Na početku...

Kako se mijenja razina mora danas? Kojom se brzinom tope ledenjaci u ovom trenutku? Kako se mijenja broj oboljelih desetog dana nakon izbijanja neke epidemije? Sva su ova pitanja, kao i odgovori na njih, usko povezani s problemom brzine i problemom tangente.

Računali ste u prethodnim jedinicama trenutnu brzinu (u trenutku $t$ ) i koeficijent smjera tangente u nekoj točki $(x, f (x))$ grafa funkcije te došli do sljedećih izraza:

$\lim_{∆ t \to 0} \frac{s (t + ∆ t) - s (t)}{∆ t},$ odnosno $\lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} .$

Uočimo da oba izraza pokazuju kako se brzo mijenja neka veličina zadana funkcijom u odnosu na nezavisnu varijablu, u točno određenoj vrijednosti te nezavisne varijable. Nezavisna varijabla vrlo je često vrijeme, ali može biti i neka druga veličina.

S obzirom na veliku važnost ovih izraza, uvodimo sljedeći pojam.

Derivacija funkcije u točki

Derivacija funkcije u točki; derivabilna funkcija

:Kažemo da je derivacija funkcije $f$ u točki $x \in D (f)$ broj $\lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x}$ ako taj limes postoji. Pišemo:

$f^{'} (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} .$

Za funkciju kažemo da je derivabilna u točki $x$ ako ima derivaciju u $x .$ Funkcija je derivabilna na intervalu $⟨a, b⟩$ ako je derivabilna u svakoj točki tog intervala.

Broj $f^{'} (x)$ mjeri brzinu promjene funkcije u točki $x$ i jednak je koeficijentu smjera tangente na graf funkcije $f$ u točki $(x, f (x)) .$

Umjesto $f^{'} (x)$ često se piše $y^{'} .$ Ove je oznake uveo Joseph Louis Lagrange (1736. –1813.).

Za derivaciju se koristi još i oznaka koju je uveo Gottfried von Leibniz (1646. – 1716.) $\frac{d y}{d x},$ odnosno $\frac{d f}{d x} .$

Primjer 1.

Neka je $f$ funkcija koja procjenjuje budući profit neke tvrtke u tisućama kuna u ovisnosti o broju godina $x$ nakon njezina osnivanja.

Što nam govori broj $f (5),$ a što broj $f^{'} (5) ?$

Kako ćemo izračunati broj $f^{'} (5) ?$

Broj $f (5)$ govori nam koliko iznosi profit $5$ godina nakon osnivanja tvrtke, a broj $f^{'} (5)$ govori nam kojom se brzinom mijenja profit pet godina nakon osnivanja tvrtke.

Broj $f^{'} (5)$ računamo kao derivaciju funkcije $f$ u točki $x = 5,$ odnosno

$f^{'} (5) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (5 + ∆ x) - f (5)}{∆ x} .$

Zadatak 1.

Ako je funkcija iz prethodnog primjera zadana pravilom $f (x) = 2 x^{2} + 120,$ izračunajte $f^{'} (5) .$

$f^{'} (5) =$

10

20

120

170

null

Postupak:

$\begin{aligned} \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (5 + ∆ x) - f (5)}{∆ x} & = \lim_{∆ x \to 0} \frac{2 (5 + ∆ x)^{2} + 120 - (2 \cdot 5^{2} + 120)}{∆ x} = \\ = \lim_{∆ x \to 0} \frac{20 ∆ x + (∆ x)^{2} / : ∆ x}{∆ x / : ∆ x} = \\ = \lim_{∆ x \to 0} (20 + ∆ x) = 20 \end{aligned}$

Zadatak 2.

Neka je $f (x) = x^{2} - x .$

Za funkciju $f$ vrijedi:

f^{'} (0) = 0

Funkcija je derivabilna u točki

x = 0 .

f^{'} (0) = - 1

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije

f

u točki

(0, 0)

iznosi

- 1 .

Pomoć:

$\begin{array}{l} f^{'} (0) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (0 + ∆ x) - f (0)}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{{(∆ x)}^{2} - ∆ x - 0}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ x (∆ x - 1)}{∆ x} = - 1 \end{array} .$

null

Derivacija kao funkcija

Istražimo

Odredite derivaciju kvadratne funkcije $f (x) = x^{2}$ u najmanje četiri različite točke. Dobivene podatke pregledno zapišite u tablicu, u svojoj bilježnici, a zatim prikažite dobivene podatke u koordinatnom sustavu. Opišite svoja zapažanja.

$x$ $f^{'} (x)$

Promotrite sljedeću animaciju.

Primjer tablice.

$x$	$f^{'} (x)$
$- 1$	$- 2$
$0$	$0$
$2$	$4$
$3$	$6$

Uočite da je $f^{'} (x) = 2 x$ za dane točke $x .$ Vrijedi li isto i za proizvoljne realne brojeve $x ?$

Provjerit ćemo jesu li vaša opažanja točna računanjem derivacije funkcije $f (x) = x^{2}$ u proizvoljnoj točki $x .$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \lim_{∆ x \to 0} \frac{{(x + ∆ x)}^{2} - x^{2}}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x ∆ x + {(∆ x)}^{2} - x^{2}}{∆ x} = \\ = \lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ x (2 x + ∆ x)}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} (2 x + ∆ x) = 2 x \end{aligned}$

Pišemo ${(x^{2})}^{'} = 2 x .$

Derivacija funkcije

Funkcija koja svakoj točki $x$ iz nekog intervala pridruži derivaciju funkcije $f$ u toj točki zove se derivacija funkcije $f .$

Dakle, ako želimo znati brzinu kojom se funkcija mijenja u točkama iz nekog intervala, ne moramo računati njezinu derivaciju u svakoj od tih točaka posebno. Odredit ćemo derivaciju zadane funkcije u proizvoljnoj točki $x$ i dobiti derivaciju kao funkciju u koju ćemo uvrstiti zadane vrijednosti od $x .$

Odredimo derivacije nekih elementarnih funkcija.

Derivacija konstante

Na ilustraciji je karikatura na kojoj je konstantna funkcija prikazana kao skup jedinica u imeniku iz matematike — Derivacija konstante

Neka je $f (x) = c,$ $c \in R$ konstantna funkcija. Budući da funkcija u svakoj točki $x \in R$ ima istu vrijednost, brzina kojom se mijenja njezina vrijednost u proizvoljnoj točki trebala bi biti jednaka $0 .$

Ovu tvrdnju možemo provjeriti računanjem derivacije funkcije konstante.

Zadatak 3.

Pokažite da je derivacija konstante jednaka $0 .$

${(c)}^{'} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} = \lim_{∆ x \to 0} \frac{c - c}{∆ x} = 0 .$

Derivacija linearne funkcije

Primjer 2.

Odredimo derivaciju linearne funkcije $f (x) = a x + b,$ $a \neq 0,$ $a, b \in R .$

Računamo derivaciju u proizvoljnoj točki $x .$

Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu računanja derivacije.

$=$ $\lim_{∆ x \to 0}$ $\frac{a (x + ∆ x) + b - a x - b}{∆ x}$ $=$
$= \lim_{∆ x \to 0} \frac{a ∆ x}{∆ x} =$
$= \lim_{∆ x \to 0} a = a .$
${(a x + b)}^{'}$ $=$ $\lim_{∆ x \to 0}$ $\frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x}$ $=$

null

Derivacija linearne funkcije

${(a x + b)}^{'} = a$

Zadatak 4.

Derivacija linearne funkcije je

funkcija.

Ta je derivacija u nekoj točki

x

jednaka

grafa

funkcije

f

u toj točki.

null

Uparite linearnu funkciju i njezinu derivaciju.

${(\frac{1}{4} x + 3)}^{'} =$	$- 4$
${(3 - 4 x)}^{'} =$	$3$
${(- 0.1 x - 4)}^{'} =$	$- 0.1$
${(2 x - 3)}^{'} =$	$\frac{1}{4}$
${(3 x - \frac{1}{4})}^{'} =$	$2$

null

...i na kraju

Uparite funkciju i njezinu derivaciju!

Povećaj interaktivni prikaz

Procijenite svoje znanje

Derivacija funkcije u točki $x$ je broj $\lim_{∆ x \to 0} \frac{∆ f}{∆ x}$ ako taj limes postoji.

null

U geometrijskom smislu derivacija funkcije u točki predstavlja

u toj točki, a u fizikalnom smislu

trenutnu brzinu

koeficijent smjera tangente

null

${(- 2.3 x - 5)}^{'} =$

- 3.3

- 2.3

- 1

0

null

Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu određivanja derivacije funkcije $f (x) = x^{2} - 4 x + 5 .$

$= 2 x - 4 .$
${(x^{2} - 4 x + 5)}^{'} =$
$=$ $\lim_{∆ x \to 0}$ $\frac{{(x + ∆ x)}^{2} - 4 (x + ∆ x) + 5 - (x^{2} - 4 x + 5)}{∆ x}$ $=$
$=$ $\lim_{∆ x \to 0}$ $\frac{∆ x (2 x + ∆ x - 4)}{∆ x}$ $=$
$= \lim_{∆ x \to 0} (2 x + ∆ x - 4) =$
$=$ $\lim_{∆ x \to 0}$ $\frac{2 x ∆ x + {(∆ x)}^{2} - 4 ∆ x}{∆ x}$ $=$

null

Uparite funkciju i njezinu derivaciju.

$f (x) = k x + l$	$f^{'} (x) = k x^{k - 1}$
$f (x) = k$	$f^{'} (x) = k$
$f (x) = x^{k}$	$f^{'} (x) = 0$

null

${(x^{3})}^{'} =$	$3 x^{2}$
${(x^{4})}^{'} =$	$1$
${(x^{1})}^{'} =$	$4 x^{3}$
${(x^{2})}^{'} =$	$2 x$

4.3 Definicija derivacije funkcije i derivacija elementarnih funkcija

Na početku...

Derivacija funkcije u točki

Derivacija funkcije u točki; derivabilna funkcija

Primjer 1.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Derivacija kao funkcija

Istražimo

Derivacija funkcije

Derivacija konstante

Zadatak 3.

Derivacija linearne funkcije

Primjer 2.

Zadatak 4.

Derivacija potencije

Istražimo

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka #1

Primjer 3.

Zadatak 5.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: