Zbrajanje negativnih cijelih brojeva

Zanimljivost

U svakodnevnom se govoru često može čuti izraz "u minusu sam", "otišao/la sam u minus" ili "kartica mi je u minusu" što znači da je potrošen veći iznos novca od onoga koji je bio uplaćen na tekući račun.

Primjer 1.

Gospođa Ivić, unatoč tomu što je njezin tekući račun u minusu $650$ kn, odlučila je kupiti perilicu za rublje po cijeni od $2 800$ kn i platiti to karticom. Kakvo će biti stanje njezinog tekućeg računa nakon obavljene kupnje?

S obzirom na to da je već postojao dug od $650$ kn, novom kupnjom dug će porasti (kaže se i - račun je u minusu), a iznos ćemo saznati zbrojimo li iznose koje gospođa Ivić duguje.

$- 650 + (- 2 800) = - (650 + 2 800) = - 3 450$

Stanje računa gospođe Ivić je $- 3 450$ kn.

Negativan broj znači da je gospođa Ivić u dugu $3 450$ kn.

Kolekcija zadataka #1

Ribica pliva na dubini $3 m$ ispod površine vode. Ako se spusti još $12 m$ , na kojoj će dubini biti?

S obzirom na to da odgovor sigurno znaš, zapiši matematički izraz koji opisuje ovu priču.

S obzirom na to da se radi o dubini, riječ je o negativnim brojevima pa pišemo:

$- 3 + (- 12) = - 15$

Ribica pliva na dubini od $15 m .$

Napomena: Nije pravilno reći da ribica pliva na dubini od $- 15 m .$ Ili ćemo reći na dubini od $15 m$ ili (bez naglašavanja riječi "dubina") na $- 15 m .$

Temperatura zraka, izmjerena u Ogulinu u $13 h,$ iznosila je $- 7 ° C .$ Prognoza je da će tijekom poslijepodneva, do večeri, temperatura pasti još $4$ stupnja . Kolika je očekivana temperatura zraka?

Zapiši i matematički izraz koji opisuje navedenu situaciju.

Primijetit ćeš da temperatura pada. Izmjerenoj temperaturi dodajemo još $4$ negativna stupnja pa jednakost izgleda ovako:

$- 7 + (- 4) = - 11$

Očekivana temperatura je $- 11 ° C .$

Izračunaj.
a.

- 5 + (- 11) =

Pomoć:

Prilikom upisivanja negativnog broja, između predznaka i prve zapisane znamenke ne smije biti razmak.

Postupak:

Uz zadani brojevni izraz, zamisli priču iz prvog zadatka. Ribica je plivala na dubini...itd.

- 9 + (- 11) =

Pomoć:

Negativni broj upisuje se bez razmaka između predznaka i prve sljedeće znamenke.

- 28 + (- 8) =

Primjer 2.

Prilikom zbrajanja, možemo koristiti i kraći zapis, izostavljajući znak plus. Umjesto $- 7 + (- 8),$ možemo čitati (i izgovarati) minus sedam i minus osam te pisati $- 7 - 8 .$

Pišemo: $- 7 + (- 8) = - 7 - 8 =$

Izostavljanje znaka +

Zbrajanje negativnih brojeva možemo prikazati modelom kuglica, uz dogovor da negativne brojeve prikazujemo plavim kuglicama. Tako $7$ plavih kuglica predstavlja broj $- 7,$ a $8$ plavih kuglica predstavlja broj $- 8 .$

$- 7 + (- 8)$ čitamo: minus sedam i minus osam te crtamo sedam plavih i još osam plavih kuglica, što zajedno čini $15$ plavih kuglica. Iz toga zaključujemo da je zbroj $- 15 .$

Ili, $- 7 + (- 8) = - 7 - 8 = - 15 .$

15 plavih kuglica: u prvom retku 7, u drugom 8. — Prikaz zbrajanja pozitivnog i negativnog broja modelom kuglica

Kolekcija zadataka #2

Zbroj dvaju negativnih brojeva uvijek je

broj.

null

Povlačenjem parova spoji točne jednakosti.

$- 8 - 15 =$	$- 23$
$- 20 - 23 =$	$- 43$
$- 12 - 18 =$	$- 19$
$- 14 - 5 =$	$- 30$

Pomoć:

Pokušaj riješiti zadatke koristeći se modelom kuglica.

Prisjeti se, $- a - b = - a + (- b) .$

Zbrajanje pozitivnog i negativnog cijelog broja

Zanimljivost

Nakon što poslodavac uplati iznos plaće na tekući račun radnika, u svakodnevnom govoru često se može čuti izraz "sjela je plaća".

Primjer 3.

Prisjetimo se zadatka s perilicom. Nakon kupnje perilice, iznos na tekućem računu gospođe Ivić je $- 3 450$ kn. Sutra će gospođi Ivić na tekući račun biti uplaćena plaća u iznosu $6 400$ kn. Hoće li stanje na njezinom računu i dalje biti u minusu?

Ne, stanje na računu neće biti negativno jer će uplaćeni iznos biti veći nego raniji dug.

Kako zbrojiti negativan i pozitivan broj? Odgovor potraži u animaciji koja slijedi.

Prikaz zbrajanja cijelih brojeva modelom kuglica crvene i plave boje

Uz pomoć modela crvenih i plavih kuglica, uvježbaj zbrajanje pozitivnog i negativnog broja.

Izradi vježbu

Želiš li pri računanju koristiti model crvenih i plavih kuglica, možeš od tvrđeg papira ili kartona izrezati kvadratiće, kružiće ili bilo koje druge likove crvene i plave boje koji će predstavljati pozitivne i negativne brojeve.

Kolekcija zadataka #3

Izračunaj.

4 + (- 9) =

Pomoć:

Zadatak prikaži crvenim i plavim kuglicama ili pozitivan broj zamisli kao uplaćeni iznos novca (dobitak), a negativan kao dug.

- 20 + 100 =

Pomoć:

Ako zamisliš $20$ plavih kuglica (negativan broj) i $100$ crvenih kuglica (pozitivan broj), upitaj se kojih je više i za koliko.

Kakvo stanje očitava bankomat na tekućem računu gospođe Ivić kada je, nakon duga od $3 450$ kn, uplaćena plaća u iznosu $6 400$ kn?

- 2 950

9 850

2 950

null

Prema izvještaju DHMZ-a, temperatura zraka u Osijeku u jutarnjim satima iznosila je

- 10 ° C

. Ako je mjerenje u podne pokazalo je da je temperatura porasla za

4 ° C

, termometar pokazuje

° C

Pomoć:

Riješi zadatak modelom crvenih i plavih kuglica.

Plavih kuglica je deset, a crvenih četiri. Kojih je više? Za koliko?

null

Temperatura zraka se, od jutros kada je izmjereno $- 13 ° C$ , promijenila za $4 ° C$ . Koje su moguće trenutne vrijednosti temperature zraka?

- 9 ° C

17 ° C

9 ° C

- 17 ° C

Pomoć:

Zadatak nije jednoznačno zadan (ne zna se je li se temperatura povisila ili se snizila) i zato su moguća dva rješenja.

null

Istražimo

Istraži u kojim je dijelovima svijeta moguće reći: "Jutros je izmjerena temperatura zraka $- 13 ° C$ .".

Oduzimanje cijelih brojeva

Pokušaj, bez prethodnog pojašnjavanja, riješiti sljedeće zadatke. Posluži se, bude li potrebno, modelom crvenih i plavih kuglica.

Podsjetimo: crvena kuglica predstavlja pozitivan broj, a plava kuglica negativan.

Kolekcija zadataka #4

Izračunaj.
a.

13 - 8 =

null

- 2 - 11 =

Pomoć:

Izgovori: $- 2$ i $- 11$ ili dvije plave kuglice i još jedanaest plavih kuglica je ...

null

Izračunaj.
a.

23 - 40 =

Pomoć:

Zadatak je, zapravo, skraćeni zapis zbrajanja $23 + (- 40) .$ Oduzimanje se može shvatiti kao dodavanje negativnog broja.

null

5 - (- 10) =

Pomoć:

Objašnjenje ovog rješenja potraži u primjeru koji slijedi.

null

Zanimljivost

Strmac je visoka hrid, gotovo okomita na morsku površinu. Najviše hrvatske strmce možemo vidjeti u Parku prirode Telašćica. Želite li saznati nešto više o njima, posjetite mrežne stranice tog jedinstvenog parka prirode.

Primjer 4.

Strmac na Grpašćaku (Telašćica) doseže visinu od $161 m$ , a more pod njim duboko je $85 m$ . Kolika je visinska razlika među njima?

Točnost dobivenog rješenja provjeri uz video koji slijedi.

Strmac, Park prirode Telašćica

Kolekcija zadataka #5

Odaberi točno rješenje.

a. $- 13 - (- 4) =$
b. $- 13 - 4 =$
c. $13 - (- 4) =$

null

a. $2 a + (- 9 a) = 7 a$

Točno

Netočno

Pomoć:

Kao i u skupu prirodnih brojeva, pri zbrajanju/oduzimanju algebarskih izraza možeš izlučiti zajednički faktor.

Zajednički faktor je broj $a .$

$2 a + (- 9 a) = a (2 + (- 9)) = a (2 - 9) = a \cdot (- 7) = - 7 a$

Postupak:

$2 a + (- 9 a) = - 7 a$

b. $- 14 b + 8 b = - 6 b$

Točno

Netočno

Kutak za znatiželjne

Istraži podatke i zanimljivosti o:

a. najnižim i najvišim izmjerenim temperaturama na Zemlji

b. najdubljim jamama u Hrvatskoj

c. najdubljim morima i najvišim planinama na svijetu

d. najdubljim prirodnim jezerima i najvišim planinama u Hrvatskoj

Pronađene podatke zaokruži na cijeli broj i osmisli zanimljive zadatke koje ćete rješavati na nastavi.

...i na kraju

... prije nego što riješiš kviz Procijenite svoje znanje, zabavi se i provjeri koliko spretno zbrajaš i oduzimaš cijele brojeve...

Procijenite svoje znanje

Upiši cijeli broj koji je pridružen istaknutoj točki brojevnog pravca.