Matematika 4 - 1.4 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Udaljenost kompleksnog broja $z$ od ishodišta je $|z| =$

. Tangens označenog kuta je

.
Položaj kompleksnog broja

$z$ određen je pravokutnim koordinatama

ili

$|z|$ i kutom

$φ$

$2$

$(1, \sqrt{3})$

$tg φ = \sqrt{3}$

null

Na slici je kompleksni broj zadan kutom pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini. — Pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 1.

Koje koordinate u pravokutnome koordinatnom sustavu ima točka $z$ koja je od ishodišta udaljena za $2,$ a dužina $O z$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$ kut od $\frac{π}{6} ?$ Odgovorite na sljedeća pitanja.

Pridružite koordinatama $x$ i $y$ izraz s pomoću kojeg se mogu izračunati.

$x =$	$2 \cos \frac{π}{6}$
$y =$	$2 \sin \frac{π}{6}$

null

Označite koordinate točke $z .$

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

$(\sqrt{3}, 1)$

$(1, \sqrt{3})$

null

Na slici je kompleksni broj zadan kutom četiri pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini. — Pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 2.

U pravokutnome koordinatnom sustavu točka $z$ je od ishodišta udaljena za $2,$ a dužina $O z$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$ kut od $\frac{4 π}{3} .$

a. Koji od sljedećih izraza računaju apscisu točke $z ?$

$x = 2 cos \frac{π}{3}$

Pogledaj u kojemu je kvadrantu točka!

$x = 2 cos \frac{4 π}{3}$

$x = - 2 sin \frac{π}{3}$

$x = - 2 cos \frac{π}{3}$

null

b. Koji od sljedećih izraza računaju ordinatu točke $z ?$

$y = 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

$y = - 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Provjeri predznak!

$y = - 2 \sin (\frac{π}{3})$

$y = 2 cos (\frac{4 π}{3})$

null

Zanimljivost

U fizici, mehanici, navigaciji i sličnim područjima često se koristi polarni koordinatni sustav. Sustav je određen jednim polupravcem (polarna os) koji ide iz ishodišta $O$ (pol). Položaj točke određuje se dvama brojevima $r$ i $φ$ koje nazivamo polarne koordinate.

Kao što smo vidjeli, $r$ je udaljenost promatrane točke od ishodišta. $φ$ je mjera kuta (u stupnjevima ili radijanima) koji polarna os opiše u pozitivnom smjeru do promatrane točke. Broj $φ$ nazivamo argument.

Uparite tako da dobijete točne jednakosti.

$r = \|z\| =$	$r \sin φ$
$x =$	$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$x + y i =$	$r \cos φ + i r \sin φ$
$tg φ =$	$\frac{y}{x}$
$y =$	$r \cos φ$

null

Trigonometrijski oblik, polarni oblik, argument

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z$ je

$z = r (\cos φ + i \sin φ),$ gdje je

$r$ modul kompleksnog broja $z,$ a $φ$ argument kompleksnog broja $z,$ $φ \in [0,2 π⟩ .$

Pišemo $φ = \arg (z) .$

Taj se oblik još naziva i polarni oblik kompleksnog broja.

Ako je kompleksni broj zadan algebarski sa $z = x + y i,$ tada $r$ i $φ$ određujemo iz jednadžbi

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $tg φ = \frac{y}{x} .$

$z_{1} = 2 (cos \frac{11 π}{6} + i sin \frac{11 π}{6}),$

$z_{2} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}),$

$z_{3} = 2 (cos \frac{3 π}{2} + i sin \frac{3 π}{2}),$

$z_{4} = 3 (cos 0 + i sin 0),$

$z_{5} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2},$

$z_{6} = cos \frac{4 π}{3} + i sin \frac{4 π}{3},$

$z_{7} = 2 (cos π + i sin π),$

$z_{8} = 3 (cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4})$

Povlačenje na sliku kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

$z_{1}$

$z_{2}$

$z_{3}$

$z_{4}$

$z_{5}$

$z_{6}$

$z_{7}$

$z_{8}$

null

Poredajte sljedeće korake prema redosljedu u postupku prikazivanja kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku ako je $z = - 2 - 2 i .$

$z = 2 \sqrt{2} (cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4})$
$φ \in [0,2 π⟩ \Rightarrow φ = \frac{π}{4} i l i φ = \frac{5 π}{4}$
$z = - 2 - 2 i$ je u III. kvadrantu
$r = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ i $tg φ = \frac{- 2}{- 2} = 1$
$φ$ je u III. kvadrantu $\Rightarrow φ = \frac{5 π}{4}$

null

U koordinatnom su sustavu prikazani brojevi 2i i -i. — Kompleksni brojevi na y osi

$z_{1} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})),$ $z_{2} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

$z_{1} = 0.5 (cosπ+ i \sin π),$ $z_{2} = 2 (\cos 0 + i \sin 0)$

Razvrstajte kompleksne brojeve prema njihovu argumentu u trigonometrijskom obliku.

$z = 16$

$z = - 10 i$

$z = 4 i$

$z = 1$

$z = - 0.25$

$z = - 125$

$z = - i$

$z = \sqrt{2}$

$z = - 3.2$

$z = \frac{6}{5} i$

$z = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} i$

$z = 7 i$

$0$

$\frac{π}{2}$

$\frac{3 π}{2}$

$π$

null

Označite sve kompleksne brojeve koji nisu u trigonometrijskom obliku.

$2 (\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})$

$- 2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})$

Predznak "minus" na početku ukazuje da to nije trigonometrijski oblik.

$3 (\cos \frac{7 π}{5} + i \sin \frac{3 π}{5})$

Različiti argumenti.

$0.5 (\sin \frac{π}{5} + i \cos \frac{π}{5})$

Sinus i kosinus imaju zamijenjene uloge.

null

a. Koji je od sljedećih izraza standardni oblik broja $z = \sqrt{3} (\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6}) ?$

$\sqrt{3} - i$

$3 - i \sqrt{3}$

$\frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}$

null

b. Koji je od sljedećih izraza trigonometrijski oblik broja $z = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} i ?$

$2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})$

$4 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})$

$4 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})$

$4 (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})$

null

a. Modul kompleksnog broja

$z = \cos (3.52) + i \sin (3.52)$ iznosi

Njegov je argument

null

b. Ako je

$z = 2 (\cos \frac{π}{7} - i \sin \frac{π}{7}),$ modul je

a argument je oblika

$\frac{k π}{7},$ gdje je broj

$k$ jednak

Zadani se broj nalazi u IV. kvadrantu, pa je argument

$2 π - \frac{π}{7} = \frac{13 π}{7} .$ Za taj je argument kosinus pozitivan, a sinus negativan pa će trigonometrijski prikaz

$2 (\cos \frac{13 π}{7} + i \sin \frac{13 π}{7})$ odgovarati zadanom broju.

null

1.4 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Na početku...

Polarne koordinate