Kako se mijenja razina mora danas? Kojom se brzinom tope ledenjaci u ovom trenutku? Kako se mijenja broj oboljelih desetog dana nakon izbijanja neke epidemije? Sva su ova pitanja, kao i odgovori na njih, usko povezani s problemom brzine i problemom tangente.
Računali ste u prethodnim jedinicama trenutnu brzinu (u trenutku
) i koeficijent smjera tangente u nekoj točki grafa funkcije te došli do sljedećih izraza:
odnosno
Uočimo da oba izraza pokazuju kako se brzo mijenja neka veličina zadana funkcijom u odnosu na nezavisnu varijablu, u točno određenoj vrijednosti te nezavisne varijable. Nezavisna varijabla vrlo je često vrijeme, ali može biti i neka druga veličina.
S obzirom na veliku važnost ovih izraza, uvodimo sljedeći pojam.
:Kažemo da je derivacija funkcijeu točki
broj
ako taj limes postoji. Pišemo:
Za funkciju kažemo da je derivabilna u točki
ako ima derivaciju u
Funkcija je derivabilna na intervalu
ako je derivabilna u svakoj točki tog intervala.
Broj
mjeri brzinu promjene funkcije u točki
i jednak je koeficijentu smjera tangente na graf funkcije
u točki
Umjesto
često se piše
Ove je oznake uveo Joseph Louis Lagrange (1736. –1813.).
Za derivaciju se koristi još i oznaka koju je uveo Gottfried von Leibniz (1646. – 1716.)
odnosno
Primjer 1.
Neka je
funkcija koja procjenjuje budući profit neke tvrtke u tisućama kuna u ovisnosti o broju godina
nakon njezina osnivanja.
Što nam govori broj
a što broj
Kako ćemo izračunati broj
Broj
govori nam koliko iznosi profit
godina nakon osnivanja tvrtke, a broj
govori nam kojom se brzinom mijenja profit pet godina nakon osnivanja tvrtke.
Broj
računamo kao derivaciju funkcije
u točki
odnosno
Zadatak 1.
Ako je funkcija iz prethodnog primjera zadana pravilom
izračunajte
null
Postupak:
Zadatak 2.
Neka je
Za funkciju vrijedi:
Pomoć:
null
Derivacija kao funkcija
Istražimo
Odredite derivaciju kvadratne funkcije
u najmanje četiri različite točke. Dobivene podatke pregledno zapišite u tablicu, u svojoj bilježnici, a zatim prikažite dobivene podatke u koordinatnom sustavu. Opišite svoja zapažanja.
Promotrite sljedeću animaciju.
Primjer tablice.
Uočite da je
za dane točke
Vrijedi li isto i za proizvoljne realne brojeve
Provjerit ćemo jesu li vaša opažanja točna računanjem derivacije funkcije
u proizvoljnoj točki
Funkcija koja svakoj točki
iz nekog intervala pridruži derivaciju funkcije u toj točki zove se derivacija funkcije
Dakle, ako želimo znati brzinu kojom se funkcija mijenja u točkama iz nekog intervala, ne moramo računati njezinu derivaciju u svakoj od tih točaka
posebno. Odredit ćemo derivaciju zadane funkcije u proizvoljnoj točki
i dobiti derivaciju kao funkciju u koju ćemo uvrstiti zadane vrijednosti od
Odredimo derivacije nekih elementarnih funkcija.
Derivacija konstante
Derivacija konstante
Neka je
konstantna funkcija. Budući da funkcija u svakoj točki
ima istu vrijednost, brzina kojom se mijenja njezina vrijednost u proizvoljnoj točki trebala bi biti jednaka
Ovu tvrdnju možemo provjeriti računanjem derivacije funkcije konstante.
Zadatak 3.
Pokažite da je derivacija konstante jednaka
Derivacija linearne funkcije
Primjer 2.
Odredimo derivaciju linearne funkcije
Računamo derivaciju u proizvoljnoj točki
Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu računanja derivacije.
null
null
Derivacija linearne funkcije
Zadatak 4.
Derivacija linearne funkcije je
funkcija.
Ta je derivacija u nekoj točki
jednaka
grafa
funkcije
u toj točki.
null
null
Uparite linearnu funkciju i njezinu derivaciju.
null
null
Derivacija potencije
Istražimo
Prethodno smo već odredili
Po definiciji odredite derivacije još nekih potencija, kao što su, na primjer,
te pokušajte uočiti pravilnost.
Uparite funkciju i njezinu derivaciju.
Pomoć:
Pri računanju derivacije
koristite se formulom
Pri računanju derivacije
koristite se formulom
ili formulom
Postupak:
Jeste li uočili pravilnost?
Ako je
i
tada je
null
null
Derivacija potencije je
pri čemu eksponent može biti bilo koji realni broj.
Uočite da smo pravilo za derivaciju potencije dobili promatrajući potencije s prirodnim eksponentom. No to pravilo vrijedi za bilo koji realni eksponent i općenito se ne može dokazati pomoću definicije derivacije u točki. Stoga nećemo dokazivati ovo pravilo, nego ćemo ga samo provjeriti za neke eksponente koji nisu prirodni brojevi.
Kutak za znatiželjne
Pokažite da pravilo za derivaciju potencije vrijedi za funkcije
i
Riješite sljedeće zadatke.
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
4
5
6
Derivacija funkcije
jednaka je
samo za neke realne brojeve
Funkcija je konstanta na cijelom skupu realnih brojeva, stoga je njezina derivacija nula za sve realne brojeve.
null
null
Derivacija funkcije
jednaka je
za sve realne brojeve