Na početku...

Na fotografiji su ptice na smrznutom jezeru. — Ptice na smrznutom jezeru

Zašto vodene biljke i životinje preživljavaju zimu i niske temperature?

Primjer 1.

Eksperimentalnim je putem dobiveno da će količina vode, koja na $0 ° C$ zauzima obujam od jedne litre, na temperaturi $T ° C$ imati obujam od $V (T) = - \frac{6.8}{10^{8}} T^{3} + \frac{8.5}{10^{6}} T^{2} - \frac{6.4}{10^{5}} T + 1$ litara, za temperature iz intervala $0 \leq T \leq 30 .$

Gustoća vode je maksimalna kada je obujam minimalan. Odredimo na kojoj će se temperaturi to dogoditi.

Kako bismo odredili kad funkcija $V (T)$ postiže minimalnu vrijednost, prvo moramo odrediti njezine stacionarne točke.

$V^{'} (T) =$

T^{2} +

T -

\frac{- 2.04}{10^{7}}

\frac{6.4}{10^{5}}

\frac{1.7}{10^{5}}

null

Na zadanoj domeni stacionarna je točka

T \approx - 4 ° C

T \approx 0 ° C

T \approx 4 ° C

T \approx 79.4 ° C .

Ovo je stacionarna točka, ali nije u domeni.

null

Uparite $V (T)$ s pripadajućim iznosom:

$V (30)$	$\approx 1.00389$
$V (4)$	$= 1$
$V (0)$	$\approx 0.999875$

null

Uočimo da je $V (4) < V (0)$ i $V (4) < V (30) .$ Tablica tijeka funkcije $V$ za $0 \leq T \leq 30$ je:

$0$		$4$		$30$

$V^{'}$	$-$		$+$
$V$	$↘$		$↗$

Lokalni minimum funkcija $V$ postiže u točki $T = 4 .$ Prema tome zaključujemo da je minimalna vrijednost obujma vode na temperaturi od $4 ° C .$

Je li vas ovaj odgovor iznenadio?

Voda je jedina tekućina čija je najveća gustoća iznad točke ledišta (kod vode $0 ° C$ ).

Zanimljivost

Kod hlađenja ispod $4 ° C$ voda se, za razliku od drugih tvari, rasteže. Ovo se nepravilno rastezanje zove anomalija vode i igra važnu ulogu u prirodi. U hladnim zemljama, zimi, kada je atmosferska temperatura vrlo niska, gornji se slojevi vode u jezerima i ribnjacima počinju hladiti. Kad temperatura površinskog sloja padne na $4 ° C,$ voda postiže maksimalnu gustoću i tone. Donji slojevi vode tada se uzdižu. Ova se voda također hladi na $4 ° C$ i ponovno tone. Proces se nastavlja sve dok temperatura cijele vode ne padne na $4 ° C .$ Kako temperatura pada ispod $4 ° C,$ gustoća vode opada i kao rezultat toga voda na površini postaje svjetlija i ne tone. Površinska voda se konačno smrzava, dok donji slojevi ostaju na $4 ° C .$ Tako ispod smrznutog sloja preživljavaju vodene životinje i biljke.

Uočite da funkcija $V$ ima za $T = 4$ ne samo lokalni minimum, već i minimum na cijeloj svojoj domeni, intervalu $[0, 30] .$ Još kažemo da je $V (4)$ globalni minimum funkcije $V .$

Najveća i najmanja vrijednost

U mnogim praktičnim problemima tražimo najveću i najmanju vrijednost neprekidne funkcije na nekom intervalu, takozvani globalni maksimum i globalni minimum. Na tomu intervalu funkcija može imati više lokalnih ekstrema, a može se dogoditi i da je najmanja vrijednost funkcije lokalni minimum ili pak vrijednost funkcije u nekoj od rubnih točaka. Primjerice, kao na sljedećoj ilustraciji. Također i najveća vrijednost funkcije može biti lokalni maksimum ili vrijednost funkcije u nekoj od rubnih točaka.

Na slici je graf funkcije koja ima globalni minimum u rubnoj točki. — Globalni ekstremi

Funkcija koja je neprekidna na zatvorenom intervalu $[a, b]$ postiže najveću i najmanju vrijednost u točkama lokalnih ekstrema ili u rubnim točkama, $x = a,$ odnosno $x = b .$ Najmanja, odnosno najveća vrijednost od brojeva $f (a),$ $f (b)$ i lokalnih ekstrema je ujedno i najmanja, odnosno najveća vrijednost funkcije na zadanom intervalu.

Zadatak 1.

Mjerenjem protočnosti prometa u razdoblju od $12 : 00$ do $18 : 00,$ na cesti kojom se izlazi iz grada, ustanovljeno je da se brzina odvijanja prometa može opisati funkcijom $f (t) = t^{3} - 7.5 t^{2} + 12 t + 45.5,$ gdje je $t$ broj sati nakon $12 : 00,$ a $f (t)$ brzina prometa u $km/h .$

U kojem se trenutku, u promatranom razdoblju, promet odvija najbrže, a u kojem najsporije?

Tražimo najveću i najmanju vrijednost funkcije $f$ na intervalu $[0, 6],$ na kojem se mjeri vrijeme proteklo od 12:00 do 18:00.

Prvo odredimo derivaciju zadane funkcije i stacionarne točke.

$f^{'} (t) = 3 t^{2} - 15 t + 12 = 0,$ pa su stacionarne točke $t_{1} = 1,$ $t_{2} = 4 .$

Vrijednost funkcije u stacionarnim točkama je $f (1) = 51,$ $f (4) = 37.5,$ a vrijednost funkcije u rubnim točkama intervala $[0, 6]$ je $f (0) = 45.5,$ $f (6) = 63.5 .$

Kako je $f^{'} (t) < 0$ na $⟨1, 4⟩,$ a $f^{'} (t) > 0$ na intervalima $⟨0, 1⟩,$ $⟨4, 6⟩,$ broj $51$ je lokalni maksimum, a broj $37.5$ lokalni minimum.

No, najveća vrijednost funkcije na zadanom intervalu iznosi $63.5,$ a najmanja $37.5 .$

(Uočite da se najveća vrijednost $63.5$ postiže u rubnoj točki, a ne u točki lokalnog maksimuma.)

To znači da se promet odvija najbrže u $18 h,$ a najsporije u $16 h .$

Zadatak 2.

Prema istraživanju Tuckera i Schmidt-Koeniga (Flight Speeds of Birds in Relation to Energetics and Wind directions, The Auk, Vol. 88 1971., str. 97–107) energija koju troši jedna vrsta australske papige pri letu ovisi o njezinoj brzini leta i može se aproksimirati s:

$E (v) = \frac{1}{v} [0.074 {(v - 35)}^{2} + 22],$ gdje je $v$ brzina papige u $km/h .$ Koja će brzina minimizirati potrošnju energije?

Poredajte korake u rješavanju zadatka.

$0.074 - \frac{112.65}{v^{2}} = 0$
$E^{'} (v) = 0.074 - \frac{112.65}{v^{2}}$
$E (v) = 0.074 v - 5.18 + \frac{112.65}{v},$ $v \neq 0$
$E$ ima minimum za $v = 39 km / h .$
$v^{2} \approx 1522.3 \Rightarrow v \approx 39$
$E$ pada na $⟨0,39⟩,$ a raste na $⟨39, \infty⟩$ .

null

Zadatak 3.

U dizajniranju zrakoplova važnu ulogu ima otpor, odnosno sila usporavanja kojom zrak djeluje na zrakoplov. Jedan model kojim se mjeri otpor dan je funkcijom $F (v) = A v^{2} + \frac{B}{v^{2,}},$ gdje su $A$ i $B$ pozitivne konstante, a $v$ brzina zrakoplova u $km/h .$ Eksperimentalno je utvrđeno da je otpor minimalan pri brzini od $250 km / h .$ Odredite omjer $\frac{B}{A} .$

$F^{'} (v) = 2 A v - \frac{2 B}{v^{3}} = 0 .$

Slijedi $v^{4} = \frac{B}{A} .$

Kako je $v = 250$ točka minimuma, ona je i stacionarna točka, pa zadovoljava jednadžbu $F^{'} (v) = 0,$ odnosno $250^{4} = \frac{B}{A},$ što je ujedno i traženi omjer.

Zadatak 4.

Količina vode (u litrama) koja se nalazi u spremniku $t$ sati nakon početka punjenja dana je formulom $V (t) = \frac{1}{2} (- 2 t^{5} + 15 t^{4}) .$ Voda se iz spremnika može istovremeno i trošiti.

Kako izgleda graf funkcije $V$ od trenutka kad se spremnik počeo puniti do trenutka kad se ispraznio?

Odgovori na sljedeća pitanja pomoći će vam da dođete do rješenja.

Kolekcija zadataka #1

Derivacija funkcije $V (t) = \frac{1}{2} (- 2 t^{5} + 15 t^{4})$ je:

V^{'} (t) =

t^{4} +

t^{3}

null

V^{'} (t) = 0

ako je

t =

Upišite nultočke prve derivacije od manje prema većoj.

ako je

t =

null

Tablica tijeka funkcije $V$ je

$0$		$3$		$∞$

$V^{'}$	$+$		$-$
$V$	$↗$		$↘$

$0$		$6$		$∞$

$V^{'}$	$+$		$-$
$V$	$↗$		$↘$

null

Funkcija

V

postiže maksimum u trenutku

t =

Tada je maksimalna količina vode u spremniku i ona iznosi

litre.

null

Nultočke funkcije

V

govore nam kada je spremnik prazan. Spremnik je prazan u trenutku

t =

Upišite nul-točke od manje prema većoj.

h

i za

t =

h .

null

Koristeći se dobivenim podatcima skicirajte graf funkcije $V .$

Na slici je graf zadane funkcije. — Graf funkcije

Optimizacija

U prethodnim smo zadatcima primijenili derivaciju i njezina svojstva kako bismo odredili minimum ili maksimum funkcije kojom se modelira neka situacija. No, ta je funkcija bila unaprijed zadana. U praksi to obično nije tako jednostavno i treba prvo prikupiti sve korisne podatke, zatim formulirati model i nakon toga minimizirati ili maksimizirati, odnosno optimizirati funkciju koja ga opisuje.

Primjer 2.

Parabola je zadana jednadžbom $y = \frac{1}{2} (27 - x^{2}) .$ Odredimo dimenzije najvećeg pravokutnika koji se može upisati u parabolu tako da su mu dva vrha na osi $x .$

Pomicanjem točke $A$ u interakciji mijenja se površina pravokutnika. Promatrajte što se događa i odgovorite na pitanja koja slijede.

Kolekcija zadataka #2

Ako je $A (x, 0)$ vrh pravokutnika $A B C D$ na pozitivnom dijelu $x$ osi, pridružite svakom od preostala tri vrha njegove koordinate.

$B$	$(x, y)$
$D$	$(- x, y)$
$C$	$(- x, 0)$

null

Površina pravokutnika je funkcija koju treba

null

Duljine stranica pravokutnika

A B C D

|D A| =

|A B| =

Stoga je površina pravokutnika jednaka

P =

null

Funkcija koja računa površinu pravokutnika u ovisnosti samo o varijabli $x$ je funkcija

P (x) = \frac{1}{2} x (27 - x^{2})

P (x) = 2 x (27 - x^{2})

P (x) = x (27 - x^{2}) .

null

Domena funkcije površine je:

⟨- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}⟩

R

[0, 27]

⟨0, 3 \sqrt{3}⟩

null

Derivacija funkcije površine je

P^{'} (x) =

x^{2} +

P^{'} (x) = 0

ako je

x^{2} =

pa je stacionarna točka, koja je u domeni funkcije

P,

točka

x =

x = - 3

nije u domeni.

Iz tablice tijeka ili grafa funkcije

P

možemo zaključiti da u toj točki funkcija

P

poprima svoj maksimum. On iznosi

null

Uparite dimenzije najvećeg pravokutnika $A B C D$ koji se može upisati u parabolu $y = \frac{1}{2} (27 - x^{2}) .$

$\|A D\| =$	$6$
$\|A B\| =$	$9$

null

...i na kraju

Kamion se nalazi $300 km$ istočno od automobila i kreće se prema zapadu konstantnom brzinom od $60 km/h .$ Istovremeno se automobil kreće prema sjeveru konstantnom brzinom od $80 km/h .$ Kada će kamion i automobil biti najbliže? Koliko iznosi ta minimalna udaljenost kamiona i automobila?

Pogledajte rješenje zadatka u sljedećem videozapisu.

Procijenite svoje znanje

Za jednu se nacionalnu udrugu procjenjuje da se broj njezinih članova, $x$ godina nakon osnivanja, $1992 .$ godine, mijenja prema pravilu $f (x) = 100 x^{3} - 2 250 x^{2} + 13 200 x .$ U razdoblju $1993 . - 2007 .$ godine odredite razdoblja u kojima broj članova udruge raste odnosno pada te kada je u promatranom razdoblju broj članova najveći odnosno najmanji. Uparite tako da dobijete točne odgovore.

Broj članova pada u razdoblju	$1993 . - 1996 .$ i $2003 . - 2007 .$
Broj članova je najveći	$2007 .$ godine.
Broj članova je najmanji	$2003 .$ godine.
Broj članova raste u razdoblju	$1996 . - 2003 .$

Pomoć:

Maksimum dane funkcije na promatranom intervalu postiže se u rubnoj točki intervala, odnosno za $x = 15,$ a minimum je u točki lokalnog minimuma, za $x = 11 .$

null

Određena populacija bakterija se procjenjuje prema formuli $N (t) = \frac{15 t^{2} + 10}{t^{3} + 6}$ u milijunima, $t$ sati nakon unošenja toksina.

Početna populacija bakterija (zaokruženo na jednu decimalu) iznosi

milijuna

bakterija. Maksimalan broj bakterija je

milijuna,

a postiže se nakon

sata.

null

Pravokutnik je upisan u pravokutni trokut tako da mu dvije susjedne stranice leže na katetama tog trokuta. Ako su $5,$ $12,$ $13$ duljine stranica trokuta, dimenzije pravokutnika koji ima najveću površinu su

6 \times 2.5

6.5 \times 6

6.5 \times 2.5 .

null

Luka treba napraviti otvorenu kutiju (oblika kvadra) kojoj je baza kvadratnog oblika. Izrada bočnih strana košta $3 {kn/m}^{2},$ a izrada baze $4 {kn/m}^{2}$ .

Dimenzije kutije koja ima najveći obujam, a može se izraditi za $48$ kuna iznose $a \times a \times b$ gdje je $a =$

, a

b =

\frac{4}{3} m

2 m

Pomoć:

$\begin{array}{l} 48 = 12 a b + 4 a^{2} \Rightarrow V (a) = \frac{a}{3} (12 - a^{2}) \Rightarrow V^{'} (a) = 4 - a^{2} \end{array}$

Dvije tvornice A i B međusobno su udaljene $30 km .$ Indeks zagađenja (čestica koje zagađuju zrak) tvornice A iznosi $100,$ a indeks zagađenja tvornice B iznosi $400 .$ Indeks zagađenja smanjuje se obrnuto proporcionalno udaljenosti od izvora zagađenja. Ako ni jedna kuća ne smije biti izgrađena u krugu polumjera $1 km$ oko tvornice, gdje bi trebalo izgraditi kuću, između tih dviju tvornica, tako da zagađenje bude minimalno?

Neka je $x$ udaljenost kuće od tvornice A. Tada za $x \in [1,29]$ označimo s $f$ funkciju zagađenja.

Poredajte korake u redoslijedu rješavanja problema.

Kuću treba biti $10 km$ od tvornice A.
$f (10) = 30 < f (1) < f (29)$
$f^{'} (x) = - \frac{100}{x^{2}} + \frac{400}{{(30 - x)}^{2}}$
Stac. točka na $[1,29]$ je $x = 10 .$
$f$ ima minimum $30$ za $x = 10 .$
$f (x) = \frac{100}{x} + \frac{400}{30 - x}$

Pomoć:

$f (1) = 113.8,$ $f (10) = 30,$ $f (29) = 403.4$

5.5 Problemi s ekstremima

Na početku...

Primjer 1.

Zanimljivost

Najveća i najmanja vrijednost

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #1

Optimizacija

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Dimenzije i obujam

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #3

Kutak za znatiželjne

Zadatak 7.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: