Matematika 4 - 3.7 Matematičko modeliranje

Na početku...

Jedne dnevne novine naplaćuju oglasni prostor $550$ kuna i dodatnu $81$ kunu za svaki centimetar visine oglasa.

Koliko treba platiti objavu oglasa visine $5$ centimetara?

Uočimo da imamo dvije promjenljive veličine, visinu i cijenu. Cijena oglasa ovisi o tome kolika će biti visina oglasa. Pomoću ove informacije možemo definirati svoje varijable, uključujući i jedinice.

Zavisna varijabla – $C,$ cijena u kunama.

Nezavisna varijabla – $v,$ visina u centimetrima.

Dakle, cijena oglasa ovisi o visini oglasa u centimetrima, odnosno $C (v) .$

Početna cijena je $550$ kuna. Iz opisa pridruživanja zaključujemo da se radi o linearnoj ovisnosti, jer se za svaki centimetar oglasa cijena poveća za $81$ kunu. Možemo zapisati

$C (v) = 550 + 81 v .$

Za oglas visine $5$ $cm$ treba platiti $C (5) = 550 + 81 \cdot 5 = 955$ kuna.

U tjednim se novinama cijena oglasa računa po formuli $C_{1} (v) = 600 + 73 v,$ pri čemu je $v$ visina oglasa u $cm .$ Oglas visine $8$ $cm$ povoljnije je objaviti u

novinama,

jer će biti

kuna

jeftiniji nego u

novinama.

null

Opis pridruživanja – model

U uvodnom smo primjeru vidjeli da iz pridruživanja zadanoga opisom – kada se visina oglasa (nezavisna varijabla) poveća za određeni iznos, tada se i cijena (zavisna varijabla) poveća za određeni iznos – možemo zaključiti da se radi o linearnoj funkciji.

Što možemo zaključiti u sljedećem primjeru?

Primjer 1.

Broj bakterija u jednom uzorku udvostručuje se svakih $5$ minuta. Na početku mjerenja bilo je $2000$ bakterija. Koliko će bakterija biti nakon jednoga sata?

Uočili smo dvije promjenljive veličine

Bakterije

oznaka

B

oznaka

t

Zavisna varijabla

Nezavisna varijabla

null

Rekurzivno pravilo "broj bakterija udvostručuje se" govori nam da je količina bakterija $2$ puta veća nego prije pa je pridruživanje

linearno

kvadratno

eksponencijalno

logaritamsko

null

Funkcija je oblika

B (t) = a b^{k t},

pri čemu je

b =

Koeficijent

a

odredimo iz početnoga uvjeta, za

t = 0,

B (0) = 2 000

pa je

a =

null

Kako ćemo odrediti koeficijent

k ?

Znamo da se broj bakterija udvostručava svakih

5

minuta, što znači da je

B (5) =

Uvrštavanjem u formulu dobije se

k =

null

Konačno, pridruživanje je dano pravilom $B (t) = 2 000 \cdot 2^{0.2 t},$ pri čemu je $t$ vrijeme u minutama. Nakon jednoga sata broj bakterija iznosit će

2 297

8 000

51 200

8 192 000

null

Pravilo pridruživanja – računanje vrijednosti

Primjer 2.

Da bi se riješio korova u svome vrtu, Juraj upotrebljava ekološko sredstvo protiv korova. Sredstvo djeluje polako. Formula $K (t) = 10 + \frac{80}{t + 1.5}, t \geq 0$ opisuje postotak korova $K$ koji je preostao $t$ dana od početka korištenja sredstva.

Odgovorite.

Prije početka korištenja sredstva protiv korova bilo je

%

korova. Nakon

6

dana ostalo je

%

korova. Postotak korova past će ispod

12 %

nakon

dana.

20.67

39

63.3

null

Hoće li se Juraj potpuno riješiti korova?

To bi značilo da nakon mnogo dana korištenja sredstva postotak bude jednak $0 .$ Je li to moguće? Kako ćemo to provjeriti?

Računamo $\lim_{t \to \infty} K (t) = \lim_{t \to \infty} (10 + \frac{80}{t + 1.5}) = 10 .$

Postotak korova nikad neće biti ispod $10 % .$

Primjer 3.

Intenzitet zvuka $L$ mjeri se u decibelima $(dB),$ a definira se kao $L = 10 \log \frac{I}{10^{- 12}},$ pri čemu je $I$ jačina zvuka u $\frac{W}{m^{2}} .$ Jačina razgovora je $10^{- 6} \frac{W}{m^{2}},$ a jačina zvuka u školskoj kantini je $10^{- 4} \frac{W}{m^{2}} .$

a. Koliki je intenzitet zvuka kada četvero ljudi istodobno razgovara?

b. Koja je razlika intenziteta zvuka u školskoj kantini i razgovora?

a. Intenzitet zvuka razgovora iznosi $L = 10 \log \frac{10^{- 6}}{10^{- 12}} = 10 \log 10^{6} = 60 dB .$ Jačina zvuka kada četvero ljudi istodobno govori iznosi $4 \cdot 10^{- 6} \frac{W}{m^{2}},$ a intenzitet u decibelima iznosi $L = 10 \log \frac{4 \cdot 10^{- 6}}{10^{- 12}} = 10 \log 4 \cdot 10^{6} \approx 66 dB .$

Iako je zvuk četverostruko jači, razlika u intenzitetu iznosi oko $6 dB .$

b. $\begin{array}{l} 10 \log \frac{10^{- 4}}{10^{- 12}} - 10 \log \frac{10^{- 6}}{10^{- 12}} = 10 (\log \frac{10^{- 4}}{10^{- 6}}) = 10 \log 10^{2} = 20 dB \end{array} .$

Zvuk je $100$ puta jači, a intenzitet je za $20 dB$ veći.

Tablica vrijednosti – graf – pravilo pridruživanja

Funkcija može biti zadana i tablicom. Pogledajmo video.

Primijenite naučeno.

Zadatak 1.

Obiteljska slastičarnica izrađuje suhe kolače. Tablica prikazuje zaradu $Z$ u kunama za prodanih $n$ kilograma suhih kolača dnevno.

Količina $n$ ( $kg$ )	$5$	$10$	$20$	$30$	$35$	$44$
Zarada $Z$ ( $kn$ )	$25$	$200$	$400$	$400$	$325$	$64$

Koja je ovisnost zarade i količine prodanih kolača?

a. Kolika će biti zarada ako se proda $32 kg$ suhih kolača dnevno?

b. Za koliko je $kg$ prodanih suhih kolača zarada najveća i koliko iznosi?

c. Što će se dogoditi ako se ne proda ni jedan $kg$ suhih kolača?

$Z (n) = - {(n - 25)}^{2} + 425$

a. $Z (32) = - {(32 - 25)}^{2} + 425 = 376$ kuna.

b. najveća zarada je u maksimumu funkcije, postiže se za $n = 25,$ odnosno $25 kg$ prodanih kolača i iznosi $425$ kuna.

c. $Z (0) = - 200$ kuna znači da će slastičarnica biti na gubitku $200$ kuna.

Primjer 4.

U tablici je prikazana razina $R$ napunjenosti baterije prijenosnog računala, izražena u postotcima, $t$ sati nakon početka korištenja računala.

$t$ (sati) $1$ $3$ $4.25$ $5$ $8$

$R$ (%) $65$ $25$ $0$ $15$ $75$

Kolika je bila razina napunjenosti baterije na početku korištenja? Ako se računalo i dalje koristi na isti način, kada će razina napunjenosti baterije biti $100 % ?$

Kako razina napunjenosti baterije ovisi o vremenu? Ucrtajmo te podatke u koordinatni sustav.

Ovako ucrtani podatci mogu nam izgledati kao točke na paraboli. Ali, ako računamo podijeljene razlike

$\frac{R (3) - R (1)}{3 - 1} = \frac{25 - 65}{2} = \frac{- 40}{2} = - 20$

$\frac{R (4.25) - R (3)}{4.25 - 3} = \frac{0 - 25}{1.25} = \frac{- 25}{1.25} = - 20,$

vidimo da su jednake pa zaključujemo da je riječ o linearnoj funkciji. Budući da podatci padaju pa rastu, to je funkcija apsolutne vrijednosti. Zapišimo je.

$R (t) = |20 (t - 4.25)| = |20 t - 85| .$

Da bismo izračunali napunjenost baterije na početku, uvrstit ćemo $t = 0$ pa je $R (0) = 85 % .$

Kada će razina biti $100 % ?$

Riješimo jednadžbu $|20 t - 85| = 100 .$

$20 t - 85 = 100$ $,$ rješenje je $t = \frac{185}{20} = 9.25,$ odnosno za $9.25$ sati.

Drugo rješenje bilo bi rješenje jednadžbe $20 t - 85 = - 100,$ ali ovdje je $t$ negativan pa to rješenje odbacujemo.

Graf diskretne funkcije

Riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Zrakoplovna kompanija za let od Zagreba do Osijeka naplaćuje $700$ kuna po putniku. Zrakoplov može prevesti $170$ putnika. Za svako prazno mjesto na letu po prodanoj karti kompanija dobiva subvenciju od $10$ kuna na cijenu karte. Za koji će broj putnika na letu zarada prijevoznika biti najveća te koliko ona iznosi?

Ako je $x$ broj praznih mjesta, funkcija koja opisuje ukupnu zaradu na letu glasi $f (x) = (170 - x) (700 + 10 x),$ a postiže maksimum u točki $(50, 144 000) .$ To znači da će najveća zarada biti $144 000$ kuna ako u avionu ima $50$ slobodnih mjesta.

Cijena rabljenog automobila ovisi o njegovoj starosti. Svake se godine njegova vrijednost umanjuje $25 %$ u odnosu na prethodnu godinu. Ako je cijena novoga automobila $150 000$ kuna, koliko će vrijediti nakon $7$ godina?

Cijenu automobila nakon $n$ godina opisujemo funkcijom $C (n) = 150 000 (1 - 0.25)^{n} .$ Prema tome, cijena nakon $7$ godina iznosi $20 022.58$ kuna.

Početak vožnje taksijem iznosi $8.50$ kuna dok se svaki kilometar naplaćuje $5.90$ kuna. Koliko se kilometara vozila osoba koja je prijevoz platila $32.10$ kuna?

Funkcija koja opisuje cijenu vožnje taksijem je $T (x) = 8.5 + 5.9 x$ za svakih $x$ kilometara vožnje. Ako je $T (x) = 32.1,$ osoba se vozila $4$ kilometra.

Biciklist je naglo zakočio na mokroj cesti. Njegova brzina izražena u m/s neposredno nakon kočenja opisana je formulom $S (t) = \frac{21}{t + 1} - 2,$ $t \geq 0 .$

Kojom je brzinom vozio u trenutku kada je zakočio?
Koliko mu je vremena trebalo da se zaustavi?

$S (0) = 19 m/s$
$S (t) = 0 \Rightarrow t = 9.5 s$

Na početku...

Opis pridruživanja – model

Primjer 1.

Zavisna varijabla

Nezavisna varijabla

Pravilo pridruživanja – računanje vrijednosti

Primjer 2.

Primjer 3.

Tablica vrijednosti – graf – pravilo pridruživanja

Zadatak 1.

Primjer 4.

Kolekcija zadataka #1

...i na kraju