x

Učitavanje

2.3 Svojstva trokuta

Što ću naučiti?

matematičkim jezikom iskazati svojstva trokuta
izračunati veličinu nepoznatog kuta trokuta ako su poznate veličine preostalih kutova trokuta
ispitati postojanje trokuta s obzirom na duljine njegovih stranica
odrediti odnos stranica i kutova u trokutu
primijeniti svojstva i veze vanjskih i unutarnjih kutova trokuta

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Nejednakost trokuta
Unutarnji kutovi trokuta
Vanjski kutovi trokuta
Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu
Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu
...i na kraju
Procjena znanja

Na početku...

U dućanu s tepisima

U dućanu s tepisima

Zašto trgovac nije mogao izrezati tepih traženog oblika i tih dimenzija?

Praktična vježba

Pripremi papir, olovku, šestar i ravnalo. Zapiši duljine stranica traženog tepiha oblika trokuta umanjene 100 puta, u $cm$ $.$ Pokušaj nacrtati na papiru trokut koji ima te duljine stranica. Što primjećuješ?

Unutarnji kutovi trokuta

U animaciji je pokazano da je zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu $180 ° .$

Praktična vježba

Nacrtaj bilo koji trokut u bilježnicu i izmjeri kutomjerom veličine njegovih unutarnjih kutova. Zbroji veličine dobivenih kutova. Dobit ćeš svaki put, ako točno mjeriš, približno $180 °$ , jer mjerenje nije uvijek potpuno precizno i točno.

Ako se znaš koristiti GeoGebrom, napravi isti pokus u GeoGebri.

Logo GeoGebre

Zanimljivost

GeoGebra je digitalni alat namijenjen učenju matematike. Dinamična je, interaktivna, besplatna i prilagođena gotovo svim vrstama uređaja. Rado je prihvaćaju nastavnici i njihovi učenici radi njezine jednostavnosti, praktičnosti, zanimljivosti i korisnosti. Za korištenje alata treba instalirati aplikaciju GeoGebre s pristupom internetu i mrežnim preglednikom koji je ažuriran na posljednju verziju. Na adresi se nalazi početna stranica na kojoj je dostupno više informacija.

Sada možemo zapisati ovo važno svojstvo trokuta.

Zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu

Zbroj je veličina unutarnjih kutova u trokutu $180 °$ .

Primjer 1.

Izračunaj veličinu nepoznatog kuta trokuta $A B C$ sa slike.

Izračunaj veličinu trećeg kuta

$α + β + γ = 180 °$

$48 ° + 28 ° + γ = 180 °$

$76 ° + γ = 180 °$

$γ = 180 ° - 76 °$

$γ = 104 °$

Kolekcija zadataka #2

Veličina kuta $β$ u trokutu sa slike je:

Zadatak: izračunati veličinu nepoznatog kuta u trokutu. Kut alfa iznosi 35 stupnjeva, kut gama iznosi 103 stupnjeva.

138 °

Pogledaj uputu.

42 °

Bravo!

32 °

Izračunaj ponovno.

52 ° .

Izračunaj ponovno.

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je $180 ° .$

Postupak:

$103 ° + 35 ° = 138 °$

$180 ° - 138 ° = 42 °$

U trokutu

A B C

veličine dva unutarnja kuta su

87 °

i

76 ° .

Veličina trećeg kuta u tom trokutu je

Upiši samo broj ili izračunaj ponovo.

° .

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je $180 ° .$

Postupak:

$87 ° + 76 ° = 163 °$

$180 ° - 163 ° = 17 °$

Zadatak: odredi nepoznate kutove jednakokračnog trokuta. Kut alfa iznosi 56 stupnjeva.

Veličina nepoznatog kuta kod vrha $C$ trokuta $A B C$ sa slike je

.

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je $180 ° .$

Postupak:

Trokut je jednakokračan. Kutovi uz osnovicu su jednakih veličina.

$180 ° - 2 \cdot 56 ° = 68 °$

U jednakokračnom trokutu

A B C

kut nasuprot osnovici

\bar{A B}

iznosi

58 ° .

Veličina preostala dva kuta u tom trokutu je

Rješenje napiši u brojčanom obliku ili izračunaj ponovo.

° .

Pomoć:

Nacrtaj skicu u bilježnicu. Zbroj kutova u trokutu je $180 ° .$

Postupak:

Nacrtaj skicu u bilježnicu. U jednakokračnom trokutu kutovi uz osnovicu međusobno su jednaki.

$180 ° - 58 ° = 122 °$

$122 ° : 2 = 61 °$

Kutak za znatiželjne

Razmisli.

Može li trokut imati dva prava kuta?

Da

Nacrtaj skicu i razmisli.

Ne

Pokušaj nacrtati takav trokut. Naravno da ne možeš, odličan zaključak.

Pomoć:

Pravi kut ima $90 ° .$ Zbroj sva tri kuta u trokutu je $180 ° .$

null

Može li trokut imati dva tupa kuta?

Da

Nacrtaj skicu i razmisli.

Ne

Pokušaj nacrtati takav trokut. Naravno da ne možeš, odličan zaključak.

Pomoć:

Tupi kut ima više od $90 ° .$ Zbroj sva tri kuta u trokutu je $180 ° .$

null

Vanjski kutovi trokuta

Kutovi $α',$ $β'$ i $γ'$ su vanjski kutovi trokuta $A B C$ sa slike.

Trokut ABC s unutrašnjim kutovima α, β, γ i vanjskim kutovima α’, β’, γ’ — Vanjski kutovi trokuta

Svaki vrh trokuta ima dva vanjska kuta koji su jednakih veličina. — Dva vanjska kuta uz isti vrh

Zanimljivost

Svaki unutarnji kut trokuta ima dva vanjska kuta. Vanjski su kutovi uz isti vrh vršni kutovi pa su i jednakih veličina. Kada crtamo vanjski kut trokuta, biramo po želji koji ćemo nacrtati. Vrlo se rijetko crtaju oba vanjska kuta uz neki vrh.

Prisjetimo se.

Sukuti

Sukuti su kutovi koji zajedno čine ispruženi kut i imaju jedan krak zajednički. Zbroj veličina sukuta je $180 °$ .

Prisjetimo se kako izgledaju sukuti. — Sukuti

Zaključujemo

Vanjski kut trokuta

Vanjski kut trokuta je kut koji je sukut unutarnjem kutu trokuta.

Kolekcija zadataka #3

Primjer: odrediti veličinu nepoznatog kuta u trokutu, ako su poznate veličine jednog unutrašnjeg i jednog vanjskog kuta. Unutrašnji kut je 72 stupnja, vanjski je 116 stupnjeva.

Veličina kuta $β$ sa slike je

.

Pomoć:

Prvo izračunaj unutarnji kut

α .

Postupak:

$180 ° - 116 ° = 64 °$

$180 ° - (72 ° + 64 °) = 44 °$

Zadatak: odrediti veličinu nepoznatog unutrašnjeg kuta u trokutu ako su poznate veličine dva vanjska kuta trokuta. Jedan je 108 stupnjeva, drugi je 121 stupanj.

Veličina kuta

γ

sa slike je

° .

Pomoć:

Prvo izračunaj unutarnje kutove $α$ i $β .$

Postupak:

$180 ° - 121 ° = 59 °$

$180 ° - 108 ° = 72 °$

$180 ° - (59 ° + 72 °) = 49 °$

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu

Vanjski kutovi trokuta

Pogledaj sliku i odaberi točan odgovor.
Ako je $α + α' = 180 °,$ $β + β' = 180 °,$ $γ + γ' = 180 °,$ onda je $α + α' + β + β' + γ + γ' =$

.

Pomoć:

Uvrsti umjesto svakog zbroja sukuta broj $180 ° .$

Postupak:

$180 ° + 180 ° + 180 ° = 540 °$

Znamo da je $α + β + γ = 180 ° .$ Ako to uvrstimo u izraz $α + β + γ + α' + β' + γ' = 540 °,$ dobit ćemo da je $α' + β' + γ' =$

jer

je

180 °

+

=

540 ° .

Pomoć:

$180 ° + α' + β' + γ' = 540 °$

Postupak:

$α' + β' + γ' = 540 ° - 180 ° = 360 °$

Zapišimo svojstvo vanjskih kutova trokuta.

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu je $360 ° .$

Kolekcija zadataka #4

Zadatak: izračunaj vanjski kut trokuta. Alfa je 110 stupnjeva, a beta je 60 stupnjeva.

Veličina kuta $γ'$ sa slike je

.

Pomoć:

Prvo izračunaj vanjski kut $β$ '.

Postupak:

$180 ° - 60 ° = 120 °$

$360 ° - (120 ° + 110 °) = 130 °$

Zadatak se može riješiti i s pomoću unutarnjih kutova, ali je ovako brže.

U trokutu $A B C$ mjera dva vanjska kuta je $122 ° .$ Veličina trećeg vanjskog kuta je

116 °

Bravo!

58 °

Pažljivo pročitaj zadatak i nacrtaj skicu.

64 °

Pažljivo pročitaj zadatak i nacrtaj skicu.

238 ° .

Pažljivo pročitaj zadatak i nacrtaj skicu.

Pomoć:

Dva vanjska kuta su iste veličine $122 ° .$

Postupak:

$360 ° - 2 \cdot 122 ° = 116 °$

S obzirom na duljine stranica trokut

A B C

u drugom zadatku je

Vrsta trokuta klasificirana po stranicama.

trokut.

Pomoć:

Pažljivo prouči zadatak i nacrtaj skicu.

Postupak:

Ako treba, izračunaj unutarnje kutove trokuta ili ponovi vrste trokuta u jedinici 2.2.

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu

U interakciji izračunaj treći kut ponuđenog trokuta i zatim usporedi duljine stranica i veličine kutova u tom trokutu, počevši od najkraće stranice, odnosno najmanjeg kuta. Što primjećuješ?

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu

Nasuprot kraće stranice nalazi se manji kut.

Nasuprot manjeg kuta nalazi se kraća stranica.

Pokušaj izreći ovo svojstvo trokuta na drugi način.
Nasuprot dulje

Koristi riječi iz gornje tvrdnje.

trokuta

nalazi se

Kut je veći ili manji.

kut.

Nasuprot većeg

Koristi riječi iz gornje tvrdnje.

nalazi

se

Stranica je dulja ili kraća.

stranica.

Pomoć:

Pogledaj još jednom interakciju i gornju tvrdnju te razmisli.

Na znanstvenom kalkulatoru treba uočiti tipke na kojima piše sin, cos i tan. — Znanstveni kalkulator

Zanimljivost

Odnos stranica u trokutu je takav da se nasuprot kraćoj stranici nalazi manji kut, ali ne u istom omjeru. To znači da ako je primjerice stranica $a$ trokuta $A B C$ upola kraća od stranice $b,$ kut $α$ jest manji od kuta $β,$ ali nije upola manji od kuta $β,$ i tako dalje. Omjer duljina stranica i veličina kutova u trokutu definira se poučkom o sinusima koji se uči u srednjoj školi. Taj dio matematike zove se trigonometrija. Na znanstvenom kalkulatoru postoje tipke na kojima piše sin, cos i tan. S pomoću njih računa se sinus, kosinus ili tangens kuta. Ako te zanima više, možeš zaviriti u DOS - Matematika 3.

Primjer 2.

Poredaj po veličini duljine stranica trokuta sa slike počevši od najkraće.

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu

Prvo treba izračunati veličinu trećeg kuta u trokutu sa slike.

$γ = 180 ° - (40 ° + 75 °) = 180 ° - 115 ° = 65 ° .$

Zatim se usporede veličine kutova počevši od najmanjeg.

$40 ° < 65 ° < 75 °,$ odnosno $β < γ < α .$

S obzirom na to da se nasuprot manjeg kuta nalazi kraća stranica, zaključujemo da je

$b < c < a .$

Kolekcija zadataka #5

U pravokutnom trokutu $A B C$ s pravim kutom u vrhu $C,$ šiljasti kut pri vrhu $A$ je veličine $38 ° .$ Poredaj duljine stranica tog trokuta po veličini počevši od najdulje.

$b$
$c$
$a$

Pomoć:

Nacrtaj skicu zadanog pravokutnog trokuta $A B C .$ Pazi na sva pravila označavanja trokuta.

Zatim izračunaj veličinu kuta $β .$

Postupak:

$β = 180 ° - 90 ° - 38 ° = 90 ° - 38 ° = 52 °$

$90 ° > 52 ° > 38 °$

$γ > β > α$

$c > b > a$

U trokutu s duljinama stranica $a = 3.5 cm,$ $b = 85 mm$ i $c = 0.58 dm$ poredaj kutove po veličini počevši od najmanjeg.

$β$
$α$
$γ$

Pomoć:

Nacrtaj skicu trokuta poštujući pravila označavanja trokuta. Zatim preračunaj potrebne mjerne jedinice.

Postupak:

$a < c < b$

$α < γ < β$

Kutak za znatiželjne

Spoji parove veličina kutova trokuta sa slike.

Za znatiželjne, izračunaj veličine kutova u trokutu. Kut kod točke A je dva puta veći, kut kod točke B je 4 puta veći i kut kod točke C je 3 puta veći.

$α$	$40 °$
$γ$	$60 °$
$β$	$80 °$

Pomoć:

$α = 2 x = 2 \cdot x$

$β = 4 x = 4 \cdot x$

$γ = 3 x = 3 \cdot x$

$α + β + γ = 180 °$

Postupak:

$2 \cdot x + 4 \cdot x + 3 \cdot x = 180 °$

$9 \cdot x = 180 °$

$x = 180 ° : 9 = 20 °$

$α = 2 \cdot 20 ° = 40 °$

$β = 4 \cdot 20 ° = 80 °$

$γ = 3 \cdot 20 ° = 60 °$

...i na kraju

Trokut ima razna svojstva. Ponovimo svojstva trokuta naučena u ovoj jedinici:

Procijenite svoje znanje

Zbroj duljina dvije

kraće ili dulje

stranice

mora biti

veći ili manji

od

duljine

najdulje ili najkraće

stranice.

To svojstvo trokuta zovemo

Prouči jedinicu od početka.

trokuta.

Pomoć:

Pogledaj u pojmovnik.

null

Za stranice $a,$ $b,$ $c$ trokuta $A B C$ vrijedi $a + b$

c,

b + c

a,

a + c

b .

Pomoć:

Pogledaj poglavlje Nejednakost trokuta u ovoj jedinici.

null

Zbroj veličina unutarnjih kutova trokuta je

100 °

Prouči još jednom drugo poglavlje ove jedinice.

180 °

Bravo!

200 °

Prouči još jednom drugo poglavlje ove jedinice.

90 °

Prouči još jednom drugo poglavlje ove jedinice.

Pomoć:

Prouči još jednom drugo poglavlje ove jedinice.

null

Vanjski

Napiši element trokuta u jednini.

trokuta

je

Prouči još jednom treće poglavlje ove jedinice.

unutarnjeg

Napiši element trokuta; pazi na smislenost rečenice.

trokuta.

Pomoć:

Prouči još jednom treće poglavlje ove jedinice.

null

Za vanjske i unutarnje kutove trokuta $A B C$ vrijedi (ima više točnih odgovora):

α + α' = 100 °

Prouči još jednom treće poglavlje ove jedinice.

β + β' = 180 °

Bravo! Dobro ti ide, ima još točnih odgovora.

γ + γ' = 180 °

Bravo! Dobro ti ide, ima još točnih odgovora.

β + β' = 90 °

Prouči još jednom treće poglavlje ove jedinice.

α + α' = 180 °

Bravo! Dobro ti ide, ima još točnih odgovora.

Pomoć:

Razmisli što znači pojam sukuti.

null

Zbroj vanjskih kutova u trokutu je

.

Pomoć:

Ponovno prouči četvrto poglavlje ove jedinice.

null

Nasuprot dulje stranice

.
Nasuprot kraće stranice

.
Nasuprot većeg kuta

.
Nasuprot manjeg kuta

.

nalazi se kraća stranica.

nalazi se dulja stranica.

nalazi se manji kut.

nalazi se veći kut.

Pomoć:

Ponovno prouči peto poglavlje ove jedinice.

null

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: