Matematika 6 - 5.2 Množenje i dijeljenje razlomaka

Množenje prirodnog broja i razlomka

Razmisli i dopuni rečenice.

Klara je, u ta tri mjeseca, u kućicu za ptičice stavila

=

$\frac{27}{10} kg$ zrnja. Kraće smo mogli to zapisati

$kg$ .

$\frac{9}{10} + \frac{9}{10} + \frac{9}{10}$

$3 \cdot \frac{9}{10}$

Pomoć:

Najprije zapiši zbrajanjem da je svaki mjesec stavljala zrnje. Zatim, to zbrajanje istih pribrojnika zapiši kraće u obliku množenja.

null

Klara je stavila

$kg$ zrnja tijekom ta tri mjeseca. I stavila je

$3 \cdot$

$kg$ zrnja. Znači da je

.

$\frac{27}{10}$

$3 \cdot \frac{9}{10} = \frac{27}{10}$

$\frac{9}{10}$

Pomoć:

Pročitaj zadatak, razmisli i zaključi.

null

Riješi još nekoliko zadataka prije zaključka.

Kolekcija zadataka #1

Najprije izračunaj $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4},$ zatim razmisli koliko je $5 \cdot \frac{3}{4}$ i odaberi točan odgovor.

$\frac{15}{4}$

Odlično!

$\frac{15}{20}$

Razmisli ili pogledaj uputu.

$\frac{3}{20}$

Razmisli ili pogledaj uputu.

$5 \frac{3}{4}$

Razmisli ili pogledaj uputu.

Pomoć:

$5 \cdot 3 = 15$

Postupak:

$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

Mješoviti broj $5 \frac{3}{4} = 5 + \frac{3}{4}$

Umnožak $11 \cdot \frac{7}{3}$ jednak je razlomku $\frac{77}{3} .$

Da

Odlično!

Ne

Razmisli ili pogledaj uputu.

Pomoć:

$11$ puta zapiši pribrojnik $\frac{7}{3}$ i zbroji.

Postupak:

$11 \cdot 7 = 77$

Umnožak $25 \cdot \frac{8}{5}$ nakon skraćivanja jednak je broju $20 .$

Da

Razmisli ili pogledaj uputu.

Ne

Točno rješenje je

$40 .$

Pomoć:

$25$ puta zapiši pribrojnik $\frac{8}{5}$ zbroji i skrati.

Postupak:

$25 \cdot \frac{8}{5} = \frac{200}{5} .$

Množenje prirodnog broja i razlomka

Prirodni broj i razlomak množimo tako da brojnik pomnožimo tim prirodnim brojem, a nazivnik prepišemo.

Uvježbajmo.

Kolekcija zadataka #2

U ulici je $30$ kuća. Na $\frac{4}{5}$ od tih $30$ kuća izvješena je zastava za Dan državnosti. Izračunaj koliko je to kuća i odaberi točan odgovor.

To je

$20$ kuća.

Razmisli ili pogledaj uputu.

To su

$24$ kuće.

Bravo!

To je

$25$ kuća.

Razmisli ili pogledaj uputu.

To je

$29$ kuća.

Razmisli ili pogledaj uputu.

Pomoć:

$\frac{4}{5}$ od $30$ znači $\frac{4}{5} \cdot 30$ , pomnoži pa skrati.

Postupak:

Zadatak možeš riješiti i tako da najprije izračunaš koliko je $\frac{1}{5}$ od $30,$ zatim rješenje pomnožiš sa $4 .$

Pomnoži, rješenje skrati do kraja i zapiši u obliku mješovitog broja ako je moguće. Spoji parove.

$\frac{3}{4}$ od $14$	$5 \frac{5}{7}$
$\frac{3}{8}$ od $56$	$25$
$\frac{5}{6} \cdot 30$	$21$
$15 \cdot \frac{8}{21}$	$10 \frac{1}{2}$

Pomoć:

Brojnik pomnoži prirodnim brojem, nazivnik prepiši, rješenje skrati i zapiši u obliku mješovitog broja.

Postupak:

$\frac{120}{21} = \frac{40}{7}$

$\frac{42}{4} = \frac{21}{2}$

$\frac{150}{6} = 25$

$\frac{168}{8} = 21$

Školski sat traje

$\frac{3}{4}$ sunčanog sata. Učenik, koji po rasporedu ima

$6$ školskih sati, na nastavi provede

Razmisli ili pogledaj uputu.

minuta.

Pomoć:

$\frac{3}{4}$ od $60$ je $45$ minuta traje jedan školski sat.

Postupak:

$45 \cdot 6$ minuta provede učenik na nastavi ako ima $6$ školskih sati.

Množenje razlomka razlomkom

Kako pomnožiti $\frac{3}{4}$ i $\frac{3}{5}$ pogledaj u video zapisu.

00:00

Zadatak 1.

Provjerimo tvrdnju iz videozapisa na još jednom primjeru.

Pravokutnik podijeljen na 35 jednakih dijelova, ljubičasto obojeno 12 dijelova

Veliki pravokutnik sa slike podijeljen je na ukupno

jednakih dijelova. Duljina pravokutnika podijeljena je na

, a

na sedmine. Površina ljubičastog pravokutnika s duljinama stranica jednakim

stranica početnog pravokutnika je

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7}$ ili

površine početnog pravokutnika.

petine

širina

$\frac{12}{35}$

$\frac{4}{5}$ i

$\frac{3}{7}$

$35$

Pomoć:

Uoči $12$ ljubičastih dijelova od ukupno $35$ dijelova početnog pravokutnika.

Postupak:

Ljubičasti dio pravokutnika je $\frac{12}{35}$ početnog pravokutnika.

Zaključimo.

Množenje razlomka razlomkom

Razlomak množimo razlomkom tako da brojnik pomnožimo brojnikom, a nazivnik nazivnikom.

Uvježbajmo.

Kolekcija zadataka #3

Rješenje umnoška $\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{7}$ je $\frac{71}{35} .$

Da

Pogledaj video ili uputu.

Ne

Točno rješenje je

$\frac{24}{35} .$

Pomoć:

Množimo brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom.

Postupak:

$\frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 7}$

Pomnoži razlomke tako da decimalne i mješovite brojeve najprije zapišeš u obliku razlomka, a zatim pomnožiš. Rješenje skrati i, ako je moguće, zapiši u mješovitom broju i spoji parove.

$1 \frac{1}{2} \cdot 1.5$	$2 \frac{9}{28}$
$\frac{13}{4} \cdot \frac{5}{7}$	$\frac{6}{25}$
$1 \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$	$1 \frac{1}{3}$
$\frac{4}{5} \cdot 0.3$	$2 \frac{1}{4}$

Pomoć:

Brojnik pomnoži s brojnikom, nazivnik s nazivnikom.

Postupak:

$1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

$0.3 = \frac{3}{10}$

$1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$1.5 = \frac{3}{2}$

Skraćivanje kod množenja razlomaka

Zadatak 2.

Izračunaj umnožak $\frac{12}{8} \cdot \frac{20}{45} .$ Rješenje skrati dokraja i, ako se može, zapiši u obliku mješovitog broja.

Najprije pomnožimo razlomke kako je pokazano u video zapisu, zatim, skratimo s $28$ i zapišemo rješenje u obliku mješovitog broja.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{21}{20} = \frac{12 \cdot 21}{7 \cdot 20} = \frac{252^{9}}{140_{5}} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}$

Razmisli.

U umnošku $\frac{12 \cdot 21}{7 \cdot 20}$ brojnik i nazivnik rastavi na faktore, skrati što možeš i poredaj korake po redoslijedu računanja.

$\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} =$
$\frac{12 \cdot 21}{7 \cdot 20} =$
$\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7}{7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} =$
$\frac{9}{5}$

Pomoć:

Prisjeti se što znači skratiti razlomak. Prisjeti se i svojstva množenja prirodnih brojeva, kada broj množimo s $1,$ njegova se vrijednost ne mijenja.

Postupak:

$\frac{2}{2}$ skrati s $2,$ $\frac{7}{7}$ skrati sa $7 .$

Uoči da bismo isto rješenje dobili i da smo prije množenja skratili bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{21}{20} = \frac{12^{3}}{7} \cdot \frac{21}{20_{5}} = \frac{3}{7_{1}} \cdot \frac{21^{3}}{5} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{9}{5}$

Rješenje je isto, a nismo morali tražiti zajednički djelitelj velikih brojeva.

Kod množenja razlomaka smijemo kratiti bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom.

Istražimo

Smijemo li tako skraćivati i kod zbrajanja ili oduzimanja? Istražimo. Izračunaj $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}$ bez skraćivanja. Zatim, izračunaj taj umnožak sa skraćivanjem. Rješenje je u oba slučaja isto, zar ne?

Sada izračunaj $\frac{3}{4} + \frac{4}{3}$ bez skraćivanja, svodeći razlomke na zajednički nazivnik, kako smo naučili u prethodnoj jedinici. Zatim, pokušaj dobiti rješenje zbroja $\frac{3}{4} + \frac{4}{3}$ tako da skratiš brojnike i nazivnike različitih pribrojnika. Je li opet rješenje u oba slučaja isto?

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3^{1}}{4_{1}} \cdot \frac{4^{1}}{3_{1}} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} = 2 \frac{1}{12}$

$\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{3^{1}}{4_{1}} + \frac{4^{1}}{3_{1}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$

Rješenje, nakon skraćivanja, kod zbrajanja nije isto, što znači da se kod zbrajanja (i oduzimanja) ne smiju skraćivati brojnik i nazivnik različitih razlomaka, nego samo brojnik i nazivnik istog razlomka.

Provjeri tvrdnju zajedno s prijateljima.

Projekt

Podijelite se u parove. Zadajte si po dva razlomka kao u prethodnom primjeru. Pomnožite ih sa i bez skraćivanja. Usporedite rješenja. Zatim ih zbrojite ili oduzmite sa i bez skraćivanja. Usporedite rješenja. Napišite zaključke na velikom papiru i stavite na pano.

Uvježbaj množenje razlomaka tako da ih najprije skratiš, ako je moguće.

Kolekcija zadataka #4

Pomnoži $\frac{12}{8} \cdot \frac{20}{21}$ tako da, prije množenja, skratiš. Poredaj korake po redoslijedu računanja.

$\frac{3^{1}}{2_{1}} \cdot \frac{20^{10}}{21_{7}} =$
$1 \frac{3}{7}$
$\frac{12^{3}}{8_{2}} \cdot \frac{20}{21} =$
$\frac{10}{7} =$
$\frac{12}{8} \cdot \frac{20}{21} =$

Pomoć:

Najprije skrati bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom. Na kraju, rješenje zapiši u obliku mješovitog broja.

Postupak:

$\frac{12}{8}$ skrati s $4$

$3$ i $21$ skrati s $3$

$20$ i $2$ skrati s $2$

Rješenje umnoška

$2 \frac{3}{8} \cdot 1 \frac{5}{19}$ je

Rješenje zapiši u obliku prirodnog broja.

.

Pomoć:

Mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka. Skrati prije množenja. Pomnoži i rješenje zapiši u obliku prirodnog broja.

Postupak:

$2 \frac{3}{8} = \frac{19}{8}$

$1 \frac{5}{19} = \frac{24}{19}$

Ako je moguće, skrati i pomnoži. Rješenje zapiši u obliku mješovitog broja. Spoji parove.

$\frac{15}{25} \cdot 0.5$	$1$
$\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5}$	$\frac{3}{10}$
$2 \frac{1}{4} \cdot 1.6$	$3 \frac{3}{5}$
$2 \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{22}$	$1 \frac{4}{5}$

Pomoć:

Mješovite decimalne brojeve zapiši u obliku razlomka, skrati i pomnoži.

Postupak:

$2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

$0.5 = \frac{1}{2}$

$2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

$1.6 = \frac{8}{5}$

Svojstva množenja razlomaka

Zadatak 3.

Riješi zadatke u bilježnicu. Zadatke s jednakim rješenjem smjesti u istu grupu. Zaključak zapiši tako da dopuniš rečenicu.

$\frac{10}{9} \cdot \frac{8}{5}$

$1 \frac{7}{9}$

$3$

Pomoć:

Izračunaj sva četiri zadatka u bilježnicu.

Postupak:

Mješoviti broj zapiši u obliku razlomka. Razlomke pomnoži tako da najprije skratiš bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom. Rješenje zapiši u obliku prirodnog ili mješovitog broja.

Ako faktori

mjesta, umnožak se

. Ovo svojstvo množenja nazivamo

.

zamijene

komutativnost

neće promijeniti

Pomoć:

Dopuni rečenicu tako da ima smisla.

Postupak:

Razmisli koje svojstva vrijede za množenje prirodnih brojeva.

Zadatak 4.

Izračunaj svaki od zadataka u bilježnicu. Ako imaš zagradu, najprije izračunaj izraz u zagradi. Zadatke s jednakim rješenjem smjesti u istu grupu. Zaključak zapiši tako da dopuniš rečenicu.

$(0.5 \cdot 1 \frac{1}{3}) \cdot \frac{18}{5}$

$\frac{3}{7}$

$2 \frac{2}{5}$

Pomoć:

Pažljivo izračunaj i razmisli.

Postupak:

Decimalne i mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka. Razlomke pomnoži tako da skratiš bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom. Rješenje zapiši u obliku mješovitog broja, ako je moguće.

Ako faktore

na razne načine, umnožak se

. Ovo svojstvo množenja nazivamo

.

neće promijeniti

združimo

asocijativnost

Pomoć:

Dopuni tako da rečenica ima smisla.

Postupak:

Razmisli koja svojstva vrijede za množenje prirodnih brojeva.

Zadatak 5.

Zadatke izračunaj napamet i spoji parove. Zaključak zapiši tako da dopuniš rečenicu.

$\frac{11}{3} \cdot 1$	$0.7$
$1 \frac{2}{3} \cdot 1$	$\frac{4}{5}$
$1 \cdot \frac{4}{5}$	$\frac{11}{3}$
$1 \cdot 0.7$	$1 \frac{2}{3}$

Pomoć:

Razmisli koja svojstva vrijede za množenje prirodnih brojeva.

Postupak:

Mješoviti, prirodni i decimalni broj zapiši u obliku razlomka i pomnoži.

Ako neki broj pomnožimo s

vrijednost tog broja se

.

jedan

neće promijeniti

Pomoć:

Rečenicu dopuni tako da ima smisla.

Postupak:

Mješoviti, prirodni i decimalni brojevi su također razlomci.

Zadatak 6.

Izračunaj ovih nekoliko zadataka i zapiši zaključak tako da dopuniš rečenicu.

$\frac{3}{4} \cdot 0 =$

Razmisli ili pogledaj uputu.

,

$0 \cdot 1 \frac{2}{7} =$

Razmisli ili pogledaj uputu.

,

$0.4 \cdot 0 =$

Razmisli ili pogledaj uputu.

,

$0 \cdot \frac{8}{3} =$

Razmisli ili pogledaj uputu.

.

Pomoć:

Prisjeti se koja svojstva vrijede za množenje prirodnih brojeva.

Ako neki faktor pomnožimo s

umnožak će također biti

.

nula

nulom

Pomoć:

Dopuni tako da rečenica ima smisla.

Postupak:

Mješoviti, prirodni i decimalni brojevi se mogu zapisati u obliku razlomka.

Zadatak 7.

Izračunaj svaki od zadataka u bilježnicu poštujući redoslijed računskih radnji. Zadatke s jednakim rješenjem smjesti u istu grupu. Zaključak zapiši tako da dopuniš rečenicu.

$\frac{1}{19} \cdot (\frac{3}{4} + \frac{5}{6})$

$\frac{1}{12}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{4}$

Pomoć:

Riješi zadatke poštujući redoslijed računskih radnji.

Postupak:

Mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka. Prije množenja skrati razlomke.

Svojstvo

množenja prema zbrajanju i oduzimanju matematički možemo zapisati na dva načina. Za svaka tri nenegativna racionalna broja

$a,$

$b$ i

$c$ vrijedi

$a \cdot (b + c) =$

,

$a \cdot b + a \cdot c =$

, odnosno

$a \cdot (b - c) =$

i

$a \cdot b - a \cdot c =$

. Kada od izraza bez zagrada dobijemo izraz sa zagradom kažemo da smo

zajednički faktor.

$a \cdot (b - c)$

izlučili

distributivnosti

$a \cdot (b + c)$

$a \cdot b - a \cdot c$

$a \cdot b + a \cdot c$

Pomoć:

Prisjeti se svojstva distributivnosti množenja prema zbrajanju i oduzimanju prirodnih brojeva.

Projekt

U razredu se podijelite u grupe, međusobno si zadajte zadatke s množenjem razlomaka i isprobajte vrijede li sva ova svojstva i za neke druge brojeve. Izradite plakate svojih istraživanja i napravite izložbu na panou.

Zanimljivost

Svojstva računskih radnji služe bržem i jednostavnijem računanju.

Kolekcija zadataka #5

Izračunaj na najbrži način koristeći se svojstvima množenja i spoji parove.

$8 \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot 1 \cdot \frac{4}{15}$	$2$
$\frac{12}{84} \cdot 0 \cdot \frac{45}{17} \cdot \frac{71}{90}$	$0$
$\frac{2}{49} \cdot \frac{14}{15} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{5}{4}$	$2 \frac{2}{3}$
$\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{3} \cdot \frac{4}{7}$	$\frac{1}{27}$

Pomoć:

Mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka. Rješenje zapiši u obliku cijelog ili mješovitog broja, ako je moguće.

Postupak:

Koristi svojstva množenja razlomaka. Skrati bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom.

Pomnoži algebarske izraze i spoji parove.

$2 \cdot \frac{5}{6} x \cdot 3.2 y$	$2 x y$
$1 \frac{2}{3} a \cdot 9 b$	$5 \frac{1}{3} x y$
$\frac{4}{5} a \cdot \frac{3}{4} b$	$\frac{3}{5} a b$
$\frac{1}{2} x \cdot 4 y$	$15 a b$

Pomoć:

Broj pomnoži s brojem, slovo sa slovom. Znak množenja ne mora se pisati između slova i broja ili između dva slova, kao i kod prirodnih i cijelih brojeva.

Postupak:

Decimalne i mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka, prije množenja razlomke skrati. Na kraju, brojeve zapiši u obliku mješovitog ili prirodnog broja, ako je moguće.

Riješi svaki zadatak u bilježnicu na dva načina. U jednom načinu koristi distributivnost, a drugi put riješi isti zadatak poštujući redoslijed računskih radnji. Rješenje treba biti jednako. Uoči koji je brži način za koji zadatak. Spoji parove.

$\frac{15}{7} \cdot (\frac{7}{11} - \frac{7}{22})$	$\frac{15}{22}$
$\frac{2}{5} \cdot (\frac{5}{3} + \frac{5}{8})$	$4$
$\frac{9}{25} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{25} \cdot 1 \frac{1}{6}$	$\frac{3}{5}$
$3 \frac{3}{4} \cdot 1 \frac{2}{3} - 3 \frac{3}{4} \cdot 0.6$	$\frac{11}{12}$

Pomoć:

Decimalne i mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka.

Postupak:

Pri množenju skrati bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom. Na kraju, rješenje skrati do kraja.

Recipročni brojevi

Izračunaj ovih nekoliko zadataka i zapiši zaključak tako da dopuniš rečenicu.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} =$

Ponovo pomnoži ili pogledaj uputu.

,

$\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7} =$

Ponovo pomnoži ili pogledaj uputu.

,

$\frac{4}{15} \cdot \frac{15}{4} =$

Ponovo pomnoži ili pogledaj uputu.

.

Pomoć:

Najprije skrati bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom, pomnoži i rješenje zapiši u obliku prirodnog broja.

Postupak:

$\frac{1}{1} = 1$

Ako

dva razlomka kod kojih je

prvog razlomka jednak nazivniku

, a

prvog jednak

drugog, umnožak je uvijek jednak broju

.

brojnik

drugog

brojniku

množimo

$1$

nazivnik

Pomoć:

Dopuni rečenicu tako da ima smisla.

Recipročni brojevi

Za dva broja, čiji je umnožak jednak $1,$ kažemo da su recipročni brojevi.

Pojednostavljeno, recipročni broj razlomka $\frac{a}{b}$ je razlomak $\frac{b}{a} .$

Razlomak s jedne strane kartice i njemu recipročan razlomak s druge strane te kartice. Prednja strana (a/b), stražnja strana (b/a)

Razlomak s jedne strane kartice i njemu recipročan razlomak s druge strane te kartice.

Kolekcija zadataka #6

Razmisli i spoji parove.

Recipročan broj broja $1.7$	$\frac{1}{3}$
Recipročan broj broja $1 \frac{1}{5}$	$\frac{5}{6}$
Recipročan broj broja $\frac{7}{8}$	$\frac{8}{7}$
Recipročan broj broja $3$	$\frac{10}{17}$

Pomoć:

Prirodni, decimalni i mješoviti broj zapiši u obliku razlomka.

Postupak:

Da bismo zapisali recipročan broj nekog razlomka, moramo mu zamijeniti brojnik i nazivnik.

Recipročan

broja

$1$ je broj

, pa kažemo da je broj

$1$

sam sebi.

$1$

broj

recipročan

Pomoć:

Broj $1$ zapiši u obliku razlomka i zamijeni brojnik i nazivnik.

Postupak:

$1 = \frac{1}{1}$

Broj

nema recipročnog broja i

niti jednom broju.

nije recipročan

$0$

Pomoć:

Nulu ne možemo pisati u nazivniku jer s nulom ne možemo dijeliti.

Postupak:

$0 = \frac{0}{1},$ ali ne možemo od toga napraviti recipročan broj.

Dijeljenje razlomaka

Riješi i razmisli.

Izračunaj i usporedi rješenja.

$8 : 4 =$

Pogledaj uputu.

i

$8 \cdot \frac{1}{4} =$

Pogledaj uputu.

,

Pomoć:

Prirodne brojeve podijeli. Prirodni broj pomnoži s razlomkom i skrati do kraja.

null

Polovina kruga podijeljena je na tri dijela, jedan dio je obojen ljubičasto.

Kada polovinu kruga

na tri jednaka dijela, pišemo

i jedan dio obojimo, obojena je

$\frac{1}{6}$

. Izračunaj i usporedi s dijeljenjem,

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =$

.

podijelimo

kruga

$\frac{1}{2} : 3$

$\frac{1}{6}$

Pomoć:

Razlomke pomnoži tako da pomnožiš brojnik s brojnikom, nazivnik s nazivnikom.

null

Ako $3$ jednaka komada čokolade podijelimo na pola ili $3 : \frac{1}{2},$ dobit ćemo

komada

čokolade. Umnožak

$3 \cdot 2 =$

.

Pomoć:

Uzmite $3$ ploče čokolade i podijelite ih po pola, dobit ćete $6$ manjih pločica čokolade.

null

Ako podijelimo brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom u računu $\frac{12}{25} : \frac{3}{5}$ dobit ćemo isto rješenje kao i da smo pomnožili $\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{3} .$

Da

Izračunaj i pogledaj uputu.

Ne

Izračunaj i pogledaj uputu.

Pomoć:

Rješenje koje dobijemo u oba računa je $\frac{4}{5} .$

Postupak:

$12 : 3 = 4$

$25 : 5 = 5$

U drugom računu razlomke prije množenja skrati do kraja i pomnoži.

Zaključimo.

Kada zadani broj

s nekim

, dobijemo isto rješenje kao i kada taj broj

s

razlomkom.

recipročnim

razlomkom

dijelimo

pomnožimo

Pomoć:

Dopuni rečenicu kako bi imala smisla.

null

Za svaka dva razlomka

vrijedi

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} =$

.

$\frac{a}{b}$ i

$\frac{c}{d}$

$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Pomoć:

Prouči primjere i dopuni rečenicu kako bi imala smisla.

null

Dijeljenje razlomaka

Razlomke dijelimo tako da djeljenik prepišemo i pomnožimo s recipročnim brojem djelitelja.

Primjer 1.

Podijeli $3 \frac{1}{8} : \frac{5}{16} .$ Rješenje skrati do kraja i zapiši u obliku prirodnog broja.

$3 \frac{1}{8} : \frac{5}{16} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{5} = \frac{25^{5}}{8_{1}} \cdot \frac{16^{2}}{5_{1}} = \frac{10}{1} = 10$

Uvježbajmo dijeljenje razlomaka.

Kolekcija zadataka #7

Izračunaj $\frac{25}{28} : \frac{35}{16}$ i odaberi točan odgovor.

$2 \frac{19}{20}$

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

$\frac{49}{20}$

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

$\frac{5}{12}$

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

$\frac{20}{49}$

Bravo!

Pomoć:

Djeljenik prepiši i pomnoži s recipročnim djeliteljem.

Recipročan broj razlomka $\frac{35}{16}$ je $\frac{16}{35} .$

Postupak:

$\frac{25}{28} \cdot \frac{16}{35}$

Najprije skrati pa pomnoži razlomke.

Podijeli, rješenje skrati do kraja i zapiši u obliku prirodnog broja.

$2 \frac{1}{5} : \frac{22}{10} =$

Podijeli ponovo ili pogledaj uputu.

.

Pomoć:

Djeljenik zapiši u obliku razlomka i pomnoži s recipročnim djeljiteljem.

Postupak:

$\frac{11}{5} \cdot \frac{10}{22}$

Podijeli, skrati do kraja i rješenje zapiši u obliku mješovitog broja, ako je moguće. Spoji parove.

$1 \frac{5}{6} : 4$	$1 \frac{9}{16}$
$5 : 2 \frac{1}{2}$	$5$
$2.5 : \frac{1}{2}$	$\frac{11}{24}$
$\frac{5}{4} : \frac{4}{5}$	$2$

Pomoć:

Djeljenik zapiši u obliku razlomka i pomnoži s recipročnim djeliteljem.

Postupak:

$\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{5}$

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{1}$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

$\frac{11}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Projekt

Uočit ćeš da je, u nekim zadacima, količnik veći od djeljenika. Istraži s prijateljima u kojim slučajevima je količnik manji od djeljenika, a u kojim je slučajevima veći. Provjerite svoja razmišljanja i zaključke na primjerima. Izradite prezentaciju i prezentirajte je u razredu.

Kutak za znatiželjne

Ponuđene zadatke riješi u bilježnicu. Raspravi i usporedi način rješavanja s prijateljima.

Kolekcija zadataka #8

Izračunaj $\frac{18}{24} : \frac{45}{36} : \frac{15}{30} \cdot \frac{25}{6}$ i odaberi točan odgovor.

$\frac{5}{4}$

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

$1 \frac{61}{64}$

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

$1$

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

$5$

Bravo!

Pomoć:

Računaj redom slijeva nadesno. Svako dijeljenje zapiši kao množenje, a svaki djelitelj okreni u recipročni broj.

Postupak:

$\frac{18}{24} \cdot \frac{36}{45} \cdot \frac{30}{15} \cdot \frac{25}{6},$

nakon toga, skrati bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom.

Dopuni rečenicu.

$\frac{3}{4}$ od

$\frac{4}{5}$ sata je

Razmisli ili pogledaj uputu.

minuta.

Pomoć:

Riječ "od" zamijeni znakom množenja i prisjeti se da $1$ sat ima $60$ minuta.

Postupak:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot 60$

Kada pomnožiš deset razlomaka oblika

$\frac{n}{n + 1},$ gdje je

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dobit ćeš rješenje koje je recipročno broju

Pročitaj ponovo zadatak ili pogledaj uputu.

.

Pomoć:

Uvrsti redom sve ponuđene $n$ i $n + 1$ , primjerice, ako je $n = 1,$ onda je $n + 1 = 2,$ ako je $n = 2,$ onda je $n + 1 = 3$ i tako dalje, za sve $n$ iz zadanog skupa brojeva. Pomnoži te razlomke i odredi recipročan broj rješenja.

Postupak:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}$

...i na kraju

Za kraj, otkrij sliku tako da uvrstiš $a = \frac{1}{2},$ $b = \frac{3}{4},$ $c = \frac{5}{6}$ u zadane matematičke izraze i izračunaš. Brojnike i nazivnike upiši u predviđena polja. Ako u izrazu imaš više od dva broja, rješavaj redom slijeva nadesno.

Povećaj interaktivni prikaz

Na početku...

Množenje prirodnog broja i razlomka

Kolekcija zadataka #1

Množenje prirodnog broja i razlomka

Kolekcija zadataka #2

Množenje razlomka razlomkom

Zadatak 1.

Množenje razlomka razlomkom

Kolekcija zadataka #3

Skraćivanje kod množenja razlomaka

Zadatak 2.

Istražimo

Projekt

Kolekcija zadataka #4

Svojstva množenja razlomaka

Zadatak 3.

179<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 1 </mn> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 7 </mn> <mn> 9 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

3<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 3 </mn> </math>

Zadatak 4.

37<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 3 </mn> <mn> 7 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

225<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mn> 2 </mn> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 2 </mn> <mn> 5 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

112<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 1 </mn> <mn> 12 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

25<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 2 </mn> <mn> 5 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

13<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 1 </mn> <mn> 3 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

34<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mstyle scriptlevel="-1"> <mfrac> <mn> 3 </mn> <mn> 4 </mn> </mfrac> </mstyle> </math>

Projekt

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #5

Recipročni brojevi

Recipročni brojevi

Kolekcija zadataka #6

Dijeljenje razlomaka

Dijeljenje razlomaka

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #7

Projekt

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka #8

...i na kraju

$1 \frac{7}{9}$

$3$

$\frac{3}{7}$

$2 \frac{2}{5}$

$\frac{1}{12}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{3}{4}$