Jednakost kompleksnih brojeva

Koje su od sljedećih tvrdnja istinite?

$\frac{1}{4}-\frac{3}{2}i=0.25-1.5i$

$\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i=\sqrt{3}+\sqrt{2}i$ 

$\frac{1}{2}-\frac{2}{5}i=0.5-2.5i$ 

${\left(1+\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{8}i=6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}i$ 

null

null

Primjer 1.

Za koje će vrijednosti realnih brojeva $x,$ $y$ kompleksni brojevi $z_1=5x+\left(3y+7\right)i$ i $z_2=10-2i$ biti jednaki?

Iz jednakosti kompleksnih brojeva

$5x+\left(3y+7\right)i=10-2i$

slijedi da su im realni dijelovi jednaki i imaginarni dijelovi jednaki, odnosno da vrijedi:

$\left\{\begin{array}{l}5x=10\\ 3y+7=-\mathrm{2,}\end{array}\right.$

a odavde je $x=2,$ $y=-3.$

a.  Za koju će vrijednost realnog broja $x$ vrijediti jednakost $x+9i=x+4xi-3i?$

$1$

$2$

$3$

$4$

null

null

b. Za koje će vrijednosti realnih brojeva $x$ i $y$ vrijediti jednakost $x+3y+\left(2x+2y\right)i=13+10i?$

$x=1,$ $y=2$

$x=1,$ $x=4$

$x=3,$ $y=2$

$x=3,$ $y=4$

null

null

c. Kompleksni brojevi $z_1=x-3y-yi$ i $z_2=\left(4-2x\right)i$ bit će jednaki za $x=$

i

$y=$

.

null

null

d. Koje je rješenje jednadžbe $z^2=-3-4i?$

$z=-1-2i$ 

$z=-1+2i$ 

$z=1-2i$ 

$z=1+2i$ 

null

null

Jednadžbe s modulom kompleksnoga broja

Primjer 2.

Odredimo sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $\left|z\right|=3.$

Traženi brojevi su oni čija je udaljenost od ishodišta Gaussove ravnine jednaka $3.$ Dakle, riječ je o točkama kružnice polumjera $3$ sa središtem u ishodištu.

Primjer 3.

Odredimo sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $\left|z-1-4i\right|=2.$

Čemu je jednak modul razlike dvaju kompleksnih brojeva $\left|z_1-z_2\right|?$ To je udaljenost između brojeva $z_1$ i $z_2$ prikazanih u Gaussovoj ravnini. Znači da je $\left|z-1-4i\right|=\left|z-\left(1+4i\right)\right|$ udaljenost između brojeva $z$ i $z_0=1+4i$ pa su traženi brojevi oni čija je udaljenost od broja $z_0=1+4i$ jednaka $2.$ Dakle, riječ je o točkama kružnice polumjera $2$ sa središtem u $z_0=1+4i.$

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Na kojoj je od navedenih slika prikazan skup svih točaka u Gaussovoj ravnini za koje vrijedi $\left|z\right|=4?$

null

null

$\left|z-2+i\right|$ je udaljenost broja $z$ i broja $z_0=2+i?$

Da

Ne

null

null

$\left|z+2-i\right|$ je udaljenost broja $z$ i broja $z_0=-2+i?$

Da

Ne

null

null

$\left|z-2i\right|$ je udaljenost broja $z$ i broja $z_0=2i?$

Da

Ne

null

null

Skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje vrijedi $\left|z-\left(7+i\right)\right|=10$ jest kružnica polumjera

sa

središtem u $z_0=$

.

null

null

Skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje vrijedi $\left|z+i\right|=2$ jest kružnica polumjera

sa

središtem u $z_0=$

.

null

null

Skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje vrijedi $\left|z-5-11i\right|=17$ jest kružnica polumjera

sa

središtem u $z_0=$

.

null

null

Na kojoj je od navedenih slika prikazan skup svih točaka $z$ određen uvjetom $\left|z-2+3i\right|=1?$

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Primjer 4.

Što je skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje je $\left|z-1-i\right|=\left|z+3+i\right|?$

Pogledajmo!

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Kompleksni brojevi $z$ za koje je $\left|z-3+2i\right|=\left|z-2\right|$ nalaze se na simetrali dužine određene točkama $z_1=3-2i$ i $z_2=2.$

Da

Ne

null

null

Kompleksni brojevi $z$ za koje je $\left|z+1+5i\right|=\left|z-7-i\right|$ nalaze se na simetrali dužine određene točkama $z_1=1+5i$ i $z_2=7+i.$

Da

Ne

null

null

Kompleksni brojevi $z$ za koje je $\left|z-12i\right|=\left|z-4+3i\right|$ nalaze se na simetrali dužine određene točkama $z_1=12i$ i $z_2=-4+3i.$

Da

Ne

null

null

Kompleksni brojevi $z$ za koje je $\left|z+6-2i\right|=\left|z+11+9i\right|$ nalaze se na simetrali dužine određene točkama $z_1=-6+2i$ i $z_2=-11-9i.$

Da

Ne

null

null

Kojoj je od navedenih jednadžbi skup rješenja prikazan na slici?

$\left|z-1+i\right|=\left|z+2i\right|$

$\left|z+4+i\right|=\left|z-2+3i\right|$

null

null

Kojoj je od navedenih jednadžbi skup rješenja prikazan na slici?

$\left|z-2+2i\right|=\left|z-3-i\right|$ 

$\left|z+2-i\right|=\left|z+3+i\right|$ ​

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Nejednadžbe s modulom kompleksnoga broja

Primjer 5.

Znamo da je skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje je $\left|z-\left(2+3i\right)\right|=3$ kružnica polumjera $3$ sa središtem u točki $z_0=2+3i.$ Što je skup svih kompleksnih brojeva za koje je $\left|z-\left(2+3i\right)\right|\le 3$ ?

To je krug polumjera $3$ sa središtem u točki $z_0=2+3i$.

Primjer 6.

Prikažimo u Gaussovoj ravnini skup svih kompleksnih brojeva $z$ za koje je $\left|z-1+3i\right|<4.$

Uočimo da udaljenost točaka mora biti manja od $6$ pa u traženi skup neće biti uključena kružnica, odnosno rješenje je otvoreni krug.

Rješenje kruga

Rješenje otvorenog kruga

Prethodna Sljedeća

Uparite nejednadžbu s odgovarajućim rješenjem.

$\left|z+9-2i\right|<5$	krug, $r=7,$ središte $z_0=4i$
$\left|z-3\right|<2$	otvoreni krug, $r=2,$ središte $z_0=3$
$\left|z-4i\right|\le 7$	krug, $r=1,$ središte $z_0=5+2i$
$\left|z-5-2i\right|\le 1$	otvoreni krug, $r=5,$ središte $z_0=-9+2i$

null

null

Primjer 7.

Zapišimo sada skup kompleksnih brojeva prikazan u Gaussovoj ravnini.

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: