Matematika 4 - 6.5 Nezavisni događaji

Definicija nezavisnosti

U uvodnom primjeru piše da su zadatci međusobno nepovezani. Što to znači za učenicu koja ih rješava? Hoće li činjenica da je točno ili netočno riješila prvi zadatak utjecati na rješavanje drugog? Neće. U vjerojatnosti ćemo takve događaje kod kojih ishod jednog od njih ne utječe na ishod drugog zvati nezavisni događaji. Kako nezavisnost utječe na vjerojatnosti? Riješimo uvodni primjer.

Primjer 1.

Učenica nasumice rješava zadatke. Može označiti odgovore 1. a i 2. a ili 1. a i 2. b i tako dalje. Možemo zamisliti da je označila jedno prazno polje u tablici.

1. a
1. b
1. c

2. a

2. b

2. c

2. d

Ukupno ima dvanaest mogućnosti od kojih je samo jedna točna. Vjerojatnost da će odgovoriti točno je $\frac{1}{12} .$

Zadatak smo mogli riješiti i na drugi način. U prvom zadatku postoje tri mogućnosti od kojih je samo jedna točna pa je vjerojatnost točnog odgovora $\frac{1}{3} .$ U drugom zadatku postoje četiri mogućnosti od kojih je samo jedna točna pa je vjerojatnost točnog odgovora $\frac{1}{4} .$ Vjerojatnost da učenica točno odgovori na oba pitanja je $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} .$

Označimo li $A = \{točno riješen prvi zadatak\}$ i $B = \{točno riješen drugi zadatak\}$ onda vidimo da smo vjerojatnost presjeka nezavisnih događaja mogli izračunati kao umnožak vjerojatnosti događaja. Ovo je važno svojstvo nezavisnih događaja pa ćemo ih s pomoću njega i definirati.

Nezavisni događaji

Za događaje $A$ i $B$ kažemo da su nezavisni ako vrijedi $p (A \cap B) = p (A) \cdot p (B) .$

Kako upotrebljavamo definiciju nezavisnosti? Ako znamo izračunati sve vjerojatnosti, možemo po definiciji provjeriti jesu li događaji nezavisni.

Zadatak 1.

Dva puta bacamo kocku. Zadani su događaji $A = \{4 u prvom je bacanju pao broj veći od 4\}$ i $B = \{u drugom je bacanju pao broj veći od 3\} .$ Izračunajte $p (A),$ $p (B)$ i $p (A \cap B)$ pa provjerite jesu li događaji nezavisni.

$p (A) = \frac{2 \cdot 6}{36} = \frac{1}{3},$ $p (B) = \frac{6 \cdot 3}{36} = \frac{1}{2},$ $p (A \cap B) = \frac{2 \cdot 3}{36} = \frac{1}{6},$ $p (A \cap B) = p (A) \cdot p (B) .$

Događaji su nezavisni.

Zadatak 2.

Dva puta bacamo kocku. Zadani su događaji $\begin{array}{l} A = \{u prvom je bacanju pao broj veći od 4\} \end{array}$ i $\begin{array}{l} B = \{zbroj brojeva koji su pali je veći od 9\} \end{array} .$ Izračunajte $p (A),$ $p (B)$ i $p (A \cap B)$ pa provjerite jesu li događaji nezavisni.

$p (A) = \frac{2 \cdot 6}{36} = \frac{1}{3},$ povoljni za $B$ su $B = \{(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)\}$ pa je $p (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .$ Povoljni za $A \cap B$ su $A \cap B = \{(5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)\}$ pa je $p (A \cap B) = \frac{5}{36} .$

Jer je $p (A \cap B) \neq p (A) \cdot p (B)$ događaji nisu nezavisni.

Definiciju nezavisnosti češće upotrebljavamo na drugi način. Ako je iz teksta zadatka poznato da su događaji nezavisni, da realizacija jednog od njih ne utječe na realizaciju drugog, definiciju nezavisnosti upotrebljavamo za računanje vjerojatnosti umnoška.

Primjena nezavisnosti

Primjer 2.

Dva puta bacamo novčić. Jesu li događaji $A$ $=$ $\{u prvom je bacanju palo pismo\}$ i $B$ $=$ $\{u drugom je bacanju palo pismo\}$ nezavisni? Kolika je vjerojatnost da će oba puta pasti pismo?

Ishod prvog bacanja novčića ne utječe na to kako će novčić pasti u drugom bacanju. To znači da su događaji $A$ i $B$ nezavisni. Traži se vjerojatnost njihova presjeka.

$\begin{array}{l} p (A \cap B) = p (A) \cdot p (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{array} .$

Bacanje novčića

Zadatak 3.

Rezus faktor ili Rh-faktor skupina je antigena koja se nalazi (Rh pozitivna) ili ne nalazi (Rh negativna) u ljudskoj krvi. U populaciji Europe $15 %$ stanovnika je Rh negativno. Kolika je vjerojatnost da su tri nasumice odabrane osobe Rh negativne? Jesu li događaji $A = \{prva je osoba Rh negativna\},$ $B = \{druga je osoba Rh negativna\},$ $C = \{treća je osoba Rh negativna\}$ nezavisni?

Događaji su nezavisni jer činjenica da je neka osoba Rh negativna neće utjecati na to je li i druga nasumice odabrana osoba također negativna. S obzirom na to da je $15 %$ stanovnika Rh negativno, vjerojatnost da nasumice odabrana osoba bude negativna je $0.15 .$

Vrijedi: $\begin{array}{l} p (A \cap B \cap C) = p (A) \cdot p (B) \cdot p (C) = {0.15}^{3} = 0.003375 \end{array} .$

Primjer 3.

Dva košarkaša vježbaju slobodna bacanja. Prvi pogađa koš u $60 %$ pokušaja, a drugi u $70 %$ pokušaja. Svaki od njih gađa jednom. Jesu li događaji $A = \{prvi je pogodio\}$ i $B = \{drugi je pogodio\}$ nezavisni?

Podrazumijevamo da su događaji nezavisni, odnosno da pogodak ili promašaj prvog igrača ne utječe na drugog. Riješite zadatke vezane uz ovaj primjer.

Košarka

Kolekcija zadataka #1

Uparite događaj i opis događaja.

$A \cap B$
$A \cap \bar{B}$
$\bar{A} \cap B$
$\bar{A} \cap \bar{B}$

null

Označite događaje za koje je koš pogođen točno jednom.

A \cap B

A \cap \bar{B}

\bar{A} \cap B

\bar{A} \cap \bar{B}

null

Zapišite događaj $C = \{koš je pogođen jednom\} .$

$C = (A$

\bar{B})

(\bar{A} \cap

) .

\cup

B

\cap

null

Uparite događaje i njihove vjerojatnosti.

$\bar{A} \cap \bar{B}$	$0.4 \cdot 0.7$
$A \cap B$	$0.6 \cdot 0.7$
$\bar{A} \cap B$	$0.6 \cdot 0.3$
$A \cap \bar{B}$	$0.4 \cdot 0.3$

Pomoć:

Ako je $p (A) = 0.6$ onda je $p (\bar{A}) = 1 - 0.6 = 0.4 .$

null

Vjerojatnost događaja

C = \{koš je pogođen jednom\}

iznosi

null

Zadatak 4.

Tri strijelca gađaju metu. Prvi pogađa u $60 %$ gađanja, drugi u $75 %,$ a treći u $90 %$ gađanja. Odredimo vjerojatnost da meta bude pogođena točno dva puta. Rješenje pogledajte u animaciji.

Uvježbajte

Riješite zadatke primjenjujući nezavisne događaje.

Kolekcija zadataka #2

Razvrstajte događaje.

obje izvučene kuglice bijele

Nezavisni događaji

Zavisni događaji

null

U Škotskoj

14 %

osoba ima smeđe oči. Vjerojatnost da među troje nasumice odabranih Škota ni jedan nema smeđe oči iznosi

Pomoć:

${0.86}^{3}$

Učenik zadatke rješava s vjerojatnošću od $0.6,$ a teorijska pitanja s vjerojatnošću od $0.8 .$ Ispit se sastoji od dvaju nezavisnih zadataka i jednoga teorijskog pitanja. Vjerojatnost da je učenik točno riješio sve dijelove ispita iznosi

0.96

0.48

0.29

null

Dva puta zavrtimo spiner sa slike. Kolika je vjerojatnost da smo prvi put dobili broj veći od tri i drugi put paran broj?

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} .$

Biramo jednu kartu iz snopa od $32$ karte, pogledamo je, vratimo u snop pa biramo još jednu. Kolika je vjerojatnost da su oba puta izvučene karte bile kralj?

U snopu od $32$ karte četiri su kralja, $p (A_{1} \cap A_{2}) = \frac{4}{32} \cdot \frac{4}{32} = \frac{1}{64} .$

U posudi je 5 bijelih i 7 crnih kuglica. Izvučemo jednu kuglicu, vratimo je natrag u posudu pa izvučemo još jednu.

Kolika je vjerojatnost da je prva izvučena bijela, a druga crna?
Kolika je vjerojatnost da su izvučene bijela i crna?

$\frac{5}{12} \cdot \frac{7}{12} = \frac{35}{144}$
$\begin{array}{l} \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{12} + \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{12} = \frac{70}{144} = \frac{35}{72} \end{array}$

Rezultati ankete pokazuju da se $65 %$ učenika neke škole hrani u školskoj kantini. Kolika je vjerojatnost da se od nasumice odabrana četiri učenika ni jedan ne hrani u kantini?

${0.35}^{4} \approx 0.015$

6.5 Nezavisni događaji

Na početku...

Definicija nezavisnosti

Primjer 1.

Nezavisni događaji

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Primjena nezavisnosti

Primjer 2.

Zadatak 3.

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 4.

Uvježbajte

Kolekcija zadataka #2

Nezavisni događaji

Zavisni događaji

...i na kraju