Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Na gornjim je slikama geometrijski predočeno množenje kompleksnog broja s realnim brojem i s potencijom imaginarne jedinice. Koristeći se trigonometrijskim oblikom, odnosno polarnim koordinatama, možemo jednostavnije opisati dobiveni umnožak.

Pogledajmo kako se množe kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku.

Primjer 1.

U sljedećoj interakciji promotrite umnožak kompleksnih brojeva prikazanih u trigonometrijskom obliku.

Zadatak 2.

Uočimo da je modul umnoška kompleksnih brojeva jednak

modula,

a argument umnoška jednak je

argumenata

tih kompleksnih brojeva.

null

Ako je $z_{1} = r_{1} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}),$ $z_{2} = r_{2} (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2}),$ tada je umnožak kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2}$ jednak $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} (\cos (φ_{1} + φ_{2}) + i \sin (φ_{1} + φ_{2})) .$

Zadatak 3.

Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu pojavljivanja u algebarskom dokazu formule za umnožak kompleksnih brojeva $z_{1} = r_{1} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}),$ $z_{2} = r_{2} (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2}) .$

$= r_{1} r_{2} ((\cos φ_{1} \cdot \cos φ_{2} - \sin φ_{1} \sin φ_{2}) + i (\cos φ_{1} \sin φ_{2} + \cos φ_{2} \sin φ_{1}))$
$= r_{1} r_{2} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}) (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2})$
$= r_{1} r_{2} (\cos (φ_{1} + φ_{2}) + i \sin (φ_{1} + φ_{2}))$
$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}) \cdot r_{2} (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2})$
$= r_{1} r_{2} (\cos φ_{1} \cdot \cos φ_{2} + i \cos φ_{1} \sin φ_{2} + i \cos φ_{2} \sin φ_{1} + i^{2} \sin φ_{1} \sin φ_{2})$

null

Primjer 2.

Odredimo modul i argument umnoška sljedećih kompleksnih brojeva.

a. $z_{1} = 2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}),$ $z_{2} = \sqrt{3} (\cos \frac{π}{8} + i \sin \frac{π}{8})$

b. $z_{1} = 3 (\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3}),$ $z_{2} = 2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6})$

a. $z_{1} \cdot z_{2} = 2 \cdot \sqrt{3} (\cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{8}) + i \sin (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{8})) = 2 \sqrt{3} (\cos \frac{7 π}{8} + i \sin \frac{7 π}{8})$

modul umnoška: $|z_{1} \cdot z_{2}| = 2 \sqrt{3}$

argument umnoška: $\arg (z_{1} \cdot z_{2}) = \frac{7 π}{8}$

b. $z_{1} \cdot z_{2} = 3 \cdot 2 (\cos (\frac{5 π}{3} + \frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{3} + \frac{5 π}{6})) = 6 (\cos \frac{5 π}{2} + i \sin \frac{5 π}{2})$ (*)

modul umnoška: $|z_{1} \cdot z_{2}| = 6$

Argument kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku je prema definiciji broj iz intervala $[0,2 π⟩ .$ Zato broj $\frac{5 π}{2}$ nije argument traženog umnoška.

U tom slučaju $\frac{5 π}{2}$ svodimo na traženi interval tako da gledamo njegov ostatak pri dijeljenju s $2 π .$ Jednakost (*) ostaje valjana zbog periodičnosti sinusa i kosinusa. Tada je

argument umnoška: $\arg (z_{1} \cdot z_{2}) = \frac{5 π}{2} - 2 π = \frac{π}{2} .$

Potenciranje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 4.

Koliko je:

a. ${(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{2}$

b. ${(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{3}$

c. ${[2 (\cos \frac{3 π}{7} + i \sin \frac{3 π}{7})]}^{2}$

d. ${[r (\cos φ + i \sin φ)]}^{n} ?$

a. ${(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{2} = (\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5}) (\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5}) =$
$= \cos (\frac{π}{5} + \frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5} + \frac{π}{5}) = \cos \frac{2 π}{5} + i \sin \frac{2 π}{5}$

b. ${(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{3} = {(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{2} (\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5}) =$
$= \cos (\frac{2 π}{5} + \frac{π}{5}) + i \sin (\frac{2 π}{5} + \frac{π}{5}) = \cos \frac{3 π}{5} + i \sin \frac{3 π}{5}$

c. ${[2 (\cos \frac{3 π}{7} + i \sin \frac{3 π}{7})]}^{2} = 2 (\cos \frac{3 π}{7} + i \sin \frac{3 π}{7}) \cdot 2 (\cos \frac{3 π}{7} + i \sin \frac{3 π}{7}) =$
$= 4 (\cos \frac{6 π}{7} + i \sin \frac{6 π}{7})$

d. ${[r (\cos φ + i \sin φ)]}^{n} = \underset{n faktora}{\underset{⏟}{r (\cos φ + i \sin φ) \cdot r (\cos φ + i \sin φ) \cdot . . . \cdot r (\cos φ + i \sin φ)}} =$
$= r^{n} (\cos (φ + φ + . . . + φ) + i \sin (φ + φ + . . . + φ)) = r^{n} (\cos n φ + i \sin n φ) .$

U posljednjem smo primjeru došli do formule za potenciranje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Pritom smo koristili formulu za umnožak kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.

Za kompleksan broj $z = r (\cos φ + i \sin φ)$ i prirodni broj $n$ vrijedi

$z^{n} = r^{n} (\cos n φ + i \sin n φ) .$

Ta se formula naziva De Moivreova formula za potenciranje.

Na fotografiji je De Moivre. — De Moivre

Zanimljivost

Abraham de Moivre (1667. – 1754.) bio je francuski matematičar poznat po formuli koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju te po svojim radovima iz teorije vjerojatnosti. Zanimljiva je priča kako je Moivre točno predvidio dan svoje smrti. S obzirom na činjenicu da svaki dan spava 15 minuta dulje, de Moivre je pretpostavio da će umrijeti onog dana kada će spavati svih 24 sata na dan. Tada je jednostavno izračunao da će umrijeti 27. studenog 1754. godine, što se zaista i dogodilo.

Primjer 5.

Izračunajte ${(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{90} .$

S obzrom na složenost postupka, dosta je jasno da tu potenciju nećemo računati množeći bazu $90$ puta sa samom sobom ili koristeći se binomnom formulom. Računska radnja potenciranja u skupu kompleksnih brojeva svodi se na množenje realnim brojem. Množenje se svodi na zbrajanje ako je broj zapisan u trigonometrijskom obliku.

Zato je prvi korak u zadatku prikazati dani broj u trigonometrijskom obliku.

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = 1,$ $tg φ = - \sqrt{3}, {tg}^{- 1} (- \sqrt{3}) = - \frac{π}{3},$ $z \in IV. kvadrant \Rightarrow φ = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$

Tada je trigonometrijski prikaz danog broja jednak $z = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}) .$ Slijedi da je

${(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{90} = {(\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3})}^{90} = \cos (90 \cdot \frac{5 π}{3}) + i \sin (90 \cdot \frac{5 π}{3}) = \cos 150 π + i \sin 150 π = \cos 0 + i \sin 0 = 1 .$

Kolekcija zadataka #2

Odredite modul i argument kompleksnog broja $z^{200}$ ako je:

a. $z = 0.5 (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})$

b. $z = - \sqrt{3} + i .$

a. $z^{200} = {0.5}^{200} (\cos (200 \cdot \frac{π}{12}) + i \sin (200 \cdot \frac{π}{12})) = 2^{- 200} (\cos (\frac{50 π}{3}) + i \sin (\frac{50 π}{3}))$

$= 2^{- 200} (\cos \frac{50 π}{3} + i \sin \frac{50 π}{3}) .$

Broj $\frac{50 π}{3}$ nije unutar intervala $[0, 2 π⟩ .$ Kako je njegov ostatak pri dijeljenju s $2 π$ jednak $\frac{2 π}{3},$ slijedi

$r = |z| = 2^{- 200},$ a $\arg z = \frac{2 π}{3} .$

b. $z^{200} = {(- \sqrt{3} + i)}^{200} = {(2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6}))}^{200} =$

$= 2^{200} (\cos \frac{500 π}{3} + i \sin \frac{500 π}{3}) = 2^{200} (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$

a. Modul broja ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)}^{300}$ jednak je:

1^{300}

2^{200}

2

4 .

null

b. Argument broja ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)}^{300}$ je:

\frac{π}{2}

π

\frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} .

null

Uparite potenciju broja $z$ i njezin argument ako je $z = \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4} .$

$z^{63}$	$\frac{3 π}{2}$
$z^{24}$	$\frac{7 π}{4}$
$z^{6}$	$\frac{π}{4}$
$z^{9}$	$\frac{3 π}{4}$
$z^{- 13}$	$0$
$z^{2}$	$\frac{π}{2}$

null

...i na kraju

Ponovimo!

Procijenite svoje znanje

Broj $z = 2 (\cos 3 + i \sin 3)$ zapisan je u trigonometrijskom obliku.

Da

Ne

null

Broj $z = 4 (\cos \frac{π}{9} - i \sin \frac{π}{9})$ zapisan je u trigonometrijskom obliku.

Da

Ne

null

Točka pridružena broju $z i$ u Gaussovoj se ravnini dobije od točke pridružene broju $z :$

simetrijom u odnosu prema imaginarnoj osi

rotacijom oko ishodišta za

180 °

u pozitivnom smjeru

simetrijom u odnosu prema realnoj osi

rotacijom oko ishodišta za

90 °

u pozitivnom smjeru.

null

Ako je $z_{1} = 2 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}),$ $z_{2} = 0.5 (\cos \frac{8 π}{9} + i \sin \frac{8 π}{9}),$ uparite sljedeće izraze tako da dobijete točne tvrdnje.

$\frac{z_{2}}{z_{1}} =$	$\frac{1}{64} (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$
$z_{1} \cdot z_{2} =$	$16 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$
${z_{1}}^{- 3} \cdot {z_{2}}^{3} =$	$0.25 (\cos \frac{2 π}{9} + i \sin \frac{2 π}{9})$
${z_{1}}^{4} =$	$\cos \frac{14 π}{9} + i \sin \frac{14 π}{9}$

null

Modul desete potencije kompleksnog broja zapisanog u trigonometrijskom obliku je

potencija

modula toga kompleksnog broja, a argument je jednak

puta

argument tog broja.

null

Argument umnoška, kvocijenta i potencije kompleksnih brojeva treba biti broj koji je veći ili jednak

,

a manji od

π .

null

$z_{2} \cdot z_{3} =$	$8 (\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})$
$z_{1} \cdot z_{2} =$	$4 (\cos \frac{17 π}{12} + i \sin \frac{17 π}{12})$
$\frac{z_{2}}{z_{3}} =$	$\cos \frac{13 π}{12} + i \sin \frac{13 π}{12}$
$z_{1} \cdot z_{3} =$	$8 (\cos \frac{11 π}{12} + i \sin \frac{11 π}{12})$
$\frac{z_{1}}{z_{3}} =$	$2 (\cos \frac{5 π}{12} + i \sin \frac{5 π}{12})$
$\frac{z_{1}}{z_{2}} =$	$2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})$

1.5 Računanje s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku

Na početku...

Zadatak 1.

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjer 2.

Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 3.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka #1

Potenciranje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 4.

Zanimljivost

Primjer 5.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: