5.4 Postotak i postotni iznos

Što ću naučiti?

povezati postotak, osnovnu vrijednost i postotni iznos u problemskoj situaciji
izračunati postotni iznos zadanog postotka i osnovne vrijednosti
analizirati promjenu postotnog iznosa, s obzirom na promjenu osnovne vrijednosti, uz isti postotak
primijeniti računanje postotnog iznosa zadane osnovne vrijednosti u problemima

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Postotak
Postotak kao razlomak i kao decimalni broj
Postotak i mjerne jedinice
Postotci u našoj okolini
...i na kraju
Projekt

Na početku...

Za početak, pogledaj animaciju o učenicima i baterijama njihovih mobilnih telefona.

Postotak

Primjer 1.

U 6.b razredu za Mateja je, kao predsjednika razreda, glasalo $100 %$ učenika. Što to znači?

To znači da su svi učenici glasali za Mateja.

Primjer 2.

Na izbore za predsjednika države izašlo je $50 %$ birača. Što to znači?

Ako je u Hrvatskoj $4$ milijuna birača, koliko ih je izašlo na izbore?

To znači da je izašla polovina birača. Od $4$ milijuna birača, izašlo ih je $2$ milijuna.

Zanimljivost

Više o porezu na dodanu vrijednost možeš pročitati na stranicama Porezne Uprave.

Porez na dodanu vrijednost (PDV) u Hrvatskoj iznosi $25 % .$ To znači da na početnu cijenu treba dodati još $\frac{1}{4}$ njene vrijednosti u ime PDV-a.

Zadatak 1.

Ako je početna cijena laptopa (prije dodavanja PDV-a) bila $2 000$ kuna, koliki PDV treba dodati na tu cijenu?

Za PDV treba dodati $\frac{1}{4}$ od $2 000 kn$ na početnu cijenu $2 000 kn .$ To znači da na početnu cijenu treba dodati $\frac{1}{4} \cdot 2 000 = 500 kn$ za PDV.

Učenik je točno riješio $60 %$ ispita.

Tada je $40 %$ ispita riješio pogrešno.

$30 %$ učenika škole dobiva užinu.

Tada $70 %$ učenika ne dobiva školsku užinu.

U jeku turističke sezone kapacitet hotela popunjen je $75 %$ .

To znači da je $25 %$ kapaciteta hotela prazno.

Zbroj postotaka dijelova cjeline mora biti $100 % .$

Postotak kao razlomak i kao decimalni broj

Riječ postotak potječe od talijanske riječi "per cento"- po stotinu.

Postotak

Postotak je razlomak s nazivnikom $100 .$

Svaki se postotak može napisati u obliku razlomka s nazivnikom $100,$ prema tome, svaki postotak može se napisati i u obliku decimalnog broja.

Svaki se razlomak s nazivnikom $2,$ $4,$ $5,$ $8,$ $10,$ $20,$ $25,$ $50,$ $100,$ $1000 . . .$ može lako zapisati u obliku postotka.

Primjer 3.

Napiši u obliku postotka: $\frac{1}{4},$ $\frac{3}{10},$ $\frac{2}{5},$ $\frac{7}{20},$ $\frac{21}{25},$ $\frac{13}{50},$ $\frac{1}{8} .$

Sve spomenute razlomke treba proširivanjem (ili skraćivanjem) svesti na razlomke s nazivnikom $100 .$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %,$

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{30}{100} = 30 %,$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100} = 40 %,$

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 35 %,$

$\frac{21}{25} = \frac{21 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{84}{100} = 84 %,$

$\frac{13}{50} = \frac{13 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{26}{100} = 26 %,$

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125 : 10}{1000 : 10} = \frac{12.5}{100} = 12.5 %$

Primijetit ćete kako se jedino osmine od navedenih nazivnika nisu mogle proširiti do $100,$ ali su se mogle proširiti do sljedeće dekadske jedinice $1000 .$ No, kako je $1000 : 10 = 100,$ skraćivanjem se i taj razlomak mogao dovesti do nazivnika sto, odnosno do postotka.

Zadatak 2.

Popuni tablicu.

Razlomak	$\frac{7}{20}$		$\frac{3}{8}$
Postotak		$23 %$		$20 %$	$16 %$

Razlomak	$\frac{7}{20}$	$\frac{23}{100}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{25}$
Postotak	$35 %$	$23 %$	$37.5 %$	$20 %$	$16 %$

Svaki se postotak može napisati i u obliku decimalnog broja i obrnuto.

Kako je postotak razlomak s nazivnikom $100,$ kada ga pretvaramo u decimalni broj, ponašamo se kao da ga dijelimo sa $100$ ; pomičemo decimalnu točku za dva mjesta ulijevo.

S druge strane, kada decimalni broj pretvaramo u postotak, ponašamo se kao da ga množimo sa $100$ ; pomičemo decimalnu točku za dva mjesta udesno.

Primjer 4.

Zapiši postotke $15 %,$ $17 %,$ $49 %,$ $57 %,$ $75 %,$ $123 %$ u obliku decimalnog broja.

$\begin{array}{l} 15 % = 0.15, \\ 17 % = 0.17, \\ 49 % = 0.49, \\ 57 % = 0.57, \\ 75 % = 0.75, \\ 123 % = 1.23 . \end{array}$

Primjer 5.

Zapiši decimalne brojeve u obliku postotka: $0.29,$ $0.79,$ $1.47,$ $0.057,$ $0.123,$ $2.5 .$

Kako bismo decimalne brojeve zapisali u obliku postotka, bilo je potrebno decimalnu točku pomaknuti za dva mjesta udesno.

$\begin{array}{l} 0.29 = 29 %, \\ 0.79 = 79 %, \\ 1.47 = 147 %, \\ 0.057 = 5.7 % \\ 0.123 = 12.3 % \\ 2.5 = 250 % \end{array}$

Zadatak 3.

Popuni tablicu.

Decimalni broj	$0.47$		$0.78$	$0.91$
Postotak		$52 %$			$125 %$	$274 %$

Decimalni broj	$0.47$	$0.52$	$0.78$	$0.91$	$1.25 %$	$2.74 %$
Postotak	$47 %$	$52 %$	$78 %$	$91 %$	$125 %$	$274 %$

I razlomci čiji se nazivnik, proširivanjem ili skraćivanjem, ne može dovesti do nazivnika $100,$ mogu se pretvoriti u postotak. Najprije se dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomak pretvori u decimalni broj, a potom se decimalni broj pretvori u postotak.

Primjer 6.

Zapiši u obliku postotka $\frac{1}{3},$ $\frac{5}{7},$ $\frac{4}{9},$ $\frac{5}{6} .$

Najprije podijeli brojnik s nazivnikom, a potom decimalni broj, koji dobiješ kao rezultat, pretvori u postotak.

$\begin{array}{llll} \frac{1}{3} \approx 0.3333 = 33.33 % \\ \frac{5}{7} = 5 : 7 \approx 0.7143 = 71.43 % \\ \frac{4}{9} = 4 : 9 \approx 0.4444 = 44.44 % \\ \frac{5}{6} = 5 : 6 \approx 0.8333 = 83.33 % \end{array}$

Zadatak 4.

Popuni tablicu. Postotke zaokruži na najbližu stoticu.

Razlomak	$\frac{4}{3}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{11}$
Postotak

Razlomak	$\frac{4}{3}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{11}$
Postotak	$133.33 %$	$14.29 %$	$44.44 %$	$18.18 %$

Postotni iznos

Broj od kojega tražimo postotak zovemo osnovna vrijednost, a ona, pomnožena s postotkom, daje iznos koji zovemo postotni iznos.

U sljedećim zadacima primjetit ćeš kako isti postotak, primjenjen na različitim postotnim vrijednostima, daje različite postotne iznose.

Kolekcija zadataka #2

Spoji parove:

$1 %$ od $100$	$20$
$2 %$ od $100$	$2$
$10 %$ od $100$	$100$
$20 %$ od $100$	$200$
$100 %$ od $100$	$25$
$25 %$ od $100$	$1$
$200 %$ od $100$	$10$

null

Spoji parove:

$1 %$ od $200$	$20$
$2 %$ od $200$	$200$
$100 %$ od $200$	$2$
$20 %$ od $200$	$40$
$25 %$ od $200$	$100$
$10 %$ od $200$	$4$
$50 %$ od $200$	$50$

null

Spoji parove:

$10 %$ od $50$	$5$
$20 %$ od $50$	$50$
$50 %$ od $50$	$1$
$100 %$ od $50$	$100$
$2 %$ od $50$	$10$
$200 %$ od $50$	$25$
$1 %$ od $50$	$0.5$

null

Popuni tablicu.

$x$	$10$	$20$	$35$	$47$	$150$	$300$	$500$	$700$
$1 %$ od $x$
$10 %$ od $x$
$20 %$ od $x$
$50 %$ od $x$
$25 %$ od $x$
$75 %$ od $x$

$x$	$10$	$20$	$35$	$47$	$150$	$300$	$500$	$700$
$1 %$ od $x$	$0.1$	$0.2$	$0.35$	$0.47$	$1.5$	$3$	$5$	$7$
$10 %$ od $x$	$1$	$2$	$3.5$	$4.7$	$15$	$30$	$50$	$70$
$20 %$ od $x$	$2$	$4$	$7$	$9.4$	$30$	$60$	$100$	$140$
$50 %$ od $x$	$5$	$10$	$17.5$	$23.5$	$75$	$150$	$250$	$350$
$25 %$ od $x$	$2.5$	$5$	$8.75$	$11.75$	$37.5$	$75$	$125$	$175$
$75 %$ od $x$	$7.5$	$15$	$26.25$	$35.25$	$112.5$	$225$	$375$	$525$

25 %

100

kn je

Razmisli!

kn,

25 %

500

kn je

Razmisli!

kn,

25 %

2500

kn je

Razmisli!

kn.

null

Koliko je ljudi obuhvaćeno ispitivanjem, ako je obuhvaćeno:

a) $20 %$ od $100$

b) $20 %$ od $1 000$

c) $20 %$ od $10 000 ?$

Obuhvaćeno je:

a) $20$ ljudi,

b) $200$ ljudi,

c) $2 000$ ljudi.

Primijeti kako isti postotak od različitog broja daje različito rješenje!

Postotak i mjerne jedinice

Kolekcija zadataka #3

Koliko je $12 %$ od:

a) $200$ litara

b) $5$ litara

c) $0.07$ litara?

a) $12 % \cdot 200 = 0.12 \cdot 200 = 24$ l

b) $12 % \cdot 5 = 0.12 \cdot 5 = 0.6$ l = $6$ dl.

c) $12 % \cdot 0.07 = 0.12 \cdot 0.07 = 0.0084$ l = $8.4$ ml.

Pažljivo pročitaj i nadopuni rečenice.

5 %

300 t

Razmisli!

t .

12 %

12 000 kg

Razmisli!

kg .

36 %

200

hektolitara je

Razmisli!

hektolitara.

25 %

300 ha

Razmisli!

ha .

45 %

500 m^{2}

Razmisli!

m^{2} .

null

Koliko je $15 %$ od:

a) $300 g$

b) $5 kg$

c) $70 dag$ ?

a) $15 % \cdot 300 = 0.15 \cdot 300 = 45 g,$

b) $15 % \cdot 5 kg = 15 % \cdot 500 dag = 0.15 \cdot 500 = 75 dag,$

c) $15 % \cdot 70 dag = 15 % \cdot 700 g = 0.15 \cdot 700 = 105 g .$

Izračunaj i nadopuni izraze.

27 %

100 m

Razmisli!

m,

27 %

3 km

Razmisli!

m,

27 %

50 km

Razmisli!

m .

null

Postotci u našoj okolini

Primjer 7.

Mlijeko sadrži $5 %$ maslaca. Koliko se maslaca dobije od $200$ litara mlijeka? $1$ litra mlijeka ima masu $1.03 kg .$

Maslac

$200$ litara mlijeka ima masu $200 \cdot 1.03 = 206 kg .$

Traži se koliko je $5 %$ od $206 kg:$

$5 % \cdot 206 = 0.05 \cdot 206 = 10.3 kg .$

Od $200$ litara mlijeka dobije se $10.3 kg$ maslaca.

Kolekcija zadataka #4

Njemački turisti vole ostavljati napojnicu u iznosu $12 %$ od ukupne cijene računa. Ako je njihov račun u jednom restoranu bio $750$ kn, koliku su napojnicu pri plaćanju ostavili?

Treba izračunati koliko je $12 %$ od $750$ kn.

$12 % \cdot 750 = 0.12 \cdot 750 = 90$ kn

Pri plaćanju ostavili su napojnicu od $90$ kn.

Od $450$ učenika jedne škole danas je, zbog gripe, izostalo $30 %$ učenika. Koliko je učenika danas izostalo iz škole?

Treba izračunati koliko je $30 %$ od $450 .$

$30 % \cdot 450 = 0.3 \cdot 450 = 135$

Danas je iz škole izostalo $135$ učenika.

U dvije škole učenici su pristupili natjecanju iz matematike. U prvoj školi pristupilo je $200$ učenika, a njih $13 %$ je prošlo na županijsko natjecanje. U drugoj školi pristupilo je $500$ učenika i njih $7 %$ je prošlo na županijsko natjecanje. Iz koje je škole na županijsko natjecanje prošlo više učenika?

U prvoj školi pristupilo je $13 %$ od $200$ učenika, što je $13 % \cdot 200 = 0.13 \cdot 200 = 26$ učenika.

U drugoj školi pristupilo je $7 %$ od $500$ učenika, što je $7 % \cdot 500 = 0.07 \cdot 500 = 35$ učenika.

Iz druge škole je prošlo više učenika.

Učenici trebaju platiti $2000$ kn za školsku ekskurziju u Hrvatsko Zagorje. $62 %$ toga iznosa odvaja se na smještaj, $27 %$ na prijevoz, a ostatak na ulaznice u muzeje i zabavni park.

Koliki se dio novca odvaja za smještaj pojedinog učenika, koliki dio na prijevoz, a koliki na ulaznice?

Za smještaj se odvaja $62 %$ od $2 000$ kn, što je $62 % \cdot 2 000 = 0.62 \cdot 2 000 = 1 240$ kn.

Za prijevoz se odvaja $27 %$ od $2 000$ kn, što je $27 % \cdot 2 000 = 0.27 \cdot 2 000 = 540$ kn.

Za ulaznice se odvaja $2 000 - 1 240 - 540 = 220$ kn.

Obitelj Horvat ima mjesečne prihode $15 000$ kuna. Obitelj $21 %$ prihoda izdvaja za stanarinu, $34 %$ prihoda izdvaja za hranu i ostale potrepštine, $17 %$ prihoda izdvaja za režije, a $12 %$ za prijevoz. Koliko novca obitelj izdvaja za svaku pojedinu stavku?

Za stanarinu izdvajaju $21 %$ od $15 000$ kuna, što je $21 % \cdot 15 000 = 0.21 \cdot 15 000 = 3 150$ kuna.

Za hranu i ostale potrepštine izdvajaju $34 %$ od $15 000$ kuna, što je $34 % \cdot 15 000 = 0.34 \cdot 15 000 = 5 100$ kuna.

Za režije izdvajaju $17 %$ od $15 000$ kuna, što je $17 % \cdot 15 000 = 0.17 \cdot 15 000 = 2 550$ kuna.

Za prijevoz izdvajaju $12 %$ od $15 000$ kuna, što je $12 % \cdot 15 000 = 0.12 \cdot 15 000 = 1 800$ kuna.

Primjer 8.

Elina mama je nastavnica matematike. Ima plaću $6 000$ kuna. Vlada joj je obećala povećati plaću $2 %$ nakon prva tri mjeseca sljedeće godine, a potom $2 %$ nakon još $3$ mjeseca. Hoće li povećanje svaki put biti jednako?

Prvo povećanje trebalo bi biti $2 %$ od $6 000$ kuna, dakle $2 % \cdot 6 000 = 0.02 \cdot 6 000 = 120$ kuna. Povećana plaća trebala bi biti $6 000 + 120 = 6 120$ kuna.

Drugo po većanje trebalo bi biti $2 %$ od plaće koju bi tada trebala imati, dakle $2 %$ od $6 120$ kuna, što je $2 % \cdot 6 120 = 0.02 \cdot 6 120 = 122.40$ kuna. Nova plaća trebala bi biti $6 120 + 122.40 = 6 242.40$ kuna.

Povećanje neće oba puta biti jednako jer ni osnovna vrijednost, na koju će se obračunati povećanje, neće oba puta bila jednaka.

Zadatak 5.

Nabavna cijena jednog tableta je $500$ kn. Prva trgovina dodaje maržu od $12 %$ na tu cijenu, druga trgovina $17 %,$ a treća trgovina $8 % .$ Na maržu dodaju još i PDV od $25 % .$ Na taj način formiraju prodajnu cijenu tableta. Kolika je prodajna cijena tableta u prvoj, drugoj, a kolika u trećoj trgovini?

Marža u prvoj trgovini je $12 %$ od $500$ kn, odnosno $12 % \cdot 500 = 0.12 \cdot 500 = 60$ kuna.

Cijena s maržom je $500 + 60 = 560$ kuna.

PDV na tu cijenu je $25 %$ od $560$ kuna, odnosno $25 % \cdot 560 = 0.25 \cdot 560 = 140$ kuna.

Prodajna cijena tableta je $560 + 140 = 700$ kuna.

Marža u drugoj trgovini je $17 %$ od $500$ kn, odnosno $17 % \cdot 500 = 0.17 \cdot 500 = 85$ kuna.

Cijena s maržom je $500 + 85 = 585$ kuna.

PDV na tu cijenu je $25 %$ od $585$ kuna, odnosno $25 % \cdot 585 = 0.25 \cdot 585 = 146.25$ kuna.

Prodajna cijena tableta je $585 + 146.25 = 731.25$ kuna.

Marža u trećoj trgovini je $8 %$ od $500$ kn, odnosno $8 % \cdot 500 = 0.08 \cdot 500 = 40$ kuna.

Cijena s maržom je $500 + 40 = 540$ kuna.

PDV na tu cijenu je $25 %$ od $540$ kuna, odnosno $25 % \cdot 540 = 0.25 \cdot 540 = 135$ kuna.

Prodajna cijena tableta je $540 + 135 = 675$ kuna.

Kutak za znatiželjne

Anita je skupila perlice za ogrlicu. Od ukupnog broja perlica $80 %$ ih je bijelih, a od bijelih $40 %$ ih na sebi ima zlatni detalj. Koliki postotak, od ukupnog broja perlica, čine bijele perlice sa zlatnim detaljem?

Neka je $x$ ukupni broj perlica.

$80 %$ od $x$ je $80 % \cdot x = 0.8 x$

Bijelih perlica je $0.8 x .$

$40 %$ bijelih perlica ima zlatni detalj.

$40 %$ od $0.8 x$ (što je broj bijelih perlica) je $40 % \cdot 0.8 x = 0.4 \cdot 0.8 x = 0.32 x$ ili $32 %$ od $x .$

Bijele perlice sa zlatnim detaljem čine $32 %$ ukupnog broja perlica.

...i na kraju

Postocima se izražavaju sniženja ili povećanja u trgovini, dio cijene ili plaće koja ide na porez, količina masnoće u mlijeku, kolika je prolaznost na ispitu. Primijetit ćeš kako će isti postotak, primijenjen na različitu osnovnu vrijednost, dati različite postotne iznose.

Primjerice, $50 %$ od $100,$ $50 %$ od $200$ i $50 %$ od $1 000 000$ sasvim su drugačiji iznosi.

Prisjeti se naučenog u ovoj jedinici letkom u kojem, pomoću zadane cijene i postotka, treba izračunati novu, sniženu cijenu. Kako se radi o kunama i lipama, kada pišeš novu cijenu, napiši ju u obliku decimalnog broja sa dvije decimale.

Povećaj interaktivni prikaz

Projekt

Napravi vlastiti letak sa sniženjima. Prikupi letke različitih trgovina. Izreži slike tebi omiljenih proizvoda. Na bijeli papir napiši naslov koji će privući kupce. Zalijepi slike proizvoda i pored njih napiši cijenu prije sniženja (možeš je i prekrižiti), popust i cijenu nakon sniženja.

$\frac{3}{4}$	$25 %$
$\frac{1}{8}$	$75 %$
$\frac{1}{4}$	$50 %$
$\frac{1}{2}$	$10 %$
$\frac{1}{10}$	$12.5 %$

Na početku...

Postotak

Primjer 1.

Primjer 2.

Zanimljivost

Zadatak 1.

Postotak kao razlomak i kao decimalni broj

Postotak

Kolekcija zadataka #1

Primjer 3.

Zadatak 2.

Primjer 4.

Primjer 5.

Zadatak 3.

Primjer 6.

Zadatak 4.

Postotni iznos

Kolekcija zadataka #2

Postotak i mjerne jedinice

Kolekcija zadataka #3

Postotci u našoj okolini

Primjer 7.

Kolekcija zadataka #4

Primjer 8.

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Projekt