Matematika 6 - 2.5 Konstrukcije trokuta

Konstrukcije trokuta u matematici

Svaka konstrukcija trokuta u matematici mora imati analizu, konstrukciju i raspravu.

Analizirati znači proučiti zadane uvjete zadatka i nacrtati skicu. Skica nam služi za lakše uočavanje međusobnih odnosa zadanih elemenata i za određivanje načina konstruiranja trokuta.

Zanimljivost

Skicu radimo prostoručno na papiru, a ovdje u DOS-u je skica približni izgled trokuta koji treba precizno konstruirati.

Kolekcija zadataka #1

Prisjeti se. Oznake vrhova u trokutu $A B C$ pišemo

od smjera kretanja kazaljke na satu. Oznaku za duljinu stranice

a

pišemo

vrha

A,

oznaku za kut

pišemo pri vrhu

A .

I tako dalje za sva tri vrha.

α

nasuprot

obrnuto

Pomoć:

Prisjeti se kako označavamo trokut.

null

Rasporedi preostale oznake vrhova i duljina stranica trokuta $A B C$ na nacrtanom trokutu.

C

A

a

b

c

Pomoć:

Prisjeti se kako označavamo trokut.

Raspravom ispitujemo po kojem je svojstvu konstrukcija moguća te određujemo poučak prema kojem je trokut jednoznačno određen. Kad kažemo da su trokuti jednoznačno određeni, mislimo da su svi trokuti konstruirani s tim elementima međusobno sukladni.

Pogledajmo tri osnovne konstrukcije trokuta

Konstrukcija trokuta SSS

Konstrukciju trokuta kojemu su zadane duljine svih triju stranica kratko zovemo konstrukcija trokuta SSS.

Primjer 1.

Konstruiraj trokut $A B C$ kojemu su zadane duljine svih triju stranica $a = 3 cm,$ $b = 6 cm$ i $c = 5 cm$ .

Prvo nacrtaj skicu i označi na njoj zadane elemente trokuta. Kada su zadane sve tri stranice trokuta, svejedno je koju ćeš stranicu prvu nacrtati, ali preporučujemo da vodoravno dolje bude najdulja stranica. U ovom trokutu to je stranica $b .$

a = 3 cm

c = 5 cm

A

B

C

Pomoć:

Pazi da duljine stranica trokuta označiš u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici konstruiraj trokut $A B C .$ Pomoć potraži u rješenju primjera.

Prateći sljedeće korake u bilježnicu konstruiraj trokut s pomoću ravnala i šestara.

Prvo nacrtaj dužinu $\bar{C A}$ kao na skici. Zatim u šestar uzmi duljinu $a = 3 cm,$ šestar zabodi u točku $C$ jer je $a = |C B|$ i nacrtaj jedan kružni luk iznad nacrtane dužine malo lijevo gore jer je to stranica kraće duljine od dvije preostale.

Nadalje u šestar uzmi duljinu $c = 5 cm,$ šestar zabodi u točku $A$ jer je $c = |A B|$ i novim lukom presijeci već nacrtani kružni luk. Ako ti se lukovi nisu presjekli, malo ih produži.

Nacrtana je dužina CA i presjek lukova u kojem je vrh B. — Korak konstrukcije trokuta ABC

Presjek lukova označi slovom $B,$ spoji trokut $A B C .$

Konstruirani trokut ABC, svaka stranica u drugoj boji — Trokut ABC

Odgovori na pitanja u raspravi.

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici sukladan je trokutu sa slike u rješenju.

Bravo!

Trokuti moraju biti sukladni jer su im odgovarajuće duljine stranica sukladne.

Pomoć:

Probaj još jednom konstruirati svoj trokut u bilježnici prateći korake konstrukcije.

Razmisli i odaberi točne izjave. Trokuti su sukladni prema poučku

kažemo da je trokut jednoznačno određen ako su mu poznate

svih

triju stranica. Konstrukcija je moguća jer je zbroj duljina dvije

stranice

veći od duljine treće stranice.

Pomoć:

Prisjeti se svojstava i poučaka sukladnosti trokuta.

Postupak:

U matematici kažemo duljine stranica i veličine kutova.

Zadatak 1.

Konstruiraj jednakokračan trokut $A B C$ kojemu je duljina osnovice $a = 65 mm$ i duljina jednog kraka $44 mm$ .

Na skici označi preostale elemente trokuta.

a = 65 mm

b = 44 mm

A

B

C

Pomoć:

Duljine stranica koje su jednake označi istim slovom. Vrhove označi u smjeru obrnuto od kretanja kazaljke na satu.

Konstrukciju radi u bilježnici. Prati skicu i prvo nacrtaj osnovicu $a = |B C|$ $= 65 mm$ . Zatim u šestar uzmi duljinu $b = 44 mm,$ šestar zabodi u točku $B$ jer je $b = |B A|$ i nacrtaj jedan kružni luk iznad nacrtane dužine. Nemoj zatvarati šestar nego ga zabodi s istom duljinom i u vrh $C$ jer je trokut jednakokračan te je također i $|C A| = b .$ Novim lukom presijeci prvi. Presjek označi slovom $A .$ Spoji trokut $A B C .$

Precizno konstruiran jednakokračni trokut ABC — Jednakokračni trokut ABC

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

je trokutu sa slike u rješenju prema poučku

o sukladnosti trokuta. Kažemo da je trokut

određen jer su mu poznate duljine sve

stranice.

SSS

sukladan

jednoznačno

tri

Pomoć:

Jednakokračni trokut ima dva kraka iste duljine.

Konstrukcija

moguća

jer je zbroj duljina dvije

stranice

veći od

stranice,

odnosno u ovom trokutu je zbroj duljina

veći

od duljine

Pomoć:

Krakovi $44 mm$ su dvije stranice kraće duljine, a osnovica $65 mm$ je najdulja u trokutu.

Postupak:

$44 cm + 44 cm > 65 cm$ $.$

Konstrukcija trokuta SKS

Konstrukciju trokuta kojemu su zadane duljine dviju stranica i veličina kuta između njih kratko zovemo konstrukcija trokuta SKS.

Primjer 2.

Konstruiraj trokut $A B C$ kojemu su zadane duljine dviju stranica $a = 5 cm$ i $c = 4 cm$ te veličina kuta između njih $β = 120 ° .$

Postupak konstrukcije trokuta $A B C$ iz primjera pogledaj u videozapisu.

Zadatak 2.

Konstruiraj trokut $A B C$ kojemu su zadane duljine dviju stranica $a = 6 cm$ i $b = 52 mm$ te veličina kuta između njih $γ = 45 ° .$

Na skici označi preostale elemente trokuta.

A

B

C

a

b

c

Pomoć:

Elemente trokuta označi u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

Postupak:

Već je ucrtan kut $γ .$ Prema njemu označi ostale elemente.

Trokut konstruiraj u bilježnicu. Prvo nacrtaj dužinu $\bar{C A}$ kao na skici. Zatim šestarom u vrhu $C$ konstruiraj kut od $45 ° .$ Krak $C B$ kuta od $45 °$ produži tako da možeš šestarom nanijeti duljinu $6 cm$ i dobiti vrh $B .$ Spoji trokut $A B C .$

Konstruirani trokut ABC s b = 5.2 cm, kutom od 45° i a = 6 cm. — Konstrukcija trokuta SKS

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

je trokutu sa slike u rješenju prema

poučku o sukladnosti trokuta.

sukladan

SKS

Pomoć:

Prisjeti se poučaka o sukladnosti trokuta.

Konstrukcija je moguća jer je veličina kuta

γ

Upiši veličinu kuta

γ

kao broj ili pročitaj još jednom zadatak.

°,

što je manje od

Razmisli koliko je zbroj kutova utrokutu i napiši u obliku broja.

°.

Pomoć:

Niti jedan kut u trokutu ne može biti veći od $180 ° .$

Postupak:

Konstrukcija je moguća ako je veličina kuta manja od $180 ° .$

Konstrukcija trokuta KSK

Konstrukciju trokuta kojemu je zadana duljina jedne stranice i veličine dvaju kutova uz nju kratko zovemo konstrukcija trokuta KSK.

Primjer 3.

Konstruiraj trokut $A B C$ kojemu je zadana duljina jedne stranice $c = 7 cm$ te veličine dvaju kutova uz nju $α = 60 °$ i $β = 40 ° .$

Na skici označi preostale elemente trokuta.

A

B

C

α

β

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

Prije početka konstrukcije uoči da kut veličine $60 °$

konstruirati

šestarom i ravnalom, a kut veličine

40 °

Zbog toga kut veličine

crtamo

kutomjerom.

Pomoć:

Prisjeti se jedinice 2.1. ovog DOS-a, u kojoj piše koji se kutovi mogu konstruirati šestarom i ravnalom.

Postupak:

Šestarom i ravnalom mogu se konstruirati kutovi veličine $60 °,$ $120 °,$ $30 °,$ $90 °,$ $45 °$ i razne njihove kombinacije dobivene simetralama kutova.

Prema skici konstruiraj trokut $A B C .$

U bilježnicu konstruiraj trokut s pomoću ravnala, šestara i kutomjera prateći korake u sljedećem nizu slika.

Konstrukcija trokuta KSK

Pogledaj prvu sliku u nizu i nacrtaj dužinu $\bar{A B} .$ Zatim u vrhu $A$ šestarom konstruiraj kut veličine $60 ° .$ Pogledaj drugu sliku i prisjeti se konstrukcije iz jedinice 2.1.

Nadalje, u vrhu $B,$ kao na trećoj slici, kutomjerom nacrtaj kut veličine $40 ° .$ Prisjeti se kako se crta kutomjerom na posebnoj slici dolje ili pogledaj DOS za peti razred.

Kutomjer i kut veličine 40° nacrtan kutomjerom — Crtanje kuta veličine 40° kutomjerom

Presjek dobivenih krakova kutova označi slovom $C$ kao na četvrtoj slici u nizu i odgovori na pitanja u raspravi.

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

je trokutu sa slike u rješenju prema poučku

. Znači da je trokut

određen ako mu je poznata duljina jedne

i veličina dva

uz nju.

jednoznačno

stranice

KSK

sukladan

kuta

Pomoć:

Prisjeti se poučka o skladnosti trokuta KSK.

null

Treći kut u trokutu je veličine

što

znači da je konstrukcija moguća.

Pomoć:

Zbroj veličina dva unutarnja kuta u trokutu mora biti manji od $180 °,$ da bi zbroj veličina sva tri kuta bio $180 ° .$

Postupak:

$60 ° + 40 ° = 100 °$

$180 ° - 100 ° = 80 °$

Zadatak 3.

Konstruiraj pravokutni trokut $A B C$ kojemu je duljina katete $b = 6.7 cm$ i veličina šiljastog kuta uz nju $α = 30 ° .$

Na skici označi elemente trokuta.

C

A

B

a

b

c

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici prvo nacrtaj stranicu $\bar{C A} .$ Zatim u vrhu $C$ konstruiraj kut veličine $90 °,$ a u vrhu $A$ konstruiraj kut veličine $30 °,$ kao u jedinici 2.1. Krakove spoji i u njihovu sjecištu označi vrh $B .$ Odgovori na pitanja u raspravi.

Pravokutni trokut s konstruiranim kutovima 90° i 30° — Konstrukcija pravokutnog trokuta

Rasprava:

Trokut je

određen prema poučku

o sukladnosti trokuta. Konstrukcija je

jer je treći kut veličine

KSK

60 °

jednoznačno

moguća

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je $180 ° .$

Postupak:

$90 ° + 30 ° = 120 °$

$180 ° - 120 ° = 60 °$

Zadatak 4.

Konstruiraj trokut $A B C$ kojemu su duljine dviju stranica $a = 8 cm,$ $b = 6 cm$ i veličina kuta $β = 35 ° .$

Na skici označi elemente trokuta koji nedostaju.

A

B

C

b

c

a

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici konstruiraj trokut $A B C .$ Pomoć potraži u rješenju zadatka.

Sljedeći trokut konstruiraj u bilježnicu. Prvo nacrtaj stranicu $\bar{B C}$ kao na skici. Zatim u vrhu $B$ kutomjerom nacrtaj kut veličine $35 °$ i dobiveni krak produži koliko treba. U šestar uzmi duljinu stranice $b = 6 cm$ i kružnim lukom presijeci dobiveni krak. Koliko rješenja dobivaš? Označi sva rješenja i spoji trokute kao na slici.

Konstruirana su dva trokuta, a = 8 cm, b = 6 cm i kutom 35° nasuprot kraće stranice b. — Konstrukcija

Koliko rješenja ima zadatak?

Jedno

Konstruiraj ponovno ili pogledaj rješenje zadatka.

Dva

Točno!

Tri

Konstruiraj ponovno ili pogledaj rješenje zadatka.

Zadatak nema rješenja.

Konstruiraj ponovno ili pogledaj rješenje zadatka.

Pomoć:

Konstruiraj ponovno ili pogledaj rješenje zadatka.

null

Razmisli. Trokut

jednoznačno određen jer je zadana duljina stranice

b

nasuprot kuta

β

od duljine stranice

a .

kraća

nije

Pomoć:

Prisjeti se poučka SSK o sukladnosti trokuta.

null

Trokut bi imao

rješenje da je stranica

b

od stranice

a .

Tada bi prema poučku

o sukladnosti trokut bio

određen.

jedno

SSK

jednoznačno

dulja

Pomoć:

Prisjeti se poučka SSK o sukladnosti trokuta.

Zadatak ne bi imao

da je duljina stranice

b

takva da ne možemo šestarom presjeći krak

B A .

rješenje

niti

jedno

Pomoć:

Zabodi šestar u vrh $C$ i otvori ga tako da ne možeš presjeći krak $B A .$

Postupak:

Uzmi u šestar primjerice duljinu $2 cm$ . Možeš li nacrtati kružni luk polumjera $2 cm$ koji bi presjekao krak $B A$ u konstruiranom trokutu?

...i na kraju

Treba projektirati kućicu za psa kao na slici. Za projekt izrade krova treba prvo konstruirati na papiru jednakostranični trokut kojemu su duljine stranica $50 mm$ .

Kućica za psa ima krov oblika jednakostraničnog trokuta, ispred kućice sjedi pas — Kućica za psa

Konstruiraj trokut na papiru i poredaj korake konstrukcije od početka.

Zabodemo šestar otvoren $50 mm$ u vrh $A$ te nacrtamo luk iznad stranice $\bar{A B} .$
Presiječemo novim kružnim lukom nacrtani luk.
Sjecište kružnih lukova označimo točkom $C .$
Analizirajući trokut uočavamo da je jednakostraničan.
Spojimo trokut $A B C .$
Ostavimo šestar otvoren $50 mm$ i zabodemo ga u vrh $B .$
Nacrtamo stranicu $\bar{A B}$ duljine $50 mm$ .
Crtamo skicu tako da je dolje vodoravno stranica $\bar{A B} .$

Pomoć:

Uzeli smo u šestar $50 mm$ jer je $50 cm$ preveliko za papir i obični šestar za učenike.

Postupak:

Može se i prvo zabosti šestar u točku $B,$ a kasnije u točku $A .$ Ovdje smo išli slijeva nadesno pa tako i poredaj korake da računalo prepozna poredak.

Trokut je jednoznačno određen prema poučku

SSK

Prisjeti se kako glasi poučak SSK o sukladnosti trokuta.

KSK

Prisjeti se kako glasi poučak KSK o sukladnosti trokuta.

SSS

Bravo!

SKS

Prisjeti se kako glasi poučak SKS o sukladnosti trokuta.

Pomoć:

Dobro prouči zadatak i skicu.

Konstrukcija

moguća

jer je

50 mm + 50 mm

50 mm

Pomoć:

Konstrukcija je moguća kada je zbroj duljina dvije stranice veći od duljine treće.

Postupak:

$50 + 50 = 100 > 50$

Na početku...

Zanimljivost

Konstrukcije trokuta u matematici

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #1

Konstrukcija trokuta SSS

Primjer 1.

Zadatak 1.

Konstrukcija trokuta SKS

Primjer 2.

Zadatak 2.

Konstrukcija trokuta KSK

Primjer 3.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

...i na kraju