Matematika 6 - Aktivnosti za samostalno učenje

Riješi, provjeri, podijeli

Rješavanjem zadataka ponovi osnovno o računanju s razlomcima.

Dobivena rješenja i postupke usporedi i raspravi s prijateljima. Podijeli svoje znanje s njima ili, ako trebaš, zatraži pomoć.

Kolekcija zadataka #1

Izračunaj $1 \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ i odaberi točan odgovor.

\frac{1}{2}

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

\frac{1}{6}

Bravo!

\frac{1}{3}

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

0

Ponovo izračunaj ili pogledaj uputu.

Pomoć:

Zadatak rješavaj redom slijeva nadesno.

Postupak:

Mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka. Rješenje skrati do kraja.

Slastičar stavlja u posudu

\frac{7}{5} kg

brašna,

\frac{3}{10} kg

čokolade i

\frac{4}{5} kg

šećera. Količina namirnica u posudi je

Rješenje zapiši u obliku decimalnog broja, s decimalnom točkom.

kg

.

Pomoć:

Radi bržeg rješavanja možeš grupirati razlomke i prvo zbrojiti razlomke istog nazivnika.

Postupak:

Rješenje skrati do kraja i zapiši u obliku decimalnog broja.

Pojednostavi algebarski izraz $\frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x - \frac{3}{8} x$ i uvrsti $x = 1 \frac{1}{7} .$ Odaberi točno rješenje.

1

Bravo!

\frac{1}{8}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{1}{7}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{7}{8}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

Pomoć:

Najprije pojednostavi algebarski izraz tako da zbrojiš i oduzmeš koeficijente. Zatim, uvrsti tako da dobiveni koeficijent pomnožiš sa zadanim brojem.

Postupak:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$

$\frac{7}{8} x = \frac{7}{8} \cdot x = \frac{7}{8} \cdot 1 \frac{1}{7}$

Izračunaj $\frac{6}{11} \cdot \frac{7}{10} - \frac{6}{11} \cdot \frac{8}{15}$ na najbrži način i odaberi točan odgovor.

\frac{1}{10}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{5}{18}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{3}{10}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{1}{11}

Bravo!

Pomoć:

Primijeni distributivnost množenja prema oduzimanju.

Postupak:

Izluči zajednički faktor $\frac{6}{11}$ i najprije riješi izraz u zagradi.

U jednoj školi ima

430

učenika, od toga su

\frac{2}{5}

učenice. U toj školi ima

Ako broj pišeš riječima, zapiši ga pravilno, ali možeš ga zapisati i numerički.

učenice

i

Ako broj pišeš riječima, zapiši ga pravilno, ali možeš ga zapisati i numerički.

učenika.

Pomoć:

Pomnoži dio koji čine učenice s ukupnim brojem učenika u školi.

Postupak:

Učenica $\frac{2}{5} \cdot 430$

Broj učenika možeš dobiti na dva načina, množenjem $\frac{3}{5} \cdot 430$ ili oduzimanjem.

Izračunaj u bilježnicu poštujući redoslijed računskih radnji i spoji parove.

$\frac{2}{5} + 1 \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}$	$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5} \cdot 4 \frac{1}{2} - \frac{1}{12} : \frac{5}{9}$	$1 \frac{1}{5}$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} : \frac{3}{10} - \frac{2}{8}$	$0$
$(9 \frac{3}{9} - \frac{1}{3} - 9) : \frac{3}{5}$	$\frac{3}{4}$

Pomoć:

Najprije riješi sve zagrade, zatim množenje i dijeljenje redom slijeva nadesno te zbrajanje i oduzimanje.

Postupak:

Mješovite brojeve zapiši u obliku razlomka, skrati sve što možeš, izračunaj i, na kraju, rješenje zapiši u obliku mješovitog broja ako možeš.

Majica je stajala $150$ kn i njena je cijena snižena za $20 % .$ Ušteda pri kupnji te majice je

kuna.

Nova cijena majice pri tom sniženju je

kuna.

Pomoć:

Postotak zapiši u obliku decimalnog broja i pomnoži s početnom cijenom majice. Za drugi odgovor, oduzmi od početne cijene majice uštedu pri sniženju cijene.

Postupak:

$20 % = \frac{20}{100} = 0.2$

Iznos uštede je $150 \cdot 0.2 .$

Dvojni razlomci

Istražimo

Razmisli i pokušaj izračunati vrijednost dvojnog razlomka $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}} .$ Najprije pokušaj samostalno, a zatim, provjeri svoja razmišljanja u rješenju.

Razlomačka crta znači dijeljenje. Kao što vidimo iz zadatka, dvojni razlomak je razlomak koji u brojniku i nazivniku također ima razlomke. Podijelimo ih. $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}} = \frac{3}{4} : \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{4_{2}} \cdot \frac{6^{3}}{5} = \frac{9}{10} .$

Razmisli, dopuni rečenicu i poredaj korake rješavanja dvojnog razlomka po redu.

Dvojni razlomak je

koji u

i nazivniku ima

.

razlomke

brojniku

razlomak

Pomoć:

Dopuni rečenicu tako da ima smisla.

null

Dvojni razlomak oblika $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ rješavamo tako da podijelimo brojnik s nazivnikom. Poredaj korake po redoslijedu rješavanja.

$\frac{a \cdot d}{b \cdot c}$
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =$
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} =$

Pomoć:

Razlomačka crta znači dijeljenje.

Postupak:

Razlomke dijelimo tako da dijeljenik pomnožimo s recipročnim djeliteljem.

Zaključi i na kartici provjeri kako možemo kraće riješiti dvojni razlomak.

Dvojni razlomak $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

Dvojni razlomak rješavamo kraće tako da u brojniku pomnožimo vanjski broj s vanjskim, a u nazivniku unutarnji broj s unutarnjim.

Uvježbaj rješavanje jednostavnih dvojnih razlomaka.

Kolekcija zadataka #2

Izračunaj $\frac{1 \frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}$ i odaberi točan odgovor.

4 \frac{1}{5}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

5 \frac{1}{4}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

\frac{5}{9}

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

1 \frac{4}{5}

Bravo!

Pomoć:

Mješoviti broj zapiši u obliku razlomka, riješi kao dvojni razlomak, skrati što možeš i, na kraju, rješenje zapiši u obliku mješovitog broja.

Postupak:

$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{6}} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 5}$

Rješenje dvojnog razlomka $\frac{25}{\frac{15}{7}}$ je $\frac{3}{35} .$

Da

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

Ne

Točno rješenje je

11 \frac{2}{3} .

Pomoć:

Cijeli broj u brojniku zapiši kao razlomak, riješi kao dvojni razlomak, skrati koliko možeš i rješenje zapiši u obliku mješovitog broja.

Postupak:

$\frac{\frac{25}{1}}{\frac{15}{7}} = \frac{25 \cdot 7}{15 \cdot 1}$

Kod ovakvih zadataka moraš dobro pogledati koja je glavna razlomačka crta.

Rješenje dvojnog razlomka

\frac{\frac{8}{3}}{24}

je broj recipročan broju

Izračunaj ponovo ili pogledaj uputu.

.

Pomoć:

Prirodni broj u nazivniku zapiši u obliku razlomka, riješi kao dvojni razlomak i skrati dokraja. Zapiši recipročan broj rješenja. Kod ovakvih zadataka treba dobro pogledati koja je glavna razlomačka crta.

Postupak:

$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{24}{1}} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 24}$

Zanimljivost

Verižni razlomak je razlomak koji se zapisuje u obliku zbroja cijelog broja i razlomka koji u nazivniku ima zbroj cijelog broja i razlomka koji, opet, u nazivniku ima zbroj cijelog broja i razlomka i tako dalje. Verižni razlomak može biti konačan i beskonačan. Svaki racionalni broj može se zapisati u obliku konačnog verižnog razlomka. Ti razlomci imaju primjenu u rješavanju jednadžbi, a matematičari se njima bave još od Euklida (300 g. pr. Kr.).

Zadatak 1.

Razmisli i pokušaj samostalno riješiti verižni razlomak $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} .$ U ponuđenom rješenju zadatka provjeri svoja razmišljanja, točnost postupka i konačnu vrijednost zadanog verižnog razlomka.

Kod ovakvih zadataka treba pisati uredno i pregledno. Zadatak se rješava "odozdo prema gore", poštujući redoslijed računskih radnji. Pritom, razlomačka crta odvaja računske radnje kao i zagrada.

$\begin{array}{l} 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5} = 1 \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \end{array} .$

Zadatak 2.

Izračunaj vrijednost verižnog razlomka $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} .$

$\begin{array}{l} 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}}} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{5}{2}}} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{2}{5}} = 2 + \frac{1}{\frac{10}{5} + \frac{2}{5}} = 2 + \frac{1}{\frac{12}{5}} = 2 + \frac{5}{12} = 2 \frac{5}{12} = \frac{29}{12} \end{array}$

Projekt

Složite se u grupe i zadajte si međusobno još nekoliko verižnih razlomaka te ih riješite. Ako ste spremni na još veće izazove, probajte ići obrnutim redom i neki razlomak prikažite kao verižni razlomak (primjerice $\frac{38}{11} = 3 + \frac{5}{11} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5}}$ ).

Sve svoje uratke prikažite prezentacijom pred cijelim razredom ili napravite izložbu na razrednom ili školskom panou.

Razlomci u stvarnom životu

Zadatak 3.

Roditelji zarađuju $12 000$ kn mjesečno i za račune odvajaju $\frac{1}{10}$ primanja, $30 %$ primanja odvajaju za otplatu stambenog kredita, $\frac{3}{8}$ izdvajaju za hranu i higijenske potrepštine, $6 %$ za prijevoz. Izračunaj koliko toj obitelji mjesečno ostane za ostale troškove. Mogu li mjesečno nešto novca staviti sa strane i uštedjeti?

Mjesečno obitelj za račune potroši $\frac{1}{10} \cdot 12 000 = 1 200$ kn, za otplatu kredita izdvoji $0.3 \cdot 12 000 = 3 600$ kn, $\frac{3}{8} \cdot 12 000 = 4 500$ kn potroše na hranu i potrepštine, te $0.06 \cdot 12 000 = 720$ kn na prijevoz. Ostane im $12 000 - (1 200 + 3 600 + 4 500 + 720) = 1 980$ kn, pa mogu malo i uštedjeti, ako žele.

Projekt

Pitajte u svojoj obitelji kolika su im primanja, koliki su redoviti mjesečni troškovi i razgovarajte o mogućoj štednji. Na satu razrednika ili matematike možete razgovarati o toj temi, ali nemojte javno iznositi primanja i troškove svoje obitelji. Možete se podijeliti u grupe i izračunati prosječna primanja obitelji unutar vaše grupe, prosječne redovne mjesečne troškove i izračunati koliko prosječno ostaje za ostale troškove. Da ne biste javno iznosili primanja i troškove napišite iznose na papiriće i stavite u jednu kutijicu iz koje ćete nasumično vaditi podatke. Usporedite podatke svih grupa.

Zadatak 4.

U jednom dućanu sa cipelama su ponudili popust pri plaćanju u sljedećem obliku: ako kupiš jedan par cipela, popust je $10 %,$ ako kupiš dva para popust na ukupan iznos je $20 %,$ a ako kupiš tri para cipela, popust na ukupan iznos je $30 % .$ Katarini se sviđaju troje cipele čije su cijene $440$ kn, $350$ kn i $225$ kn. Pomozi joj izračunati koliko bi uštedjela ako kupi samo jedne cipele po $440$ kn, koliko ako kupi dvoje po $440$ kn i $350$ kn, ili sve troje.

$10 %$ od $440$ kn je $0.1 \cdot 440 = 44$ kn, znači, pri kupnji jednih cipela od $440$ kn, uštedjela bi $44$ kn. Ako kupi dvoje cipele po cijeni od $440$ kn i $350$ kn, ušteda bi bila $0.2 \cdot 790 = 158$ kn, a ako kupi sve troje cipele uštedjela bi $0.3 \cdot 1 015 = 304.50$ kn.

Praktična vježba

Izračunaj uštede u svim kombinacijama kupnje jednog ili dva para tih cipela. Primjerice, koliko bi uštedjela ako kupi samo cipele čija je cijena $225$ kn, a koliko kupi li jedne cipele po cijeni od $440$ kn, a druge po cijeni od $225$ kn. Izračunaj uštede i za sve ostale kombinacije.

Zanimljivost

Baršun, brokat i til su vrste tkanina. Ako te zanima više o tkaninama i šivanju, možeš pogledati ovdje.

Zadatak 5.

Krojač naručuje tkaninu za kostime u kazalištu. Naručio je $25 \frac{1}{4} m$ crvenog baršuna po cijeni $120$ kn po metru određene širine, $18 \frac{2}{3} m$ zlatnog brokata po cijeni $156$ kn po metru iste širine te $20 \frac{2}{5} m$ bijelog tila po cijeni $130$ kn po metru uobičajene širine. Koliko je platio cijelu narudžbu, ako je još dobio $15 %$ popusta na ukupnu cijenu narudžbe?

$\begin{array}{l} 25 \frac{1}{4} \cdot 120 + 18 \frac{2}{3} \cdot 156 + 20 \frac{2}{5} \cdot 130 = \frac{101}{4} \cdot 120 + \frac{56}{3} \cdot 156 + \frac{102}{5} \cdot 130 = \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{101}{4} \cdot 120 + \frac{56}{3} \cdot 156 + \frac{102}{5} \cdot 130 = 101 \cdot 30 + 56 \cdot 52 + 102 \cdot 26 = 8 594 \end{array}$

Cijena ukupne narudžbe je $8 594$ kn.

Iznos popusta je $0.15 \cdot 8 594 = 1 289.10$ kn,

a konačna cijena s tim popustom je $8 594 - 1 289.10 = 7 304.90$ kn.

Kutak za znatiželjne

Algebarski razlomci

Pokušaj pojednostaviti nekoliko algebarskih razlomaka. To su razlomci koji u brojniku ili nazivniku imaju algebarske izraze. S algebarskim razlomcima računamo isto kao i s običnim razlomcima.

Kolekcija zadataka #3

Pomnoži razlomke $\frac{a b}{c} \cdot \frac{c}{b}$ ako su $a, b$ i $c \in N .$ Poredaj korake postupka množenja i skraćivanja po redoslijedu računanja.

$\frac{a b}{c} \cdot \frac{c}{b} =$
$\frac{a \cdot 1}{1} =$
$\frac{a \cdot b^{1}}{c_{1}} \cdot \frac{c^{1}}{b_{1}} =$
$a$

Pomoć:

Prije množenja razlomaka možemo skratiti bilo koji brojnik s bilo kojim nazivnikom, ako imaju zajedički djelitelj.

Postupak:

$a b = a \cdot b$

Rješenje množenja razlomaka $\frac{x^{2} y}{3} \cdot \frac{9}{x},$ ako su $x$ i $y \in N$ je $3 x y .$

Da

Bravo!

Ne

Pažljivo skrati ili pogledaj uputu.

Pomoć:

$x^{2} = x \cdot x$

Postupak:

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} y}{3} \cdot \frac{9}{x} = \frac{x \cdot x \cdot y}{3} \cdot \frac{9}{x} = \frac{x^{1} \cdot x \cdot y}{3_{1}} \cdot \frac{9^{3}}{x_{1}} = \frac{1 \cdot x \cdot y}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3 x y \end{array}$

Zbroji razlomke $\frac{5}{b} + \frac{3}{b}$ ako je $b \in N .$ Odaberi točan odgovor.

\frac{4}{b}

Razmisli ili pogledaj uputu.

\frac{8}{b}

Bravo!

\frac{12}{b}

Razmisli ili pogledaj uputu.

\frac{16}{b}

Razmisli ili pogledaj uputu.

Pomoć:

Razlomke istih nazivnika zbrajamo tako da nazivnik prepišemo, a brojnike zbrojimo.

Postupak:

$\frac{5}{b} + \frac{3}{b} = \frac{5 + 3}{b}$

Izračunaj i spoji parove.

$\frac{3 a}{2} - \frac{5 a}{8}$	$\frac{5 a}{3}$
$\frac{13 a}{6} - \frac{a}{2}$	$\frac{3 a}{8}$
$\frac{9 a}{8} - \frac{1 a}{6} + \frac{3 a}{8}$	$\frac{4 a}{3}$
$\frac{a}{4} + \frac{a}{8}$	$\frac{7 a}{8}$

Pomoć:

Razlomke svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Rješenje skratimo do kraja.

Postupak:

$\frac{a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{2 a}{8} + \frac{a}{8}$

$\frac{13 a}{6} - \frac{a}{2} = \frac{13 a}{6} - \frac{3 a}{6}$

$\frac{3 a}{2} - \frac{5 a}{8} = \frac{12 a}{8} - \frac{5 a}{8}$

$\frac{9 a}{8} - \frac{a}{6} + \frac{3 a}{8} = \frac{27 a}{24} - \frac{4 a}{24} + \frac{9 a}{24}$

...i na kraju

Za kraj, riješi križaljku matematičkih pojmova. U označenim poljima dobit ćeš još jedan pojam.

Povećaj interaktivni prikaz

5.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Riješi, provjeri, podijeli

Kolekcija zadataka #1

Dvojni razlomci

Istražimo

Kolekcija zadataka #2

Zanimljivost

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Projekt

Razlomci u stvarnom životu

Zadatak 3.

Projekt

Zadatak 4.

Praktična vježba

Zanimljivost

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Algebarski razlomci

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju