Promotrite putanju rakete. Raketa se najprije penje pa se visina rakete povećava. Zatim počinje padati i visina se smanjuje. U ovoj ćete jedinici odrediti u kojim intervalima funkcija raste, a u kojima pada.
Putanja rakete
Monotonost i tangenta
U jedinici 3.5. definirali smo monotone funkcije. Prisjetite se definicija pa riješite zadatke.
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
Za funkciju
koja je rastuća na vrijedi:
null
null
Funkcija
strogo je rastuća na intervalu
ako
dva
broja
vrijedi: ako je
manji od
onda je
od
.
null
null
Za funkciju
vrijedi: za svaka dva broja
iz intervala
takva da je
vrijedi
Funkcija
je na intervalu
Promotrite u animaciji tangentu na graf rastuće funkcije. Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?
Koeficijent smjera tangente je pozitivan.
Tangenta i monotonost
Zadatak 1.
Na slici je prikazana tangenta na graf padajuće funkcije. Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?
Koeficijent smjera tangente je negativan.
Primjer 1.
Na slici je graf funkcije
i tangente na graf u točkama i
Je li funkcija
rastuća ili padajuća? Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?
Tangenta i monotonost
Funkcija je rastuća. Koeficijent smjera tangente u točkama
i
je pozitivan. Tangenta u točki
ima jednadžbu
koeficijent smjera je
Vidimo da su koeficijenti smjera tangente rastuće funkcije pozitivni ili nula.
Koeficijent smjera tangente na graf padajuće funkcije također može biti nula. Na primjer, koeficijent smjera tangente na graf funkcije
u točki
jednak je
Zaključimo prethodna razmatranja.
Koeficijent smjera tangente na graf funkcije koja je rastuća na nekom intervalu je veći ili jednak nula u svakoj točki tog intervala. Vrijedi i obratno: ako je koeficijent smjera tangente na graf derivabilne funkcije veći ili jednak nula u svim točkama nekog intervala, funkcija je rastuća na tom intervalu.
Koeficijent smjera tangente na graf funkcije koja je padajuća na nekom intervalu je manji ili jednak nula u svakoj točki tog intervala. Vrijedi i obratno: ako je koeficijent smjera tangente na graf derivabilne funkcije manji ili jednak nula u svim točkama nekog intervala, funkcija je padajuća na tom intervalu.
Zadatak 2.
Čemu je jednak koeficijent smjera tangente na graf funkcije? Što vrijedi za rastuće, a što za padajuće funkcije?
Koeficijent smjera tangente na graf funkcije u točki
jednak je vrijednosti derivacije funkcije
u točki
Za rastuće funkcije koeficijent smjera tangente veći je ili jednak nula pa je derivacija veća ili jednaka nula.
Za padajuće funkcije koeficijent smjera tangente manji je ili jednak nula pa je derivacija manja ili jednaka nula.
Funkcija
rastuća je na intervalu
ako i samo ako je
za svaki
Funkcija
padajuća je na intervalu
ako i samo ako je
za svaki
Intervali monotonosti
Interval na kojemu funkcija raste ili pada nazivamo interval monotonosti. Odredit ćemo intervale monotonosti derivabilne funkcije pomoću predznaka derivacije.
Zadatak 3.
Dokažite da je funkcija
rastuća na skupu
Odredimo derivaciju:
Derivacija je veća od nule pa je funkcija rastuća.
Primjer 2.
Odredimo intervale na kojima funkcija
pada.
Odredimo najprije derivaciju:
Funkcija pada ako je
pa treba riješiti nejednadžbu
Nultočke derivacije su
i
Skiciramo graf derivacije i čitamo intervale na kojima je derivacija manja ili jednaka
To je interval
Intervali monotonosti su otvoreni pa je rješenje
Interval pada
Istražimo
Određivanje intervala monotonosti svodi se na rješavanje nejednadžbi. Možemo li jednostavnije odrediti intervale na kojima je derivacija pozitivna ili negativna? Odgovorite na pitanja povezana s grafom derivacije na slici.
Promjena predznaka
Kolekcija zadataka #2
1
2
3
4
5
6
7
Označite nultočke derivacije na slici.
null
null
U nultočki
derivacija
predznak.
U nultočki
derivacija
predznak.
null
null
Označite točke u kojima derivacija nije definirana.
null
null
U točki
derivacija
predznak.
U točki
derivacija
predznak.
null
null
U nultočki derivacija može, ali ne mora promijeniti predznak.
null
null
U točki u kojoj nije definirana derivacija mora promijeniti predznak.
U točki u kojoj nije definirana derivacija može, ali ne mora promijeniti predznak.
null
null
Nultočkama derivacije i točkama u kojima derivacija nije definirana podijelili smo domenu na intervale u kojima se predznak derivacije ne mijenja.
Derivacija može (ali ne mora) promijeniti predznak samo u nultočki ili točki u kojoj nije definirana. Zato se na intervalima određenim ovim točkama predznak derivacije ne mijenja.
Odredimo intervale na kojima se predznak derivacije funkcije
ne mijenja.
Derivacija funkcije je:
Derivacija može promijeniti preznak u nultočkama i u točkama u kojima nije definirana.
Nultočka je rješenje jednadžbe
Derivacija nije definirana u nultočki nazivnika,
Točkama
i
brojevni se pravac dijeli na intervale
na kojima se predznak derivacije ne mijenja. Odredite koji su to predznaci.
Predznak derivacije ne mijenja se na dobivenim intervalima. Dovoljno je izračunati vrijednost derivacije u nekoj točki intervala jer će predznak biti isti za sve točke tog intervala.
Odaberimo neki broj iz intervala
na primjer
pa je derivacija pozitivna na cijelom intervalu
Odaberimo neki broj iz intervala
na primjer
pa je derivacija negativna na cijelom intervalu
Odaberimo neki broj iz intervala
na primjer
pa je derivacija pozitivna na cijelom intervalu
Primjer 4.
Odredimo intervale monotonosti funkcije
U Primjeru
odredili smo intervale na kojima derivacija ne mijenja predznak te predznake derivacije na tim intervalima.
Na intervalu
derivacija je pozitivna pa funkcija raste.
Na intervalu
derivacija je negativna pa funkcija pada.
Na intervalu
derivacija je pozitivna pa funkcija raste.
Pregledno ćemo ove podatke prikazati u tablici predznaka.
Zadatak 4.
Zadana je funkcija
Riješite sljedeće zadatke povezane s funkcijom
Kolekcija zadataka #3
1
2
3
4
5
6
7
Treba odrediti intervale monotonosti funkcije
Poredajte korake.
a.
Odredimo nultočke derivacije.
b.
Odredimo intervale rasta i intervale pada funkcije.
c.
Odredimo derivaciju
d.
Odredimo predznak derivacije na intervalima.
e.
Podijelimo brojevni pravac na intervale.
f.
Odredimo točke u kojima derivacija nije definirana.
f.
a.
d.
e.
b.
c.
null
null
Derivacija funkcije
je
null
null
Označite nultočke derivacije.
null
null
Funkcija
definirana je za svaki realni broj.
null
null
Označite intervale na kojima derivacija funkcije
ne mijenja predznak.
null
null
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
null
null
Pogledajte tablicu predznaka za funkciju
Funkcija
raste na intervalima
i
Funkcija je definirana za
pa možemo povezati intervale i reći da funkcija
raste na intervalu
Zadana je funkcija
Riješite sljedeće zadatke povezane s funkcijom
Kolekcija zadataka #4
1
2
3
4
5
6
Derivacija funkcije
je
null
null
Označite nultočke derivacije.
null
null
Označite točke u kojima derivacija nije definirana.
null
null
Derivacija ne mijenja predznak na intervalima
,
,
null
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
Na intervalu
derivacija je
pa
funkcija
na intervalu
.
null
null
Pogledajte tablicu predznaka za funkciju
Funkcija
pada na intervalima
i
Funkcija nije definirana za
pa ne možemo povezati intervale i reći da funkcija
raste na intervalu