Proizvođač limenki želi minimizirati troškove proizvodnje limenke obujma
Trošak proizvodnje kružnih dijelova limenke je
a za bočnu stranu je
Predložite dimenzije limenke.
Optimizacija
Riješite zadatke vezane uz uvodni primjer.
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
4
5
Limenka je oblika
.
null
null
Promotrite na slici mrežu valjka.
Površina kružnih dijelova računa se formulom
, a površina bočne strane formulom
. Trošak proizvodnje kružnih dijelova je
, a trošak proizvodnje bočne strane je
.
Pomoć:
Trošak proizvodnje dobit ćemo množenjem površine troškom po
null
Volumen konzerve je zadan pa možemo izraziti visinu konzerve. Označite točnu formulu.
Pomoć:
Zapišite formulu za obujam valjka.
Postupak:
Obujam valjka računamo formulom
Zadano je
pa imamo
Izrazimo visinu
Zbrojite cijene proizvodnje kružnih dijelova i bočne strane konzerve te uvrstite dobiveni izraz za visinu
Dobili ste formulu za trošak
proizvodnje konzerve
u ovisnosti o polumjeru
Odredite polumjer konzerve za koji će trošak proizvodnje
biti minimalan.
Derivacija je
Stacionarna točka je rješenje jednadžbe
pa je
Provjerimo predznake derivacije na domeni funkcije.
Zaključujemo da je
točka minimuma, minimalna vrijednost je
a pripadna vrijednost visine je
Trošak proizvodnje će biti minimalan za konzervu čiji je polumjer
a visina
Minimalni trošak proizvodnje je
Oplošje prizme na slici je
Odredite dimenzije prizme tako da obujam bude maksimalan.
Osnovka prizme je pravokutni trokut. Obujam prizme je
a oplošje
Oplošje je zadano pa je
Izrazimo visinu
i uvrstimo u formulu za obujam. Dobivamo:
Derivacija je
pa je stacionarna točka
Odredimo domenu funkcije
pa je domena
Provjerimo predznake derivacije na domeni.
Zaključujemo da je
točka maksimuma, maksimalna vrijednost je
a pripadni
Maksimalni je obujam
a dobijemo ga za prizmu visine
čija je osnovka trokut sa stranicama
i
Primjena u ekonomiji
Zadatak 2.
Prihod u kunama opisan je funkcijom gdje je broj proizvedenih predmeta. Pronađite broj proizvoda za koji je prihod maksimalan.
Prihod je maksimalan za
proizvoda.
Zadatak 3.
Odredite maksimalni profit i broj proizvoda uz koje će se ostvariti maksimalni profit ako je profit prikazan funkcijom
gdje je
broj proizvoda u tisućama, a
profit u tisućama kuna.
Maksimalni profit je
a ostvarit će se uz
proizvoda.
Primjer 1.
Granični je prihod povećanje prihoda kada se broj prodanih proizvoda poveća za jedan. Ako je prihod opisan funkcijom
onda je granični prihod za
proizvoda
Promotrite sliku i obrazložite zašto se granični prihod može aproksimirati s
Granični prihod
Koeficijent smjera tangente na graf u točki
je
Koeficijent smjera pravca pokazuje za koliko se promijeni vrijednost funkcije kad se
poveća za
pa je
kateta istaknutog trokuta na slici. Razlika
približno je jednaka duljini te katete.
Zadatak 4.
Dnevni prihod u kunama od prodaje
proizvoda određen je funkcijom
, za Aproksimirajte granični prihod ako je prodano
proizvoda.
Derivacija je
pa je granični prihod približno
Zadatak 5.
Zadane su funkcije prihoda i troškova po prodanom proizvodu:
i
gdje je
broj prodanih proizvoda,
a
i
u tisućama kuna.
Funkcija profita definira se kao razlika prihoda i troškova:
a. Odredite intervale u kojima profit raste.
b. Odredite maksimalni profit.
c. Nacrtajte graf funkcije profita.
d. Aproksimirajte granični profit uz
prodanih proizvoda (granični se profit definira na isti način kao i granični prihod).
e. Koristeći se graničnim profitom pretpostavite profit uz
prodanih proizvoda.
Na osnovi toga riješite sljedeće zadatke.
Kolekcija zadataka #2
1
2
Upišite koeficijente funkcije profita:
.
null
null
Stacionarna točka funkcije profita
je broj
Stacionarna točka je nultočka derivacije
koja pripada intervalu
To je broj
Naučili ste rješavati linearne, kvadratne, neke eksponencijalne i logaritamske te neke trigonometrijske jednadžbe. Ali kako riješiti jednadžbu u kojoj se pojavljuje nekoliko različitih funkcija, na primjer potencija i korijen, ili jednadžbu s potencijama od
koje su veće od dva. Približne vrijednosti možemo odrediti s pomoću tangenti.
Primjer 2.
Odredimo približnu vrijednost rješenja jednadžbe
Neka je
Treba odrediti nulište funkcije
odnosno apscisu sjecišta grafa funkcije i osi apscisa.
Promotrite postupak u animaciji.
Poredajte korake iz animacije.
početna vrijednost
sjecište tangente i
osi
tangenta u točki
ponavljamo postupak
sjecište tangente i
osi
tangenta u točki
null
null
Projekt
Postupak kojim dobivamo približnu vrijednost nulišta funkcije ili rješenje jednadžbe, koji je prikazan u prethodnoj animaciji, naziva se Newtonova metoda tangente. Računski odredite približnu vrijednost nulišta funkcije
Grafovi
Zadatak 6.
Nacrtajte graf funkcije
Graf funkcije
Kutak za znatiželjne
Za zadanu smo funkciju
određivali intervale rasta i pada i ekstreme. Koristeći se tim podatcima crtali smo graf funkcije. Pritom nismo odredili kakav je oblik grafa. Promotrite u interakciji tangente na grafove funkcija. Kako se mijenja koeficijent smjera tangente na graf kad se
povećava? Odgovorite na pitanja.
Na slici je graf funkcije za koju kažemo da je konveksna.
Kad se
povećava, koeficijent smjera tangente se
.
Koeficijent smjera tangente je
pa
je derivacija konveksne funkcije
funkcija.
Onda je njezina derivacija
.
To znači da je
derivacija
konveksne funkcije pozitivna.
null
null
Funkcija po obliku može biti konveksna ili konkavna. Odredite intervale na kojima je funkcija
konveksna i intervale na kojima je konkavna. U kojoj se točki oblik mijenja? Što vrijedi za tu točku?
Funkcija je konveksna na intervalu ako je
konkavna je ako je
S pomoću tih uvjeta dobivamo interval konveksnosti
interval konkavnosti
Oblik se mijenja za
a za tu točku vrijedi
...i na kraju
Možemo li s pomoću derivacija odrediti jednadžbu tangente u točki kružnice? Pogledajmo.
Promotrimo kružnicu zadanu jednadžbom
U jednadžbi su dvije varijable
i
pa treba odabrati po kojoj ćemo varijabli derivirati. Neka to bude varijabla
Da deriviramo po
označit ćemo ovako
Član koji sadrži samo
i broj derivirat ćemo kao i prije:
Ali kako derivirati
po
U tom slučaju vrijedi formula:
Deriviranjem smo dobili
pa je
Odredimo jednadžbu tangente na kružnicu u točki
Vrijednost derivacije u točki
je koeficijent smjera tangente u toj točki,
pa je jednadžba tangente
Provjerite rješenje na slici.
Kružnica i tangenta
Formula kojom smo se koristili za derivaciju
po
može se dokazati, a koristi se za deriviranje funkcija koje su sastavljene od više jednostavnih.