokute sa slike?

△ A B C ≅ △ D E F

Pažljivo promotri odgovarajuće stranice i kutove trokuta ili pogledaj uputu.

△ A B C ≅ △ F D E

Odlično!

△ A B C ≅ △ F E D

Pažljivo promotri odgovarajuće stranice i kutove trokuta ili pogledaj uputu.

△ A B C ≅ △ E F D

Pažljivo promotri odgovarajuće stranice i kutove trokuta ili pogledaj uputu.

Pomoć:

Izračunaj nepoznate kutove trokuta i prepoznaj odgovarajuće stranice i vrhove.

Postupak:

$90 ° - 40 ° = 50 °$

$90 ° - 50 ° = 40 °$

Kut kod vrha $A$ odgovarajući je kutu kod vrha $F$ ( $40 °$ ).

Kut kod vrha $B$ odgovarajući je kutu kod vrha $D$ ( $50 °$ ).

Kut kod vrha $C$ odgovarajući je kutu kod vrha $E$ ( $90 °$ ).

Odredi nepoznate elemente sukladnih trokuta sa slike. Duljine stranica trokuta na slici su u $cm .$

$c$	$3.31 cm$
$e$	$4.78 cm$
$γ$	$4.9 cm$
$d$	$72 °$
$α$	$68 °$

Pomoć:

Izračunaj nepoznate kutove u oba trokuta.

Postupak:

Kutovi u oba trokuta su $68 °,$ $40 °,$ $72 °,$ a odgovarajuće stranice nasuprot odgovarajućih kutova su jednakih duljina.

Kada želimo provjeriti sukladnost dva trokuta moramo prema definiciji znati duljine sve tri stranice trokuta i veličine sva tri kuta tog trokuta. Matematičari su istražili je li to moguće znati s manje elemenata i koji su to elementi dovoljni za zaključak jesu li ili nisu trokuti sukladni.

Poučci o sukladnosti trokuta

Jednom točkom koja ne leži na pravcu može se povući točno jedna paralela s tim pravcem. — Peti aksiom iz Euklidovih Elemenata

Zanimljivost

Poučak ili teorem u matematici je tvrdnja koju treba dokazati matematičkim jezikom. Mi ovdje ipak nećemo dokazivati poučke jer nemamo još toliko matematičkog alata. U osnovnoj se školi uče još neki poučci, i neke od njih dokazujemo više na djeci razumljiv način nego strogo matematički kako se to radi u znanosti. Osim poučaka u matematici postoje i aksiomi (tvrdnje koje ne treba dokazivati), korolari (tvrdnje koje su posljedice nekih teorema ili poučaka) te leme (pomoćne tvrdnje koje služe u dokazivanju važnijih teorema). Sve te tvrdnje, osim aksioma, imaju svoje dokaze. Također, u povijesti matematike pojavile su se neke tvrdnje koje još nisu dokazane, iako je puno velikih matematičara pokušalo. Prva knjiga definicija, aksioma, teorema i dokaza u matematici su Euklidovi Elementi, nastali oko 300 godina prije Krista. Euklid je bio jedan od najvećih grčkih matematičara starog vijeka. U Elemente je sažeo sve tadašnje znanje iz matematike, a kasnije su ih poznati grčki matematičari nadopunjavali. Po Euklidu i Elementima se geometrija koju učimo u školi zove Euklidska geometrija. Matematičarima je posebno zanimljiv peti aksiom koji govori o tome da se jednom točkom koja ne leži na pravcu može povući točno jedna paralela s tim pravcem.

U animaciji su se pojavile tri tvrdnje o sukladnim trokutima u kojima vidimo koja su nam tri elementa trokuta dovoljna za provjeru sukladnosti dva trokuta. Te tvrdnje zovemo poučci o sukladnosti trokuta.

Pokušaj povezati skraćeni naziv poučka s tvrdnjom iz animacije.

Dva su trokuta sukladna ako su im sve tri stranice sukladne.
Dva su trokuta sukladna ako su im sukladne dvije stranice i kut između njih.
Dva su trokuta sukladna ako su im sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu.

Pomoć:

Pogledaj ponovno animaciju i uoči koji se elementi trokuta spominju u kojoj tvrdnji.

null

Zapišimo iskaze i puna imena poučaka o sukladnosti trokuta:

Poučak stranica-stranica-stranica (SSS) o sukladnim trokutima

Poučak SSS o sukladnim trokutima

Dva su trokuta sukladna ako su im sve tri stranice sukladne.

Primjer 1.

Jesu li $△ A B D$ i $△ C B D$ sa slike sukladni?

Ispitaj sukladnost

Promatramo odgovarajuće elemente trokuta $A B D$ i trokuta $C B D .$ Kada pokazujemo sukladnost, ako želimo ispravno zapisati odgovarajuće elemente, nekad ne možemo poštovati zapis obrnuto od smjera kazaljke na satu.

$|A B| = |C B|$ jer je tako zadano

$|A D| = |C D|$ jer je tako zadano

$|B D| = |B D|$ jer je to zajednička stranica

iz toga vidimo da su u trokutima sve tri stranice sukladne pa zaključujemo:

trokuti su sukladni prema poučku SSS.

Poučak stranica-kut-stranica (SKS) o sukladnosti trokuta

Poučak SKS o sukladnosti trokuta

Dva su trokuta sukladna ako su im sukladne dvije stranice i kut između njih.

Nacrtan je pravokutnik ABCD i njegova dijagonala AC. — Dijagonala pravokutnika

Zadatak 1.

Pokaži da dijagonala pravokutnika $A B C D$ dijeli taj pravokutnik na dva sukladna trokuta.

Promatramo trokute $A B C$ i $C D A$

$|A B| = |C D|$ jer su to usporedne stranice pravokutnika

$∠ A B C = ∠ C D A = 90 °$ pravokutnik ima sva četiri prava kuta

$|B C| = |D A|$ jer su to druge dvije usporedne stranice pravokutnika

iz toga vidimo da su u trokutima dvije stranice sukladne i da su kutovi između njih sukladni pa zaključujemo:

trokuti su sukladni prema poučku SKS.

Poučak kut-stranica-kut (KSK) o sukladnosti trokuta

Poučak KSK o sukladnosti trokuta

Dva su trokuta sukladna ako su im sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu.

Označena su po dva odgovarajuća kuta i odgovarajuće duljine stranica. — Ispitaj sukladnost i odredi nepoznatu duljinu.

Zadatak 2.

Jesu li trokuti sa slike sukladni? Ako jesu, odredi duljinu stranice $\bar{D E} .$ Sve duljine na slici izražene su u $cm .$

Promatramo trokute $A B C$ i $D E C$

$∠ A C B = ∠ D C E = γ$ jer su to vršni kutovi

$|B C| = |E C| = 4.5 cm$ jer je tako zadano

$∠ A B C = ∠ D E C = β$ jer su to šiljasti kutovi uz presječnicu na kojoj leži $\bar{B E}$ usporednih pravaca na kojima leže dužine $\bar{A B}$ i $\bar{D E}$

iz toga vidimo da su u trokutima dvije stranice sukladne i da su kutovi uz te stranice sukladni pa zaključujemo:

trokuti su sukladni prema poučku KSK.

Stranica $\bar{A B}$ trokuta $A B C$ je odgovarajuća stranici $\bar{D E}$ trokuta $D E C$ pa su i one sukladne, tj. iste duljine.

$|D E|$ $= 5 cm$ .

Kutak za znatiželjne

Postoji još jedan poučak o sukladnosti trokuta:

Dva su trokuta sukladna ako su im sukladne dvije stranice i kut nasuprot dulje od njih.

Što mislite koja je skraćenica za ovaj poučak o sukladnosti trokuta?

KKK

Pročitaj poučak i razmisli.

KKS

Pročitaj poučak i razmisli.

SSK

Tako je, dvije Stranice i Kut nasuprot duljoj.

SKK

Pročitaj poučak i razmisli.

Pomoć:

Pročitaj poučak i razmisli.

...i na kraju

Ponovi naučeno o sukladnosti trokuta kroz kratku procjenu znanja.

Procijenite svoje znanje

Spoji parove sukladnih likova sa slike.

$△ A_{4}^{} B_{4}^{} C_{4}^{}$	$△ A_{3}^{} B_{3}^{} C_{3}^{}$
krug sa središtem $S_{3}^{}$	$△ A_{2}^{} B_{2}^{} C_{2}^{}$
$△ A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{}$	krug sa središtem $S_{2}^{}$
krug sa središtem $S_{1}^{}$	krug sa središtem $S_{4}^{}$

Pomoć:

Dobro pogledaj elemente likova.

null

Dopuni rečenicu tako da odabereš pravu riječ.
Dva su trokuta sukladna ako su im

jednakih

i

kutovi jednakih

.

Pomoć:

Prisjeti se definicije o sukladnim trokutima.

null

Dopuni rečenicu.
Poučak SKS glasi: Dva su trokuta