Matematika 6 - 7.4 Primjena linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Zagonetke s brojevima

Zagonetke s brojevima česte su u matematici, ali služe i za svakodnevnu razbibrigu. S pomoću njih mogu se stvoriti zanimljivi trikovi pogađanja brojeva. Prvo riješi zadane zadatke, a zatim pokušaj osmisliti svoj trik pogađanja brojeva.

Primjer 1.

Zbroj dvaju brojeva je $47 .$ Prvi broj je za $5$ veći od drugog broja. Koji su to brojevi?

Postavljanje jednadžbe:

Prvi broj označi s $x,$ a drugi s $x + 5 .$

Njihov je zbroj $x + x + 5 = 47 .$

Rješavanje:

$\begin{array}{l} x + x + 5 = 47 \\ 2 x = 47 - 5 \\ 2 x = 42 / : 2 \\ x = 21 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 21 + (21 + 5) = 47 \\ 21 + 26 = 47 \\ 47 = 47 . \end{array}$

Prvi je broj $21,$ a drugi $26 .$

Rješenje ima smisla jer zbroj dobivenih brojeva daje $47 .$

Kolekcija zadataka #1

Koji broj uvećan za $5$ daje $23 ?$

To je broj

Postupak:

Označi taj broj s $x .$

$\begin{array}{l} x + 5 = 23 \\ x = 23 - 5 \\ x = 18 . \end{array}$

Koji broj treba pomnožiti s $8$ da se dobije $2 000 ?$

To je broj

Razmisli!

Pomoć:

Neka je $x$ traženi broj. Treba riješiti jednadžbu $8 x = 2 000 .$

null

Pomnoži li se broj s $2,$ zatim oduzme $3,$ to je kao da je traženom broju dodano $2 .$

To je broj

Razmisli!

Pomoć:

Kada problemski zadatak prevedeš s govornog na matematički jezik, ovaj će se zadatak svesti na rješavanje jednadžbe: $2 x - 3 = x + 2 .$

null

Zbroj triju brojeva je $200 .$ Prvi broj je za pet manji od trećeg, a drugi trostruko veći od prvog broja. Koji su to brojevi?

Označi s $x$ treći broj.

Prvi broj je za pet manji od trećeg: $x - 5,$ a drugi broj je trostruko veći od prvog: $3 (x - 5) .$

Njihov zbroj je $200 .$

Kada sve napisano staviš u jednadžbu, dobiješ $x - 5 + 3 (x - 5) + x = 200 .$

Rješavanje:

$\begin{array}{lllll} x - 5 + 3 (x - 5) + x = 200 \\ x - 5 + 3 x - 15 + x = 200 \\ 5 x - 20 = 200 \\ 5 x = 220 / : 5 \\ x = 44 . \end{array}$

Prvi je broj $x - 5 = 44 - 5 = 39 .$

Drugi je broj $3 \cdot (x - 5) = 3 \cdot 39 = 117 .$

Provjera:

$\begin{array}{l} 39 + 117 + 44 = 200 \\ 200 = 200 . \end{array}$

To su brojevi $39,$ $117$ i $44 .$

Zbroj triju uzastopnih parnih brojeva je $120 .$ Koji su to brojevi?

Neka je $2 x$ prvi paran broj. Sljedeći je paran broj za dva veći: $2 x + 2,$ a sljedeći za još dva veći: $2 x + 4 .$

Njihov je zbroj $120 .$

Vrijedi: $\begin{array}{l} 2 x + 2 x + 2 + 2 x + 4 = 120 \\ 6 x + 6 = 120 \\ 6 x = 120 - 6 \\ 6 x = 114 / : 6 \\ x = 19 . \end{array}$

Prvi je broj $2 x = 2 \cdot 19 = 38,$ drugi $2 x + 2 = 2 \cdot 19 + 2 = 40,$ a treći $2 x + 4 = 2 \cdot 19 + 4 = 42 .$

Provjera:

$\begin{array}{l} 38 + 40 + 42 = 120 \\ 120 = 120 . \end{array}$

Ako trećini nekog broja dodaš sedam, dobit ćeš isto kao da polovini tog broja dodaš tri. Koji je to broj?

Označi s $x$ traženi broj.

Prema zadatku: $\frac{1}{3} x + 7 = \frac{1}{2} x + 3 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{llll} \frac{1}{3} x + 7 = \frac{1}{2} x + 3 / \cdot 6 \\ 2 x + 42 = 3 x + 18 \\ 3 x - 2 x = 42 - 18 \\ x = 24 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} \frac{1}{3_{1}} \cdot 24^{8} + 7 = \frac{1}{2_{1}} \cdot 24^{12} + 3 \\ 8 + 7 = 12 + 3 \\ 15 = 15 . \end{array}$

Petina nekog broja je za $4$ manja od njegove trećine. Koji je to broj?

Označi s $x$ traženi broj.

Prema zadatku: $\frac{1}{3} x - 4 = \frac{1}{5} x .$

Vrijedi:

$\begin{array}{lllll} \frac{1}{3} x - 4 = \frac{1}{5} x / \cdot 15 \\ 5 x - 60 = 3 x \\ 5 x - 3 x = 60 \\ 2 x = 60 / : 2 \\ x = 30 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} \frac{1}{3} \cdot 30 - 4 = \frac{1}{5} \cdot 30 \\ 10 - 4 = 6 \\ 6 = 6 . \end{array}$

To je broj $30 .$

Kutak za znatiželjne

Zbroj je dvaju brojeva $3,$ kao i njihov količnik. Koji su to brojevi?

Označi s $x$ i $y$ tražene brojeve.

Njihov je količnik $\frac{x}{y} = 3,$ iz čega vidimo kako je $x = 3 y .$

Njihov je zbroj $x + y = 3,$ odnosno:

$\begin{array}{l} 3 y + y = 3 \\ 4 y = 3 / : 4 \\ y = \frac{3}{4} . \end{array}$

Drugi je broj tri puta veći:

$\begin{array}{l} x = 3 y \\ x = 3 \cdot \frac{3}{4} \\ x = \frac{9}{4} . \end{array}$

Ti su brojevi $\frac{3}{4}$ i $\frac{9}{4} .$

Geometrija

Linearne jednadžbe olakšavaju računanje u geometrijskim zadatcima. Pritom je korisno napraviti skicu na kojoj ćeš vidjeti koji su podatci zadani, koji se traže, a potom i povezati zadano i traženo s pomoću linearne jednadžbe.

Primjer 2.

Jednakokračni trokut kojemu je osnovica dva puta manja od kraka ima opseg $40 cm .$ Koliko su duge njegove stranice?

Jednakokračni trokut, tehnički crtež

S $x$ označi duljinu osnovice.

Krak je dvostruko veći od osnovice: $2 x .$

Opseg je zbroj duljina svih stranica. On je poznat i iznosi $40 cm .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} x + 2 \cdot 2 x = 40 \\ x + 4 x = 40 \\ 5 x = 40 / : 5 \\ x = 8 cm . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 8 + 2 \cdot 16 = 40 \\ 8 + 32 = 40 \\ 40 = 40 . \end{array}$

Duljina osnovice jednakokračnog trokuta iznosi $8 cm,$ a kraka $16 cm .$

Kolekcija zadataka #2

Veličina jednog kuta trokuta dvostruko je veća od drugog i za dvadeset stupnjeva manja od trećeg kuta.

Veličina prvog kuta iznosi

Razmisli!

°,

veličina drugog kuta iznosi

Razmisli!

°,

a veličina trećeg kuta iznosi

Razmisli!

° .

Postupak:

Označi s $α$ prvi, s $β$ drugi i s $γ$ treći kut.

Prema uvjetima zadatka vrijedi:

$\begin{array}{ll} α = 2 β \\ γ = α + 20 ° = 2 β + 20 ° . \end{array}$

Zbroj kutova u trokutu uvijek je jednak:

$\begin{array}{llllll} α + β + γ = 180 ° \\ 2 β + β + 2 β + 20 ° = 180 ° \\ 5 β + 20 ° = 180 ° \\ 5 β = 180 ° - 20 ° \\ 5 β = 160 ° / : 5 \\ β = 32 ° . \end{array}$

Za preostala dva kuta vrijedi:

$\begin{array}{llllll} α = 2 β \\ α = 2 \cdot 32 ° \\ α = 64 °, \\ γ = α + 20 ° \\ γ = 64 ° + 20 ° \\ γ = 84 ° . \end{array}$

U pravokutniku opsega

32 cm

jedna je stranica za

2 cm

veća od druge stranice. Duljina kraće stranice tog pravokutnika je

Razmisli!

a duže stranice

Razmisli!

cm

Pomoć:

Jednu stranicu označi s $a,$ a drugu s $b .$ Prema uvjetima zadatka je $b = a + 2$ .

Poznat je opseg, a njegova je formula $o = 2 a + 2 b .$

null

U pravokutnom trokutu jedan je šiljasti kut pet puta veći od drugoga. Kolike su veličine šiljastih kutova tog trokuta?

Označi šiljaste kutove pravokutnog trokuta s $α$ i $β .$

Neka je $β$ pet puta veći od $α,$ odnosno $β = 5 α .$

Zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta uvijek je jednak: $α + β = 90 ° .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} α + β = 90 ° \\ α + 5 α = 90 ° \\ 6 α = 90 ° / : 6 \\ α = 15 ° . \end{array}$

Pri tome:

$\begin{array}{l} β = 5 α \\ β = 5 \cdot 15 ° \\ β = 75 ° . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 15 ° + 75 ° = 90 ° \\ 90 ° = 90 ° \end{array}$

Veličina jednoga šiljastog kuta je $15 °,$ a drugog $75 ° .$

Opseg jednakostraničnog trokuta je $45 cm .$ Kolika je duljina stranice tog trokuta?

Označi s $x$ duljinu jedne stranice trokuta.

Kako je opseg zbroj duljina svih stranica trokuta, tada je: $o = 3 x .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} 3 x = 45 / : 3 \\ x = 15 cm. \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 3 \cdot 15 = 45 \\ 45 = 45 . \end{array}$

Duljina jedne stranice tog trokuta je $15 cm .$

Pravokutnik ima jednu stranicu dvostruko veću od druge. Ako mu je opseg $54 cm,$ kolika mu je površina?

Neka je $x$ jedna stranica pravokutnika, a $2 x$ druga stranica pravokutnika.

Opseg mu je $54 cm .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} 2 \cdot x + 2 \cdot 2 x = 54 \\ 2 x + 4 x = 54 \\ 6 x = 54 / : 6 \\ x = 9 cm. \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 2 \cdot 9 + 2 \cdot 18 = 54 \\ 18 + 36 = 54 \\ 54 = 54 . \end{array}$

Duljine stranica pravokutnika su $9$ i $18 cm .$

Površina je tog pravokutnika:

$\begin{array}{l} p = 9 \cdot 18 \\ p = 162 {cm}^{2} . \end{array}$

Stvarni život

Linearne jednadžbe upotrebljavamo svakodnevno. Ponekad i nesvjesno. One su nezaobilazne. Riješi nekoliko svakodnevnih zadataka, a potom osmisli na koji se način linearne jednadžbe uklapaju u tvoju svakodnevicu i na koji bi ti način određene jednadžbe olakšale svakodnevicu.

Primjer 3.

Jedna cijev napuni bazen za $5$ sati, a druga za $8$ sati. Koliko vremena treba da obje cijevi zajedno napune taj bazen?

Bazen

Označi s $x$ vrijeme koje je potrebno za punjenje cijelog bazena.

Prva cijev napuni bazen za $5 h .$ Za jedan sat napuni $\frac{1}{5}$ bazena.

Druga cijev napuni bazen za $8 h .$ Za jedan sat napuni $\frac{1}{8}$ bazena.

Obje cijevi za jedan sat napune $\frac{1}{5} + \frac{1}{8}$ bazena.

Za $x$ sati bazen će biti pun, a za $x$ sati obje cijevi napune $(\frac{1}{5} + \frac{1}{8}) \cdot x$ bazena.

Vrijedi:

$\begin{array}{lllllll} (\frac{1}{5} + \frac{1}{8}) \cdot x = 1 \\ \frac{8 + 5}{40} \cdot x = 1 \\ \frac{13}{40} \cdot x = 1 / \cdot \frac{40}{13} \\ x = \frac{40}{13} \\ x \approx 3.08 h \\ x \approx 3 h + 0.08 \cdot 60 \min \\ x \approx 3 h 5 min. \end{array}$

Bazen će biti napunjen za $3 h$ i $5 \min .$

Kolekcija zadataka #3

6.a razred pisao je ispit iz Matematike. Petina učenika dobila je ocjenu odličan, četvrtina vrlo dobar, dvije petine dobar i troje učenika dobilo je ocjenu dovoljan. Nitko nije dobio nedovoljnu ocjenu. Koliko je učenika u 6.a razredu?

Označi s $x$ broj svih učenika u $6 .$ a razredu.

Petina učenika, odnosno $\frac{1}{5} x$ dobila je ocjenu odličan.

Četvrtina učenika, odnosno $\frac{1}{4} x$ dobila je vrlo dobar.

Dvije petine učenika, odnosno $\frac{2}{5} x$ dobilo je dobar i

$3$ učenika dobila su ocjenu dovoljan.

Svi zajedno čine $x :$

$\begin{array}{lllll} \frac{1}{5} x + \frac{1}{4} x + \frac{2}{5} x + 3 = x \\ \frac{17}{20} x + 3 = x \\ x - \frac{17}{20} x = 3 \\ \frac{3}{20} x = 3 / \cdot \frac{20}{3} \\ x = 20 . \end{array}$

U razredu je $20$ učenika.

Jakov će za dvanaest godina biti tri puta stariji nego sada. Koliko Jakov sada ima godina?

Označi s $x$ koliko Jakov sada ima godina. Kada bude tri puta stariji, onda će imati $3 x$ godina. To će biti za $12$ godina: $x + 12 = 3 x .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} x + 12 = 3 x \\ 3 x - x = 12 \\ 2 x = 12 / : 2 \\ x = 6 . \end{array}$

Jakov ima $6$ godina.

Za $12$ godina imat će $18$ godina i biti tri puta stariji nego sada.

Mama ima $38$ godina, a Marija $10 .$ Za koliko će godina mama biti dvostruko starija od Marije?

Neka je $x$ broj godina koje će proći do vremena kada mama bude dvostruko starija od Marije.

Tada će majka imati $38 + x,$ a Marija $10 + x$ godina.

Majčine godine će biti dvostruko veće od Marijinih: $38 + x = 2 \cdot (10 + x) .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} \begin{array}{llll} 38 + x = 2 \cdot (10 + x) \\ 38 + x = 20 + 2 x \\ - 2 x + x = - 38 + 20 \\ - x = - 18 / \cdot (- 1) \end{array} \\ x = 18 . \end{array}$

Za $18$ godina Marija će imati $28,$ a Marijina majka $56$ godina, što znači da će majka biti dvostruko starija od Marije.

Ana je prvi dan pročitala petinu, drugi dan trećinu, treći dan četvrtinu knjige, a četvrti dan preostalih $65$ stranica, koliko stranica ima knjiga koju je Ana pročitala?

Označi s $x$ ukupan broj stranica te knjige.

$1 .$ dan pročitala je $\frac{1}{5} x,$

$2 .$ dan pročitala je $\frac{1}{3} x,$

$3 .$ dan pročitala je $\frac{1}{4} x,$

$4 .$ dan pročitala je $65$ stranica.

Za četiri dana pročitala je cijelu knjigu: $\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x + 65 = x .$

Vrijedi:

$\begin{array}{lllll} \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x + 65 = x \\ \frac{47}{60} x + 65 = x \\ \frac{13}{60} x = 65 / \cdot \frac{60}{13} \\ x = \frac{65^{5} \cdot 60}{13_{1}} \\ x = 300 . \end{array}$

Knjiga ima $300$ stranica.

Tina pri plaćanju telefonskog računa mora platiti $40 kn$ pretplatu i $50$ lipa svaku minutu razgovora. Koliko je minuta razgovarala prošli mjesec ako joj je stigao račun od $640 kn ?$

Označimo s $x$ vrijeme trajanja njezinih razgovora u minutama.

Znamo da mora platiti $40 kn$ pretplatu i $0.5 kn$ po minuti razgovora, odnosno $0.5 x$ za sve minute koje je razgovarala. Znamo i da je sve zajedno platila $640 kn .$ Odnosno: $40 + 0.5 x = 640 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} 40 + 0.5 x = 640 \\ 0.5 x = 640 - 40 \\ 0.5 x = 600 / \cdot 2 \\ x = 1200 \end{array}$

Tina je prošli mjesec razgovarala $1200$ minuta, odnosno $20$ sati.

U razredu je $28$ učenika. Djevojčica je tri puta više nego dječaka. Koliko je djevojčica, a koliko dječaka u razredu?

Označi s $x$ broj dječaka u razredu. Djevojčica je tri puta više, odnosno $3 x .$

Zajedno ih je $28,$ odnosno: $x + 3 x = 28 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} x + 3 x = 28 \\ 4 x = 28 / : 4 \\ x = 7 . \end{array}$

U razredu je $7$ dječaka i $21$ djevojčica.

To ima smisla jer je $7 + 21 = 28,$ što je ukupan broj učenika u razredu.

Ivan, Marino i Luka zajedno imaju $42$ godine. Marino je $7$ godina stariji od Ivana, a Ivan je dvostruko stariji od Luke. Koliko godina ima Ivan, koliko Marko, a koliko Luka?

Označi s $x$ broj Lukinih godina i s $2 x$ broj Ivanovih godina.

Marino je $7$ godina stariji od Ivana, dakle on ima $2 x + 7$ godina.

Svi zajedno imaju $42$ godine, odnosno: $x + 2 x + 2 x + 7 = 42 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{lllll} x + 2 x + 2 x + 7 = 42 \\ 5 x + 7 = 42 \\ 5 x = 42 - 7 \\ 5 x = 35 / : 5 \\ x = 7 . \end{array}$

Luka ima $7$ godina, Ivan $14$ godina, a Marino $21$ godina.

Kamion je s teretom stavljen na vagu i ima masu $11 t .$ Kolika je masa kamiona ako je u vrijeme vaganja vozio teret mase $6 800 kg ?$

Označi s $x$ masu kamiona. Njegova masa i $6.8 t$ mase tereta zajedno iznose $11 t,$ odnosno: $x + 6.8 = 11 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{l} x + 6.8 = 11 \\ x = 11 - 6.8 \\ x = 4.2 t. \end{array}$

Masa kamiona je $4.2$ tone.

Andrej od daske, čija je duljina $4 m,$ planira napraviti dvije police za knjige. Jedna polica treba biti za $6 dm$ dulja od druge. Kolika je duljina prve, a kolika druge police?

Označi s $x$ duljinu prve police. Duljina druge polica tada je $x + 0.6 .$

Duljina obje police zajedno je $4 m,$ odnosno: $x + x + 0.6 = 4 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{lllll} x + x + 0.6 = 4 \\ 2 x + 0.6 = 4 \\ 2 x = 4 - 0.6 \\ 2 x = 3.4 / : 2 \\ x = 1.7 m. \end{array}$

Duljina druge police je $1.7 + 0.6 = 2.3 m .$

Duljina prve police je $1.7 m,$ a druge $2.3 m .$

Ante i Roko zajedno su teški $140 kg .$ Antina težina je za $20 kg$ manja od trostruke Rokove težine. Koliko je težak Ante, a koliko Roko?

Označi s $x$ Rokovu težinu. Antina je težina tada $3 x - 20 .$ Dječaci zajedno teže $x + 3 x - 20 = 140 .$

Vrijedi:

$\begin{array}{lllll} x + 3 x - 20 = 140 \\ 4 x - 20 = 140 \\ 4 x = 140 + 20 \\ 4 x = 160 / : 4 \\ x = 40 kg. \end{array}$

Rokova je težina $40 kg .$

Antina je težina $3 \cdot 40 - 20 = 120 - 20 = 100 kg .$

Odredi što je poznato.	Označi s $x$ cijenu olovke, a s $2 x$ cijenu bilježnice.
Napiši odgovor riječima.	Cijena jedne olovke je $3 kn .$
Provjeri rješenje i njegovu smislenost.	Iznos koji treba platiti za pet bilježnica i dvije olovke je $36 kn .$
Odredi što se traži.	$5 \cdot 2 x + 2 \cdot x = 36$
Napiši jednadžbu.	$\begin{array}{l} 5 \cdot 2 x + 2 \cdot x = 36 \\ 10 x + 2 x = 36 \\ 12 x = 36 / : 12 \\ x = 3 \end{array}$
Riješi jednadžbu.	$\begin{array}{l} 5 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 36 \\ 30 + 6 = 36 \\ 36 = 36 \end{array}$ Rješenje je točno i smisleno. Ima smisla kupiti $5$ bilježnica i $2$ olovke za $36 kn .$

Kolike su duljine stranica kvadrata kojem je opseg $25 cm ?$	$4 x = 25$
Koliko godina ima kćer ako majka ima $38$ godina i dvostruko je starija od kćeri.	$x - 4 = 37$
Ako se $x$ smanji za $4,$ dobije se $37 .$	$2 x = 38$

7.4 Primjena linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Na početku...

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Zagonetke s brojevima

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Kutak za znatiželjne

Geometrija

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Stvarni život

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #3

Projekt

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: