3.1 Pojam funkcije

Graf funkcije

Primjer 1.

Predstavlja li skup točaka prikazan na slici graf neke funkcije?

Proučimo li točke, uočit ćemo da postoje dvije točke kojima je apscisa jednaka $3$; to su $\left(3, 3\right)$ i  $\left(3, 6\right).$ Za funkciju mora vrijediti da za svaki broj iz domene postoji jedinstvena vrijednost iz kodomene što ovdje očito nije slučaj, za broj $3$ postoje vrijednosti $3$ i $6$ .

Zaključimo da ovaj skup točaka prikazan u koordinatnom sustavu ne predstavlja graf neke funkcije.

Vertikalni test

Skup točaka u koordinatnom sustavu graf je neke funkcije ako svaki pravac okomit na os $x$ siječe taj skup točaka u najviše jednoj točki.

Koji od navedenih skupova točaka u koordinatnom sustavu predstavlja graf neke funkcije?

null

null

Prirodna domena funkcije

Primjer 2.

Odredimo funkciju koja će realnom broju $x$ pridružiti količnik toga broja i broja koji je za 3 manji od toga broja.

Iz opisa možemo zapisati pravilo pridruživanja $f\left(x\right)=\frac{x}{x-3}.$

Trebamo još odrediti domenu i kodomenu.

Za kodomenu možemo uzeti skup realnih brojeva. Može li i domena biti skup realnih brojeva?

Iz definicije funkcije znamo da za svaki element domene mora postojati element koji ćemo mu pridružiti. Možemo li za svaki realni broj $x$ izračunati vrijednost $f\left(x\right)?$ Možemo li bilo koji realni broj uvrstiti u formulu?

Očito ne smijemo dijeliti s nulom pa nazivnik ne smije biti jednak nuli. To znači

$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$ pa je domena ove funkcije skup svih realnih brojeva osim broja $3,$ odnosno $D\left(f\right)=\mathbf{\text{R}}\left\{\mathbf{3}\right\}.$

Prirodna domena ili prirodno područje definicije za realne funkcije realne varijable zadane formulom sastoji se od svih brojeva za koje je izraz definiran. 

Povežite pravilo pridruživanja funkcije i njezinu prirodnu domenu.

$f\left(x\right)=\frac{3x}{1-2x}$	$D\left(f\right)=\mathbf{\text{R}}\left\{-2\right\}$
$f\left(x\right)=\sqrt{2-x}$	$D\left(f\right)=⟨\frac{1}{2},+\infty ⟩$
$f\left(x\right)=\frac{1}{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)}$	$D\left(f\right)=\mathbf{\text{R}}\left\{-\frac{1}{2}, 2\right\}$
$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$	$D\left(f\right)=\mathbf{\text{R}}\left\{\frac{1}{2}\right\}$
$f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$	$D\left(f\right)=\left[-2, 2\right]$
$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+2}$	$D\left(f\right)=\left.⟨-\infty , 2\right]$

null

null

Slika funkcije

Primjer 3.

Neka je funkcija  $g:\mathbf{\text{R}}\to \mathbf{\text{R}}$ zadana pravilom  $g\left(x\right)=x^2+1.$ Koje sve brojeve možemo dobiti kada bilo koji realni broj uvrstimo u formulu?

Znamo da su $x^2$ nenegativni realni brojevi za svaki realni broj $x.$ Još dodamo jedan pa su vrijednosti koje postižemo veće ili jednake  $1.$ Taj skup nazivamo slika funkcije.

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Što od navedenoga vrijedi za funkciju $h$ zadanu tablicom?

$x$	$-2$	$0$	$3$	$5$	$6$
$h\left(x\right)$	$10$	$7$	$-3$	$2$	$0$

$-3\in \text{Im}\left(h\right)$ 

$-2\in \text{Im}\left(h\right)$ 

$0\in \text{Im}\left(h\right)$ 

$2\in \text{Im}\left(h\right)$ 

$3\in \text{Im}\left(h\right)$ 

$10\in \text{Im}\left(h\right)$ 

null

null

Koji od navedenih skupova predstavlja sliku funkcije $g$ ako je ona zadana skupom $G=\left\{\left(-1, 2\right), \left(0, 5\right), \left(1,-2\right), \left(2, 7\right), \left(3, 0\right)\right\}$ uređenih parova  $\left(x, g\left(x\right)\right)$?

$\left\{-2,-1, 0, 1, 2\right\}$  

$\left\{-2, 0, 2, 5, 7\right\}$ 

$\left\{-1, 0, 1, 2, 3\right\}$  

$\left\{0, 2, 3, 5, 7\right\}$  

null

null

Točke u koordinatnom sustavu predočuju graf funkcije $f.$
Slika funkcije  $f$ je skup $\text{Im}\left(f\right)=\left\{\right.$

Poredajte vrijednosti od najmanje do najveće

,

Poredajte vrijednosti od najmanje do najveće

,

Poredajte vrijednosti od najmanje do najveće

,

Poredajte vrijednosti od najmanje do najveće

,

Poredajte vrijednosti od najmanje do najveće

$\left.\right\}.$

null

null

Neka funkcija $f$ svakom realnom broju koji je veći ili jednak $1$ i manji ili jednak $10$ pridružuje dvostruki broj uvećan za $3.$ Slika funkcije $f$ su

 

koji su

 

 

jednaki

 

 

 

jednaki

 

.

$5$

realni brojevi

veći

ili

manji ili

$23$

i

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak